1、2016-2017學年江蘇省鎮江市高三（上）期末數學試卷 一、填空題（共14小題，每小題5分，滿分70分）1已知集合A=1，2，3，B=2，4，5，則集合AB中元素的個數為2復數z=（12i）（3+i），其中i為虛數單位，則|z|是3若圓錐底面半徑為2，高為，則其側面積為4袋中有形狀、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為5將函數y=5sin（2x+）的圖象向左平移（0）個單位后，所得函數圖象關于y軸對稱，則=6數列an為等比數列，且a1+1，a3+4a5+7成等差數列，則公差d等于7已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x0時，f（x）=

2、x24x，則不等式f（x）x的解集為8雙曲線的焦點到相應準線的距離等于實軸長，則雙曲線的離心率為9圓心在直線y=4x上，并且與直線l：x+y1=0相切于點P（3，2）的圓的方程為10已知橢圓為常數，mn0）的左、右焦點分別為F1，F2，P是以橢圓短軸為直徑的圓上任意一點，則=11定義在（0，）的函數f（x）=8sinxtanx的最大值為12不等式logaxln2x4（a0，且a1）對任意x（1，100）恒成立，則實數a的取值范圍為13已知函數y=與函數y=的圖象共有k（kN*）個公共點，A1（x1，y1），A2（x2，y2），Ak（xk，yk），則（xi+yi）=14已知不等式（mn）2+（m

3、lnn+）22對任意mR，n（0，+）恒成立，則實數的取值范圍為二、解答題（共6小題，滿分90分）15（14分）已知向量=（cos，1），=（2，sin），其中，且（1）求cos2的值；（2）若sin（）=，且，求角16（14分）在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=EC=求證：（1）AC1平面BDE；（2）A1E平面BDE17（14分）如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC=200m，斜邊AB=400m，現有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點D，E，F（1）若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點B出發在各自的大道

4、上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲遲2分鐘出發，當乙出發1分鐘后，求此時甲乙兩人之間的距離；（2）設CEF=，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且DEF=，請將甲乙之間的距離y表示為的函數，并求甲乙之間的最小距離18（16分）已知橢圓C：的離心率為，且點（，）在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）直線l與橢圓C交于點P，Q，線段PQ的中點為H，O為坐標原點且OH=1，求POQ面積的最大值19（16分）已知nN*，數列an的各項為正數，前n項的和為Sn，且a1=1，a2=2，設bn=a2n1+a2n（1）如果數列bn是公比為3的等比數列，求S2n；（2）如果對任意nN*，Sn=恒成立，求數列

5、an的通項公式；（3）如果S2n=3（2n1），數列anan+1也為等比數列，求數列an的通項公式20（16分）已知函數f（x）=xlnx，g（x）=（x21）（為常數）（1）已知函數y=f（x）與y=g（x）在x=1處有相同的切線，求實數的值；（2）如果，且x1，證明f（x）g（x）；（3）若對任意x1，+），不等式f（x）g（x）恒成立，求實數的取值范圍2016-2017學年江蘇省鎮江市高三（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、填空題（共14小題，每小題5分，滿分70分）1已知集合A=1，2，3，B=2，4，5，則集合AB中元素的個數為5【考點】并集及其運算【分析】求出AB，再明確元素個

6、數【解答】解：集合A=1，2，3，B=2，4，5，則AB=1，2，3，4，5；所以AB中元素的個數為5；故答案為：5【點評】題考查了集合的并集的運算，根據定義解答，注意元素不重復即可，屬于基礎題2復數z=（12i）（3+i），其中i為虛數單位，則|z|是5【考點】復數求模【分析】根據復數模長的定義直接求模即可【解答】解：復數z=（12i）（3+i），i為虛數單位，則|z|=|（12i）|×|（3+i）|=×=5故答案為：5【點評】本題考查了復數求模長的應用問題，是基礎題目3若圓錐底面半徑為2，高為，則其側面積為6【考點】棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積【分析】首先根據底面半

7、徑和高利用勾股定理求得母線長，然后直接利用圓錐的側面積公式代入求出即可【解答】解：圓錐的底面半徑為2，高為，母線長為： =3，圓錐的側面積為：rl=×2×3=6，故答案為：6【點評】本題考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵4袋中有形狀、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為0.6【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率【分析】基本事件總數n=10，這2只球顏色不同包含的基本事件個數m=，由此能求出這2只球顏色不同的概率【解答】解：袋中有形狀、大小都相同的5只球，其中3只白

