1、山東省泰安市泰山中學2020屆高三數學第五次模擬考試試一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的）1.已知復數z滿足= 則卜卜A. >/2B.2C, 272D. 82.已知集合4 =卜丫7<0,8 =卜|工>1或¥<0,則A. Bq. A B. Ac B C. A<jB = R 3.已知集合 a = log3 0.2力=log02 0.3,c = 10叫則 A. a <b<cB, a<c<bC. c<a<b4.(1x)(l+"的展開式中，V的系數為

2、A. 2B. -2C. 3D. -35.函數/(x)與g(x) =x的圖象關于y軸對稱,則函數/ （x）的部分圖象大致-1-6.在3世紀中期，我國古代數學家劉徽在九章算術注 出了割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不 則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的 作.割圓術可以視為將一個圓內接正邊形等分成個等 角形（如圖所示），當變得很大時，等腰三角形的面積之 似等于圓的面積.運用割圓術的思想，可得到sin3。的近似值為（乃取近似值3.14）A. 0.012B. 0. 052C. 0. 125D. 0. 2357.已知函數/(x) = x3 + ig(Jp77 + x),若等

3、差數列q的前項和為S“，且 /(%1)=-10,/3洶1)=10,貝is2020MA. -4040B. 0C. 2020D. 40408 在四而體 ABC。中，BC = CD = BD = AB = 2, ZABC = 90 ,二而角 A-3C-O 的平面角為150° ,則四面體ABCD外接球的表面積為B.絲r3C. 314D. 124 萬二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）9.在疫情防控阻擊戰之外，另一條戰線也日漸清晰一一恢疫情防控期間某企業更1職工調查復經濟正常運行.國人

4、萬眾一心，眾志成城，防控疫情、復 工復產，某企業對本企業1644名職工關于復工的態度進行 調查，調查結果如圖所示，則下列說法正確的是A. x = 0.384B.從該企業中任取一名職工，該職工是傾向于在家辦公的概率為 0. 178C.不到80名職工傾向于繼續申請休假D.傾向于復工后在家辦公或在公司辦公的職工超過986名10,已知向量 =（2/）,8=（1,一1）,。=（m一2,-）,其中團,均為正數，且下列說法正確的是A. 4與加勺夾角為鈍角C. 2/7? +77 = 4B.向量。在方向上的投影為當D. 的最大值為211.已知橢圓。：，+ % = 1（>>。）的右焦點為F,點P在橢圓

5、C上，點Q在圓-3-E：（x + 3）2+（y-4）2=4±,且圓E上的所有點均在橢圓C外，若|尸。|一|尸日的最小值為2>/5-6,且橢圓C的長軸長恰與圓E的直徑長相等，則下列說法正確的是A.橢圓C的焦距為2B.橢圓C的短軸長為C. |PQ| + |PF|的最小值為2"D.過點F的圓E的切線斜率為主史12.已知函數/（x）=|cosx|卜inx|,則下列結論中，正確的有A.乃是/（X）的最小正周期B. /（X）在（三,£）上單調遞增I 4 2 ）c. “X）的圖象的對稱軸為直線x = ? + k/r（AeZ）D. /（x）的值域為0三、填空題（本題共4小題

6、，每小題5分，共20分）13 .若曲線/（x） = Rlnx+x在點（1, 7（I）處的切線與直線2x + “y4 = 0平行，則14 .已知圓錐的頂點為S,頂點S在底面的射影為0,軸截而SAB是邊長為2的等邊三角形， 則該圓錐的側面積為，點D為母線SB的中點，點C為弧AB的中點，則異面直線 CD與0S所成角的正切值為.15 . CES是世界上最大的消費電子技術展，也是全球最大的消費技術產業盛會. 2020CES消費 電子展于2020年1月7日10日在美國拉斯維加斯舉辦.在這次CES消費電子展上，我國某 企業發布了全球首款彩色水墨屏閱讀手機，驚艷了全場.若該公司從7名員工中選出3名員 工負責接

7、待工作（這3名員工的工作視為相同的工作），再選出2名員工分別在上午、下午講 解該款手機性能，若其中甲和乙至多有1人負責接待工作，則不同的安排方案共有 種.2216 .已知點與 鳥分別為雙曲線。：£一a=11/>0力>0）的左、右焦點，點A, B在C的 右支上，且點心恰好為A"A8的外心，若（麗+麗）麗=0,則C的離心率為. 四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17 .（本小題滿分10分）在asinC-Gccos8cosc = ?cos2C ；5ccos5+4/? = 5a ：（2Z?-）cosC = ccosA,這三

8、個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.在ABC中，內角A, B, C所對的邊分別為4,b,c.且滿足.求sinC：已知a + = 5.AA8C的外接圓半徑為土，求4ABC的邊AB上的高/1.3注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18 .（本小題滿分12分）已知數列an的前八項和為S“，且S“ = 2a +1 -.（1）求證：數列q+ 1為等比數列；設bn =/?（«+I）,求數列也的項和Tn.19 .（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐E-ABCD中，底而ABCD為直角梯形，AB/CD ,BC ± CD,AB = 2BC = 2CD,AEAB

