1、授課時間： 20 年9月 日 使用班級： 授課時間： 20 年9月 日 使用班級： 授課章節名稱：第1章 函數、極限與連續第1節 函數（二）、第2節 極限教學目的：1.理解復合函數的定義及復合過程，分段函數的定義及表示方法，極限的概念，函數左極限與右極限的概念；2.熟練掌握和時f(x)的極限存在的充要條件；3.理解無窮大、無窮小的概念；4.掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質，會用無窮小量的性質求教學重點：1. 函數極限與數列極限的概念，求極限的方法；2. 無窮大量與無窮小量的概念及性質.教學難點：1.函數極限的定義；2.無窮大量與無窮小量的概念和性質及其應用。教學方法：講授，啟發式、講練

2、結合教學手段：傳統講授。作業：層次1：書16頁1、2（1）（2）、4、6層次2：書16頁5、7教案實施效果追記：（手書）第1章 函數、極限與連續第1節 函數（二）、第2節 極限復習及課題引入（時間：5分鐘）：1、作業題處理；2、復習函數的相關性質以及基本初等函數的相關知識點。講授新內容一、函數的概念（二）（時間：15分鐘）1、復合函數：【引例】（公司員工問題）某公司員工的工資占公司利潤的若干比例，而公司的利潤又取決于所銷售的商品的數量，因此，該公司員工的工資由所銷售商品的數量決定。定義7設,其中,且函數的值域包含在函數的定義域內,則稱為由與復合而成的復合函數,其中稱為中間變量.例如，可復合成.

3、注意：、并不是任意兩個函數都能構成復合函數.如，和就不能構成復合函數。因為對函數而言，必須要求變量，而，所以對任何的值，都得不到確定的對應值。、利用復合函數不僅能將若干個簡單的函數復合成一個函數，還可以把一個較復雜的函數分解成幾個簡單的函數，這對于今后掌握微積分的運算時很重要的。例4、將下列復合函數進行分解.(1); (2).解 (1)是由,復合而成的.(2)是由,復合而成的.2、初等函數：定義8：由基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的復合步驟所構成并用一個式子表示的函數，稱為初等函數.例如：，等都是初等函數。3、分段函數：定義9：在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子表示的函數，

4、稱為分段函數.注:(1)分段函數仍舊是一個函數，而不是幾個函數，分段函數的定義域是各段函數定義域的并集. (2)分段函數一般不是初等函數.除例如：符號函數： 就是一個分段函數，其定義域為。例5、設，求及函數的定義域。解：，函數的定義域為。二、極限概念：（時間：10分鐘）【引例】：中國古代哲學家莊周在莊子天下篇中引述惠施的話：“一尺之錘，日取一半，萬世不竭。”析：這句話的意思是指一尺的木棒，第一天取它的一半，即尺，；第二天再取剩下的一半，即尺；第三天再取第二天剩下的一半，即尺；這樣一天天地去下去，而木棒是永遠也取不完的。盡管木棒永遠也取不完，可到了一定的時候，還能看得見嗎？看不見意味著什么？不就

5、是快沒了嗎？終極的時候，就近乎沒有了。它的終極狀態就趨于零。【極限概念引出】事實上，假設木棒為一個單位長，用表示第天截取之后所剩下的長度，可得，這樣構成一列有次序的數。設想無限增大（記為），在這個過程中，無限接近于一個確定的數值（零），這個確定的數值在數學上稱為上面這列有次序的數（所謂數列），當時的極限。復習(高中知識)：數列的概念、通項概念數列就是按照一定順序排列成的一列數，一般記為，簡記為，其中稱為數列的通項。例如，數列1,2,3,4,5，的通項是，可以記為；數列的通項是，可以記為；數列,的通項是，可以記為。數列也可看成自變量為正整數的函數：，其定義域是全體正整數，當自變量依次取1,2,3

6、,，一切正整數時，對應的函數值就排列成數列。2、（極限概念）定義10：（教學方法：板書）對于數列,若當無限增大時,通項無限接近于某個確定的常數,則常數稱為數列的極限,此時也稱數列收斂于,記為或若數列的極限不存在,則稱數列發散.注意：數列極限是個動態概念，是變量無線運動漸進變化的過程，是一個變量（項數為）無線運動的同時另一個變量（對應的通項）無限接近于某一個確定常數的過程，這個常數（極限）是這個無線運動變化的最終趨勢。（根據函數關系的定義，引出數列是特殊的函數這個概念）例1、（畫數軸數形結合思想）（1）；（2）；（3）；解：當時，數列（1）的通項越來越接近于常數1；而數列（2）的通項越來越接近于

7、常數0，數列（3）的通項在-1與1之間交替出現而不趨于任何確定的常數，所以，（1）；（2）；（3）不存在。（析：從數軸上標出一些點，來說明數列無限運動變化的最終趨勢）三、函數的極限（時間：20分鐘）數列是一種特殊形式的函數，把數列的極限推廣可得到函數的極限。根據自變量的變化過程，分兩種情況討論。1、時函數的極限（教學方法：講解）（7分鐘）【引例】（設備折舊問題）某高校為進行以工作過程為導向的課程教學，購置一批數控機床為教學設備，投資額是100萬元，每年的折舊費為這批數控機床賬面價格（即以前各年折舊費用提取后余下的價格），那么這批數控機床的賬面價格（單位：萬元）第一年為100，第二年為100*，