8、球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，基本事件總數n=10，這2只球顏色不同包含的基本事件個數m=，這2只球顏色不同的概率為p=故答案為：0.6【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用5將函數y=5sin（2x+）的圖象向左平移（0）個單位后，所得函數圖象關于y軸對稱，則=【考點】函數y=Asin（x+）的圖象變換【分析】求得y=5sin（2x+）的圖象向左平移（0）個單位后的解析式，利用正弦函數的對稱性可得的值【解答】解：y=5sin（2x+）的圖象向左平移（0）個單位后得：g（x）=f（x+）=2sin（2x+2+），g（x）=2sin（

9、2x+2+）的圖象關于y軸對稱，g（x）=2sin（2x+2+）為偶函數，2+=k+，kZ，=k+，kZ0，=故答案為：【點評】本題考查函數y=Asin（x+）的圖象變換，求得函數圖象平移后的解析式是關鍵，考查綜合分析與運算能力，屬于中檔題6數列an為等比數列，且a1+1，a3+4a5+7成等差數列，則公差d等于3【考點】等比數列的通項公式【分析】設出等比數列的公比，由a1+1，a3+4a5+7成等差數列求得公比，再由等差數列的定義求公差【解答】解：設等比數列an的公比為q，則，由a1+1，a3+4a5+7成等差數列，得，即q2=1d=故答案為：3【點評】本題考查等差數列的通項公式，考查了等比

10、數列的性質，是基礎的計算題7已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x0時，f（x）=x24x，則不等式f（x）x的解集為（5，0）（5，+）【考點】函數奇偶性的性質【分析】根據函數奇偶性的性質求出當x0的解析式，解不等式即可【解答】解：若x0，則x0，當x0時，f（x）=x24x，當x0時，f（x）=x2+4x，f（x）是定義在R上的奇函數，f（x）=x2+4x=f（x），則f（x）=x24x，x0，當x0時，不等式f（x）x等價為x24xx即x25x0，得x5或x0，此時x5，當x0時，不等式f（x）x等價為x24xx即x2+5x0，得5x0，當x=0時，不等式f（x）x等價為00不成立，綜上

11、，不等式的解為x5或5x0，故不等式的解集為（5，0）（5，+），故答案為：（5，0）（5，+）【點評】本題主要考查不等式的解集的求解，根據函數奇偶性的性質求出函數的解析式是解決本題的關鍵8雙曲線的焦點到相應準線的距離等于實軸長，則雙曲線的離心率為1+【考點】雙曲線的簡單性質【分析】由題意可得c=2a，化簡整理，結合離心率公式，即可得到所求值【解答】解：雙曲線的焦點（c，0）到相應準線x=的距離等于實軸長2a，可得c=2a，即c22aca2=0，解得c=（1+）a或c=（1）a（舍去），即有離心率e=1+故答案為：1+【點評】本題考查雙曲線的幾何性質的運用，主要考查準線和離心率的求法，考查運算

12、能力，屬于中檔題9圓心在直線y=4x上，并且與直線l：x+y1=0相切于點P（3，2）的圓的方程為（x1）2+（y+4）2=8【考點】圓的標準方程【分析】設出圓心坐標，利用直線與圓相切，求出x的值，然后求出半徑，即可得到圓的方程【解答】解：設圓心O為（x，4x） kop=kL=1 又相切kopkL=1x=1O（1，4）r=所以所求圓方程為（x1）2+（y+4）2=8故答案為：（x1）2+（y+4）2=8【點評】本題是基礎題，考查圓的方程的求法，直線與圓的位置關系，考查計算能力10已知橢圓為常數，mn0）的左、右焦點分別為F1，F2，P是以橢圓短軸為直徑的圓上任意一點，則=m【考點】橢圓的簡單性

13、質【分析】由題意畫出圖形，再由數量積的坐標運算可得答案【解答】解：如圖，F1（c，0），F2（c，0），設P（x0，y0），則，=（x0+c，y0）（x0c，y0）=b2+c2=a2=m故答案為：m【點評】本題考查橢圓的簡單性質，考查了平面向量在圓錐曲線問題中的應用，是中檔題11定義在（0，）的函數f（x）=8sinxtanx的最大值為【考點】三角函數的最值【分析】利用導函數研究其單調性，求其最大值【解答】解：函數f（x）=8sinxtanx，那么：f（x）=8cosx=，令f（x）=0，得：cosx=x（0，），x=當x（0，）時，f（x）0，函數f（x）在區間（0，）上是單調增函數當x（，

