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文檔簡介

1、第七章 多元函數積分學§7.1 二重積分(甲) 內容要點一、在直角坐標系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序序問題模型I：設有界閉區域 其中在上連續，在 上連續，則模型II：設有界閉區域 其中在上連續，在上連續 則 關于二重積分的計算主要根據模型I或模型II，把二重積分化為累次積分從而進行計算，對于比較復雜的區域D如果既不符合模型I中關于D的要求，又不符合模型II中關于D的要求，那么就需要把D分解成一些小區域，使得每一個小區域能夠符合模型I或模型II中關于區域的要求，利用二重積分性質，把大區域上二重積分等于這些小區域上二重積分之和，而每個小區域上的二重積分則可以化為累次積分進行計算

2、。在直角坐標系中兩種不同順序的累次積分的互相轉化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區域D，然后根據D再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。二、在極坐標系中化二重積分為累次積分在極坐標系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對進行積分，然后再對進行積分，由于區域D的不同類型，也有幾種常用的模型。模型I 設有界閉區域 其中在上連續，在上連續。則 模型II 設有界閉區域其中在上連續，在上連續。則 （乙）典型例題一、二重積分的計算例1 計算，其中D由y=x,y=1和y軸所圍區域解： 如果那么先對求原函數就不行，故考慮另一種順序的累次積分。這時先對x積分，當作常數處理就可以了。原式=例2 計算 解：原式= 例3 求 解一： 解二： 由積分區域對稱性和被積函數的奇偶性可知二、交換積分的順序例1 交換解 原式=其中D由和以及所圍的區域由 因此按另一順序把二重積分化為累次積分對三塊小區域得原式例2 設證明：交換積分次序令 三、二重積分在幾何上的應用1、求空間物體的體積例1 求兩個底半徑為R的正交圓柱面所圍立體的體積解 設兩正交圓柱面的方程為，它們所圍立體在第一卦限中的那部分體積其中D為 因此 而整個立體體積由對稱性可知 例2 求球面所圍（包含原點那一部分）的

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