8、第三年為100*，第四年為100*，,第年為100*，那么，當無限增大時，該批數控機床的賬面價格如何變化？顯然，從它的變化趨勢可以看出，隨著年數的無限增大時，賬面價格無限接近于0.引例反映了一個特點：當自變量逐漸增大時，相應的函數值逐漸接近于一個確定的常數。為此給出下面定義。定義11：函數 在 內有定義，若 無限增大時，相應的函數值 無限接近于一個確定的常數A，則稱函數 以A為極限。記為=A或A（ ）.若當 （或 ）時，函數無限接近于一個確定的常數A，記為=A或=A.例如， （畫出圖形解釋）不難證明，函數 在 時的極限與在，時的極限有以下關系。定理1： 例2、（書16頁3）討論 是否存在。（根

9、據函數圖像觀察）2、時函數的極限（13分鐘）（1）鄰域概念：設且,則開區間稱為點的鄰域,記為，即.點稱為這鄰域的中心，稱為這鄰域的半徑.有時用到的領域需要把領域的中心去掉。點的領域去掉中心后，稱為點的去心鄰域，記為，即為了方便，有時把開區間稱為的左領域，把開區間稱為的右鄰域。（2）舉例說明： 時，函數無限接近于多少？（書13頁圖像）觀察：當：時， ，無限接近2當：時， ，無限接近2f(x)在x=1有定義，g(x)在x=1處無定義定義12：如果當時,函數無限趨近于一個確定的常數A, 則稱A為函數當時的極限,記作 或 (當時).此時也稱存在。如果當時, 函數不趨近于任何一個確定的常數,則稱不存在。

10、注意：1.函數當 x x時的極限是否存在，與在點處是否有定義無關.（如上例）2.若函數極限存在，則極限值必唯一。 （唯一性）1、 單側極限：（10分鐘）在討論當 時函數 的極限問題中，對的過程，若限制或，便出現了單側極限的概念。定義13：設在 的某左（或右） 鄰域內有定義，當自變量 從的左（或右）側無限接近于時，函數的值無限接近于某一確定的常數A，則稱A為 時函數 的左（或右）極限，記為=A（或=A）.函數的左極限和右極限統稱為函數的單側極限。顯然，下面結論成立。定理2：例3 設 ，求 并討論解：因為， ，又因為由定理2可知，不存在。（畫出圖像書14頁圖1-6）練習：判斷函數 在點是否存在極限

11、？（講授方法：數形結合，作圖板演）四、無窮大量與無窮小量（時間：32分鐘）1、無窮小量的定義：【洗滌效果】在用洗衣機清洗衣物時，清洗次數越多，衣物上殘留的污漬就越少。當洗滌次數無限增大時，衣物上的污漬趨于零。在對許多事物進行研究時，常遇到事物數量的變化趨勢為零。為此，給出如下定義。定義14：在自變量的某一變化過程中，極限為0的量稱為該變化過程的無窮小量，簡稱無窮小；例如：當時，是， (0)，1-cosx無窮小；當時，是無窮小；當時，是無窮小。注意：1、無窮小量不是很小的數,它是一個極限的概念。2、數零是唯一可作為無窮小的常數。3、無窮小是個變量。2、無窮小量的性質：性質1、有限個無窮小量的代數

12、和是無窮小量。例如，當x0時， 是無窮小量；而無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小，如。性質2、無窮小量與有界量之積是無窮小量。例如，當x0時， 是無窮小量；當 時， 是無窮小量。推輪1、任一常數與無窮小量之積是無窮小量。例如，當x0時， 是無窮小量。推論2、有限個無窮小量之積是無窮小量。（注：兩個無窮小之商未必是無窮小）3、無窮小與函數極限的關系：定理3 函數的充分必要條件是（其中）注意 定理3中，下面沒有標明自變量變化過程的記號“lim”是指自變量的變化過程可以是，中的任何一種。例如：，則，其中。又如，因為，而，所以。2、 無窮大量的定義：【本利核算】某人又本金A元，銀行存款年利率為,不考慮

13、個人所得稅，那么，此人第一年末的本利和為，第二年，本利和為，,第年末的本利和為，存款時間越長，本利和也無限增長。定義15：若（或）,則稱為當（或 ）時的無窮大量,簡稱無窮大。例如，=，所以當 時, 為無窮大；因為，所以 是當 時的無窮大. 注意：1.無窮大量不是一個很大的數,它是極限的概念; 2.無窮大量的實質是極限不存在,為了表示記作 或 .5、無窮小與無窮大的關系：定理4：在自變量的同一變化過程中，（1） 如果函數 是無窮小，且 ，則 是無窮大；（2） 如果函數 是無窮大，則 是無窮小。注意：（1）說一個函數時無窮小（無窮大）時，必須知名其自變量的變化趨勢。（2）便于描述無窮大的變化趨勢，我們把“是（或）時的無窮大”記為（或）。如當時，是無窮大，記作。課堂練習：書16頁，6小結（時間：3分鐘）：1、本次課講授了函數中，復合函數、初等函數以及分段函數的知識，函數本質上是指變量間相