14、）時，f（x）0，函數f（x）在區間（，）上是單調減函數當x=時，函數f（x）取得最大值為故答案為：【點評】本題考查了利用導函數研究其單調性，求其最大值的問題屬于基礎題12不等式logaxln2x4（a0，且a1）對任意x（1，100）恒成立，則實數a的取值范圍為（0，1）（，+）【考點】利用導數求閉區間上函數的最值【分析】不等式轉化為（lnx）2+4，令t=lnx，得到t2+4在t（0，ln100）恒成立，通過討論a的范圍，結合函數的單調性求出a的范圍即可【解答】解：不等式logaxln2x4，（lnx）2+4，令t=lnx，x（1，100），t=lnx（0，ln100），t2+4在t（0，

15、ln100）恒成立，0a1時，lna0，顯然成立，a1時，lna0，故lna，令g（t）=，t（0，ln100），則g（t）=，令g（t）0，解得：0t2，令g（t）0，解得：t2，故g（t）在（0，2）遞增，在（2，+）遞減，故g（t）g（2）=，故lna，解得：a，綜上，a（0，1）（，+），故答案為：（0，1）（，+）【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題13已知函數y=與函數y=的圖象共有k（kN*）個公共點，A1（x1，y1），A2（x2，y2），Ak（xk，yk），則（xi+yi）=2【考點】函數的圖象【分析】f（x）關于（0，1）對

16、稱，同理g（x）=關于（0，1）對稱，如圖所示，兩個圖象有且只有兩個交點，即可得出結論【解答】解：由題意，函數f（x）=2，f（x）+f（x）=2，f（x）關于（0，1）對稱，同理g（x）=關于（0，1）對稱，如圖所示，兩個圖象有且只有兩個交點，（xi+yi）=2，故答案為2【點評】本題考查函數圖象的對稱性，考查數形結合的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題14已知不等式（mn）2+（mlnn+）22對任意mR，n（0，+）恒成立，則實數的取值范圍為21或21【考點】利用導數求閉區間上函數的最值【分析】問題看作點（m，m+），（n，lnn）兩點的距離的平方，即為直線y=x+和直線y

17、=lnx的距離的最小值，當y=lnx的切線斜率為1時，求出y=lnx在（1，0）處的切線與y=x+的最小值，解出即可【解答】解：不等式（mn）2+（mlnn+）22對任意mR，n（0，+）恒成立，看作點（m，m+），（n，lnn）兩點的距離的平方，即為直線y=x+和直線y=lnx的距離的最小值，當y=lnx的切線斜率為1時，y=1，點（1，0）處的切線與y=x+平行，距離的最小值是d=2，解得：21或21，故答案為：21或21【點評】本題考查了曲線的切線方程問題，考查平行線的距離，問題轉化為直線y=x+和直線y=lnx的距離的最小值是解題的關鍵，本題是一道中檔題二、解答題（共6小題，滿分90分

18、）15（14分）已知向量=（cos，1），=（2，sin），其中，且（1）求cos2的值；（2）若sin（）=，且，求角【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系【分析】（1）由已知得=2cossin=0，從而sin2+cos2=5cos2=1，進而cos2=，由此能求出cos2（2）由cos2=，得cos=，sin=，由sin（）=，且，得sin=2cos，由此能求出的值【解答】解：（1）向量=（cos，1），=（2，sin），其中，且=2cossin=0，sin2+cos2=5cos2=1，cos2=，cos2=2cos21=（2）cos2=，cos=，sin=，sin（）=，且，sinco

19、scossin=，2cossin=，sin=2cos，sin2+cos2=5cos22=0，解得cos=或cos=（舍），=【點評】本題考查角的余弦值的求法，考查角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數性質的合理運用16（14分）（2016秋鎮江期末）在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=EC=求證：（1）AC1平面BDE；（2）A1E平面BDE【考點】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定【分析】（1）證明線面平行，只需證明直線與平面內的一條直線平行即可連接AC與DB交于O，連接OE，AC1OE，即可證明AC1平面BDE（2）證明線面垂直，只需證明直線與平面內的兩條相

20、交直線垂直即可連接OA1，可證OA1DB，OEDB，平面A1OEDB可得A1EDB利用勾股定理證明A1EEB即可得A1E平面BDE【解答】解：（1）ABCDA1B1C1D1是長方體，AB=BC=EC=可得平面ABCD和平面A1B1C1D1是正方形，E為CC1的中點連接AC與DB交于O，連接OE，可得：AC1OE，OE平面BDEAC1平面BDE（2）連接OA1，根據三垂線定理，可得OA1DB，OEDB，OA1OE=O，平面A1OEDB可得A1EDBE為CC1的中點設AB=BC=EC=AA1=a，A1E=，A1B=A1B2=A1E2+BE2A1EEBEB平面BDEBD平面BDEEBBD=B，A1E