9、是以A3為斜邊的等腰直角三角形，且平而E45 _L平面ABCD,點 F滿足，EF=AEA(AeOAy（1）試探究4為何值時，CE平而BDF,并給予證明:（2）在（1）的條件下，求直線AB與平面BDF所成角的正弦值.20 .（本小題滿分12分）已知點M（0,2）,點P在直線 =5/+2上運動，請點Q滿足"2 =："戶，記點Q的為 曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設。（0,3）,£（0,3）,過點D的直線交曲線C于A, B兩個不同的點，求證，ZAEB = 2ZAED.2L （本小題滿分12分）證明.已知函數J'(x) = e”-cosx,xe -一（1）/

10、（X）存在唯一的極小值點：（2） /（X）的極小值點為小,則1/（毛）0.22.（本小題滿分12分）十九大提出：堅決打贏脫貧攻堅戰，做到精準扶貧.某縣積極引導農民種植一種名貴中藥材, 從而大大提升了該縣村民的經濟收入.2019年年底，該機構從該縣種植的這種名貴藥材的農 戶中隨機抽取了 100戶，統計了他們2019年因種植，中藥材所獲純利潤（單位：萬元）的情況 （假定農戶因種植中藥材這一項一年最多獲利11萬元），統計結果如下表所示：分組1,3)3,5)5,7)7,9)9,11頻數1015452010由表可以認為，該縣農戶種植中藥材所獲純利潤Z（單位：萬元）近似地服從正態分布 N（,b2）,其中近

11、似為樣本平均數7 （每組數據取區間的中點值），4近似為樣本方差 ?«2.12.若該縣有1萬戶農戶種植了該中藥材，試估算所獲純利潤Z在區間（1.9, 8.2）的 戶數；（2）為答謝廣大農戶的積極參與，該調查機構針對參與調查的農戶舉行了抽獎活動，抽獎規則 如下：在一箱子中放置5個除顏色外完全相同的小球，其中紅球1個，黑球4個.讓農戶從 箱子中隨機取出一個小球，若取到紅球，則抽獎結束；若取到黑球，則將黑球放回箱中，讓 -5-他繼續取球，直到取到紅球為止(取球次數不超過10次).若農戶取到紅球，則視為中獎，獲 得2000元的獎勵，若一直未取到紅球，則視為不中獎.現農戶張明參加了抽獎活動，記他

12、中 獎時取球的次數為隨機變量X,他取球的次數為隨機變量Y.證明：P(X =)( e< 10)為等比數列：(ii)求Y的數學期望.(精確到0.001)參考數據：O.89«O.1342,O.8,o«O.1O74.若隨機變量Z N(,/),則尸( crvZ4+cr)=0.6827, P(/-2(t<Z</+2b) = 0.9545.數學試題參考答案一、單項選擇題:題號12345678答案cDABDBCB二、多項選擇題:題號9101112答案BDCDADBD三、填空題：,、慶V3 + 113. -114. 24.15.36016.-32四、解答題：17.解：選擇條

13、件：(1)因為c”sinC->/5ccos8cosc = Vicos'C ,所以由正弦定理得 sin A sin C = >/3 sin C cos B cos C + y/3 sin B cos2 C , 即 sin A sin C = 73 cos C（sin Ccos B + sin Bcos C,故 sin Asin C = >/5cosCsin A.（3 分）又Ae（0,;r）,故sinAwO,所以 sin C = JJcosC, UP tan C =由。£（0,乃），得c = g.-9-所以 sin C = sin /=-. 32(5分)（2）由

14、正弦定理得c = 2x土叵sin£ = 4, 33(6分)由余弦定理得/ =(/+Z?2 -2aZ?cosg = (a + Z?)- -3" = 16 ,(ci + b 16所以"，故帥=3.3于是得A43C的面積S = absin C = ch , 22（8分）33r 所以底制（10 分）選擇條件：（1）因為5ccos5+4/? = 5。，由正弦定理得5$由。8$3+45由3 = 551114,即 5sinCcos5+4sin3 = 5sin(B + C) = 5sin3cosC+5cos8sinC,于是 sinB(45cosC) = 0.在 AA8C,sin8

15、wO,4 所以 cosC =一,sin C = 5/1-cos2 C =三(2)由正弦定理得c = 2x33x| = ¥由余弦定理得r2 =a2 +b2 2“cosCz18 z192= a + b) 一一ab =,V7525g”,八 219215433所以 R?= (a+Z?) x =,L2518 90于是得A4BC的面積S = lsin C = -ch , 22（3分）（5分）（6分）（8分）g、一 absinC 433 354336八/八、所以=x-x= =. (10 分)c 90 5 8近 720選擇條件：(1)因為(2Z?-)cosC = c8sA,所以由正弦定理得(2sin

