1、第二章導數與微分第一節導數概念一、導數的定義定義：若極限lim孚=lim "還十竽一"飛）存Ar-»O &Ar->0AX在，則稱函數y = /（x）在點/處可導，此極限值稱為函數y = /（x）在點/處的導數。記為：r（x0）vX=XQdydxX=XQdf(x)dxX=XQ（或極限lim存在也可）Xf X。X-XQlim包=limo Ax° Ax單側導數: 左導數：lirn /(q +竺)-/(/) = lim £(%)-£(%)存在，to Axx-mx x0則稱左導數存在，記為：£(X0)o右導數：lim /

2、+ &)-/)=1而 %)-/(%。)存在,Ar-> 0+AX%溫X Xo則稱右導數存在，記為：r(x0)o定理:I函數在X。可導當且僅當函數在X。的左右導數 I存在且相等。【例1】(89 )已知7(3) = 2 ,則3 2h【例2】(87-)設/(%)在處可導，則limx>0/( + %) /(一%)等于(A) /'(a).(B) 27(。).(C) 0.(D)/(2).例 3 (89 二)設/(x) = x(x + l)(x + 2)(x + ), 則/(0)=.【例4】(89")設/(%)在的某個鄰域內有定義，則/(X)在處可導的一個充分條件是(A)

3、 lim h /(ti + -)-/(«)存在. Af+ooh(B) + 2-八。+存在hf。h(C) 存在一-o2h(D) 11m/一/(”仍存在. 2ohx2 -1(【例5】(93二)設= ( KT" * L則在點 = 12, x = 1處函數/(%)(A)不連續.(B)連續，但不可導.(C)可導，但導數不連續.(D)可導，但導數連續.X3 X v 1【例6】(94二)設/(”)=3 ' ，則/在“x2,x > 1處的(A)左、右導數都存在.(B)左導數存在，但右導數不存在.(C)左導數不存在，但右導數存在.(D)左、右導數都不存在.【例7】(96-)設函

4、數/(%)在區間(-5)內有定 義，若當工£(-5時，恒有貝|% = 0必是/(%)的(A)間斷點.(B)連續而不可導的點.(O可導的點，且/'(0) = 0.(D)可導的點,且，(0)。0.【例8】(90三)設函數/(%)對任意的均滿足等式f(x + l)=af(x),且有r(0)=" 其中、。為非零常數，則(A) /(%)在 = 1處不可導，(B) /(%)在 = 1處可導，且/")= "(C) “X)在x = l處可導，且廣=從(D) /(%)在 = 1 處可導，f'(l) = ab,/(x)-/(x0)y（x）-/（x0）9二、導

5、數的幾何意義和物理意義 導數的幾何意義： 切線的斜率為： k= tan a = lim導數的物理意義：某變量對荷間，的變化率，常見的有速度和加速度。：面曲線y = /（X）的切線與法線方程切線：J = /x0)(x-x0) + /(x0)法線：J=-(x-x0) + /(x0) f (%0)【例9】（95三）設/（%）為可導函數，且滿足條件1"一”一) 2x=-1,則曲線y = /(x)在點(1J)處的切線斜率為()(A) 2,(B) -1.(C)(D) -2.2三、函數可導與連續的關系函數可導則函數必連續，即：可導n連續注解：函數y = /(x)在工點可導，所以有尸(x)= lim

6、 "->0 Ar而lim 4y = lim Ar = lim lim Ax = /'(%) 0 = 0Ax>0Ax30 人丫Ar>0 八丫 Ar.0注意：反之，未必，即：|連續不一定可導|!【例10】(88三)確定常數和。，使函數ax+b.x >1 1- 口fW = 2處處可導.x X < 1【例11】(90三)設/(x)有連續的導數，"0) = 0且|7(x) + sinx 7(0)="若函數尸(x) = x ' 在A, x = 0工=0處連續，則常數A =答案：A=a+b【例12】(95二)設)可導,歹(x) =

7、/(x)(l + binx|).若方(%)在 = 0處可導，則必有()(A) /(0) = 0.(B)/(0) = 0.(O /(0) + /(0) = 0.(D) /(0)- /'(0) = 0.第二節函數的求導法則 一、基本求導公式(1) (c)，=(2)(xwy =(log"x)' =特別地：當 =e時，(lnx)f =(4) (sinx)f =(cos%)=注：剩余的后面補充 二、函數四則運算的求導法則 定理1設函數 = (%),羽= v(x)都在X處可導,即 具有導數'=/(%),，= Vz(x),則有(1) (u±vy = uf±

8、;vf(2) (uv)r = urv + uv"；'；(。)'=3 (。為常數)(u -I”uv-uvv2推廣：(/ ± % ± _ ±土; 土 ±；(%4 ,%)' = ；2"+ + % Un-lUn【例】求函數y = tanx的導數。【例】求函數y = secx 的導數。補充公式：(cotx)r =(cscx)r =(5) (tanx)r =(6) (secx)' =三、反函數的求導法則定理2如果函數 =。(>)在區間人上單調、可導, 且“(y)wO,則它的反函數y = /(%)在對應區間 /

