1、近世代數模擬試題一 . 單項選擇題（ 每題 5 分，共 25 分 ）1、在整數加群（Z, +）中，下列那個是單位元（）.A. 0 B. 1 C. 1 D. 1/n， n 是整數2、下列說法不 正確的是（） .A . G只包含一個元g,乘法是gg=g。G對這個乘法來說作成一個群B . G是全體整數的集合，G對普通加法來說作成一個群 ；C . G是全體有理數的集合，G對普通加法來說作成一個群；D. G是全體自然數的集合，G對普通加法來說作成一個群.3. 如果集合M的一個關系是等價關系，則 不一定具備的是（）.A . 反身性B. 對稱性C. 傳遞性D. 封閉性4. 對整數加群Z 來說，下列不 正確的

2、是（） .A. Z 沒有生成元.B. 1 是其生成元.C. 1 是其生成元.D. Z 是無限循環群.5. 下列敘述正確的是（） 。A.群G是指一個集合.B.環R是指一個集合.C.群G是指一個非空集合和一個代數運算，滿足結合律，并且單位元，逆元存在.D.環R是指一個非空集合和一個代數運算，滿足結合律，并且單位元，逆元存在.二 . 計算題 （ 每題 10 分，共 30 分 ）1. 設 G 是由有理數域上全體2 階滿秩方陣對方陣普通乘法作成1213的群，試求中G中下列各個兀素c, d,cd,0101.2. 試求出三次對稱群S3(1),(12),(13),(23),(123),(132)的所有子群.3

3、. 若e是環R的惟一左單位元，那么e是R的單位元嗎？若是請給予證明.三 . 證明題 （ 第 1 小題 10 分，第 2 小題 15 分，第 3 小題 20 分， 共 45 分 ）.1. 證明 : 在群中只有單位元滿足方程2x x.2.設G是正有理數乘群,G是整數加群.證明:：2ngba是群G到G的一個滿同態，其中 a, b是整數,而（ab,2） 1 .3設 S 是環 R 的一個子環. 證明 : 如果 R 與 S 都有單位元，但不相等，則S 的單位元必為R 的一個零因子.近世代數模擬試題答案2008 年 11 月cd分)3 分)2 分)2 分)7 分)3 分)一、單項選擇題( 每題 5 分，共

4、25 分 )1. A 2. D 3. D30 分 )二 . 計算題 ( 每題 10 分，共1 . 解：(3易知 c 的階無限， d 的階為 2.但是的階有限，是2.2 .解：S3的以下六個子集H1(1), H2(1),(12) , H3(1),(13) ,H4(1),(23) , H5(1),(123),(132) , H6S3對置換乘法都是封閉的，因此都是S3的子集.3 .解：e是R的單位元。事實上，任取a,b R,則因e是R的左單位元，故 (ae a e)b a(eb) ab eb ab ab b b, 即ae a e也是R的左單位元。故有題設得ae a e e, ae a.即 e 是 R

5、 的單位元.三、證明題( 每小題 15 分共 45 分 )1. 證明：設e是G的單位元，則e顯然滿足所說的方程（3分）另外，設a G且a2 a ,則有1 21a a a a, 即 a e ,（5 分）即只有e滿足方程x2 x .（2分）2 .證明： 顯然是G到G的一個滿射（3分）又由于 當（ab,2）1,（cd,2） 1時有（abcd,2） 1（4 分）n b m dn m bd（22）（2） n m且a cac（6 分）（2n -） （2m d）.a c故 是群G到G的一個同態滿射。（2分）3 證明：分別用e和e表示R與S的單位元，且e e ,于是e不是R的單位元。（3分）因此，存在0 a R,使ae a或 ea a（5 分）如果ae