16、B-sin A)cosC = sin Ceos A,所以 2sin Bcos C = sin(A + C) = sinB,因為Be (0,1)，所以sinBHO,所以cosC = L, 2又 Aw(0,;r),所以C=g,所以sinC =正.2（3分）（2）由正弦定理得c = 2x土叵sin£ = 4, 33由余弦定理得/ = a2 +b2 - 2abcos = (a + b) -3ab = 16 ,(a + b)2 -16 .所以!，故帥=3.3于是得A4BC的面積S = -ab sin C = -chf 2233r 所以仁學=十邛（5分）（6分）（8分）（10 分）18.解：(1

17、)因為 S“ =+1 ，所以 S,i =+1 -( 一 1)( 之 2). 當22時，由一得 =2勺_ + 1,即4+1 = 2(%+1)，（3分）-11 -所以 = 2（之2）.。一 +1當 =1 時，S=2% 即4 =0,4 +1 = 1 .（4分）所以數列為+ 1是以1為首項，2為公比的等比數列.（6分）(2)由(1)知4 + 1 = 2"t（7分）所以(q+ l) = 2'i.(8分)所以 7； =lx2° + 2x2i+3x22+ 2”1 貝。27； = lx2i+2x2?+3x2 + 2”,由一®,得7；=lx20 + lx2i + lx22+

18、 1x2”t一2"=(1)2"-1,所以 7>(一1 >2+L（12 分）19.解： 當4 = 一時,CE平面FBD.3（1分）證明如下：連接AC,交BD于點M,連接MF.因為ABCD,所以 AM:MC=AB:CD=2:1> 1 又 EF = EA,3所以FA:EF=2:1.所以 AM:MC=AF:EF=2:L所以 MF/CE.（4分）又MFu平面BDF, CE&平面BDF,所以CE平面BDF.（5分）（2）取AB的中點0,連接E0, 0D.則上。_LA8.又因為平面ABE J«平面ABCD,平面A8石c平面ABCD = AB,EO u平

19、面ABE,所以E。，平面ABCD, 因為QDu平面ABCD, 所以七O_LQD.-13-由及 AB=2CD, AB/CD,得 OZ）LAB,由OB, OD, OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系0x）2 .因為AE4B為等腰直角三角形，AB=2BC=2CD,所以 OA=OB=OD=OE,設 OB=L所以。(OQO),A(1,0,0)1(1,0,0),C(11,O), D(0,1,0),£(0,0,1).（7分）所以荏= (2,0 ，麗= (-1,1,0),333) 33),<43、所以尸8= I 3Z )設平面BDF的法向量為 =（X, 乂 z）,nBb = 0, 方=0

20、,-x + y = 0,所以，42-X-Z =13 3（9分）設直線AB與平面BDF所成的角為6, 則 sin 6 = cos|2xl + 0xl + 0x2| 逐 2>/12+12+226-19-即直線AB與平面BDF所成角的正弦值為g.6（12 分）20.解：（1）設。（x,y）,P（Xo，%）9 1由 =得（乂）' + 2）=；（七,%+2）,所以1工=/，Qi2X。= 2大，%=2y + 2,因為點P在曲線曠=,父+2上, 16所以 >'o =77X0 +2.1O即2y+ 2 = '（2x+2,整理得丁 =8）二16所以曲線C的方程為犬=8%（5分）

21、（2）直線AB的斜率不上輩子在時，不符合題意;當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為丁 =履+ 3,4（外方）,3（%片）y = kx + 3, V=8y,得 F 一 8入 - 24 = 0, A = 64攵 2 + 96 > 0 ,可知玉 +x2=-24 ,（7分）直線AE, BE的斜率之和為C“+3 K+3_E+6 5+6AE BE 演 w 玉 W_ 2kxix? +6(x1 +X2) _ -48k + 48k _=u xx2-24故AB, BE的傾斜角互補.:.ZAED = ZBED.：.ZAEB = 2ZAED.(2 分)21.解：(1) fx) = ex +sinx ,設

22、g(/) = r(x) = e'+sinx,則 g'(x) = e"+cosx,當xe 一7，°卜寸，cosx£0,l).e“ e(0,1),所以g'(x)>0.當xe0,+oo)時，g'(x)2e"+cosx = l+cosx之0, - 綜上所述，當唉,+6時，g'(“20恒成立， - - /一 故/'(x) = g(x)在一：+ 8上單調遞增.(冗、£又/卜會= ”-</_ =。/(0)= >0,由零點存在定理可知，函數/'(X)在區間-彳刃)上存在唯一的零點如且工0一、，0' (5分)結合單調性可得/(X)在工。上單調遞減，在(%,4S)上單調遞增， L /所以函數/(X)存在唯一極小值點與.即/'撲。，/(0) = ？)+0 = 1>0,故極小值點小£ -工,0 4且/'() = 6"+$皿人0=0，即 e