21、平面BDE【點評】本題考查了線面平行，線面垂直的證明考查學生對書本知識的掌握情況以及空間想象，屬于中檔題17（14分）（2016秋鎮江期末）如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC=200m，斜邊AB=400m，現有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點D，E，F（1）若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點B出發在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲遲2分鐘出發，當乙出發1分鐘后，求此時甲乙兩人之間的距離；（2）設CEF=，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且DEF=，請將甲乙之間的距離y表示為的函數，并求甲乙之間的最

22、小距離【考點】解三角形【分析】（1）由題意，BD=300，BE=400，BDE中，由余弦定理可得甲乙兩人之間的距離；（2）BDE中，由正弦定理可得=，可將甲乙之間的距離y表示為的函數，并求甲乙之間的最小距離【解答】解：（1）由題意，BD=300，BE=400，ABC中，cosB=，B=，BDE中，由余弦定理可得DE=100m；（2）由題意，EF=2DE=2y，BDE=CEF=CEF中，CE=EFcosCEF=2ycosBDE中，由正弦定理可得=，y=，0，=，ymin=50m【點評】本題考查利用數學知識解決實際問題，考查正弦、余弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題18（16分）

23、（2016秋鎮江期末）已知橢圓C：的離心率為，且點（，）在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）直線l與橢圓C交于點P，Q，線段PQ的中點為H，O為坐標原點且OH=1，求POQ面積的最大值【考點】直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程【分析】（1）由橢圓的離心率為，且點（，）在橢圓C上，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程（2）設l與x軸的交點為D（n，0），直線l：x=my+n，聯立，得（4+m2）x2+2mny+n24=0，由此利用韋達定理、弦長公式、均值定理，結合已知條件能求出POQ面積的最大值【解答】解：（1）橢圓C：的離心率為，且點（，）在橢圓C上解得a2=4，b2=1，橢圓C的

24、方程為（2）設l與x軸的交點為D（n，0），直線l：x=my+n，與橢圓交點為P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立，得（4+m2）x2+2mny+n24=0，y1，2=，=，即H（），由OH=1，得，則SPOQ=OD|y1y2|=|n|y1y2|，令T=1216，設t=4+m2，則t4， =，當且僅當t=，即t=12時，（SPOQ）max=1，POQ面積的最大值為1【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式、均值定理、橢圓性質的合理運用19（16分）（2016秋鎮江期末）已知nN*，數列an的各項為正數，前n項的和為Sn

25、，且a1=1，a2=2，設bn=a2n1+a2n（1）如果數列bn是公比為3的等比數列，求S2n；（2）如果對任意nN*，Sn=恒成立，求數列an的通項公式；（3）如果S2n=3（2n1），數列anan+1也為等比數列，求數列an的通項公式【考點】數列遞推式【分析】（1）b1=a1+a2=3，可得bn=3n=a2n1+a2n利用分組求和與等比數列的求和公式即可得出S2n（2）對任意nN*，Sn=恒成立，可得n2時，an=SnSn1，化為： =，an0可得anan1=1，利用等差數列的通項公式即可得出（3）由S2n=3（2n1），且a1=1，a2=2，可得a1+a2+a3+a4=9，可得a3+a

26、4=6由數列anan+1也為等比數列，設公比為q=，可得數列an的奇數項與偶數項分別成等比數列，公比為q即可得出【解答】解：（1）b1=a1+a2=3，bn=3n=a2n1+a2nS2n=3+32+3n=（2）對任意nN*，Sn=恒成立，n2時，an=SnSn1=，化為： =，an0an1=an1，即anan1=1，an=1+（n1）=n（3）S2n=3（2n1），且a1=1，a2=2，a1+a2+a3+a4=3×（221）=9=1+2+a3+a4，a3+a4=6數列anan+1也為等比數列，設公比為q=，數列an的奇數項與偶數項分別成等比數列，公比為qa3=q，a4=a2q=2q，q+2q=3×2，解得q=2=2n1，a2n=2n可得an=（kN*）【點評】本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的定義通項公式與求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題20（16分）（2016秋鎮江期末）已知函數f（x）=xlnx，g（x）=（x21）（為常數