9、x = xlx = (j),j eZ 上也可導，且,(y)即：反函數的導數等于直接函數導數的倒數。【例】已知函數y =優( >0且 wl),求y'。I補充公式：(7)(優7 =(arccosx)'=特別地：當=e時，(葭)，=(8) (arcsinx)' =(arctan %)=(arccot %)=四、復合函數的求導法則(鏈法則) 定理3如果函數 = 0(x)在點工處可導，而函數 y = /()在X點對應的( =°(%)點處可導，則復 合函數y = 0(x)在“點處可導，且其導數為：dy _dy du dx du dx推廣：y = /（）、 =。0）、

10、u = g（x）都可導,則復合函數的導數為：/uo（g（x）=r（）"w）g'（x）dy _dy du dvdx du dv dx【例1】（89二）已知尸 一 J X=arcsine求y'【例2】（90二）設尸）町sin ,則y，=X【例3】（95二）設人cossin2 匕則 V =X= 0=x硒(z a + T)=根(-96)【卿】【例5】（89三）曲線六 的切線方程是.=x + sin2 x在點號1+9）處【例6】（93三）已知尸/（3x-23x + 2/x) = arctan x2,則”。ax五、高階導數【例8】(90-)已知函數八")具有任意階導數,

11、 且7(%) = ")，則當為大于2的正整數時，/(%)的階導數尸")(%)為()(A) n!/(x)w+1(B) n/(x)w+1(O /(x)2w(D) !"(%)廣【例9】(93") j = sin/(x2),其中/具有二 階導數，求會求解兩個函數的和差積高階導數的公式：(土 "產=土/")( v)5)= C>v(w) + C：' v("-D + C> " v(T)+ +C")v=9 C“。” nnk=0（萊布尼茲公式）。【例101j = 求產。第三節隱函數及由參數方程所確定的函

12、數的導數一、隱函數求導法顯函數：j = /(x)隱函數：y = /(%)由方程方(%,/) = 0所確定 隱函數的求導方法I： 對方程兩邊直接求導，此時視y為工的函數，即關 于y的表達式是的復合函數，利用復合函數的求 導法則來求導。【例1】(92 )設函數y = y(x)由方程ex+y +cos 孫= 0確定，則孚=.dx【例2】（94三）設方程*+y2=cosx確定y為”的函數，則半=ax例3)(88二)已知y = 1 +w孫，求“.。及y"k0.【例4】(94")設y = /(x + y),其中/具有二階導數，且其一階導數不等于I,求修二、對數求導法 對數求導法：|先在

13、y = /(x)的兩邊取對數，然后利用隱函數求導方法求出y的導數的方法。 適用的對象：(1)形如y = ()"的幕指函數求導； (2)多個函數相乘的表達式求導。【例】設幕指函數y = ()“")() >0),【例5】設y = (l + *2嚴,求y。【例6】設y = （% -l）V（3x +1）2（2一 x）,求了與浪。三、由參數方程所確定的函數的求導法由參數方程A=0"）、所確定函數的求導公式:尸【例7】一）設x=1+t則會y = cost dx【例8】（90二）曲線的法線方程是二 cos，二 sin"上對應于，=m處 6第四節函數的微分一、微分

14、的定義x0 - AxAx2c2S = %x0 - AxAS = (x0 + Ax)2 - %； = 2x0 Ax + (Ax)2稱這個近似值為面積S的微分，記為dS =2x0.Ar定義：設函數y = /(x)在某區間內有定義，/及Ax在這區間內，如果函數的增量:Av = /(%0+&)/(%0)，可表示為：Ax = AAr + o(Ar),那么稱函數y =/(x)在點/是可 微的。AAx叫做函數y = /(x)在點X。相應于自變量 增量Ax的微分，記作辦，即：dy = AAx,其中A是 不依賴于Ar的常數。二、微分與導數的關系定理：六/在點X可微o函數在點工處可導，且 dy = fxQ

15、)-Ax函數的微分：函數y = /(x)在任意點工的微分，稱 為函數的微分，記作辦或400,且辦=/'0)&。三、微分的幾何意義yN函數在某點的微分等于 曲線在該點切線的縱坐標的增量K微分的基本公式和運算法則 1）基本函數的微分公式(1)d(C)=(2)d(x") =(3)J(sinx)= =(7)d(loga%) =(4) J (cos x)= d(e")=(8)J(lnx)=(9)J(tanx)=(10) J (cot x)=(ll)J(secx) =(12)d(cscx)=(13)d (arcsin x)=(14)d (arccos x)=(15)d

16、(arctan x) =(16)rf (arccot x)=2)和、差、積、商運算法則(1)d(w±v)=d(C)=3）復合函數微分法則復合函數：j = /（x）, % =阿），于是辦=, 但。'（，辿=,所以辦=/'（%）%.這就是說，不 論X是自變量或是中間變量，函數7 =的微分 形式總是6=r（%）而，這種性質叫做微殛式而變性【例1】（91二）設y :=ln(l + 3-“)，則辦=【例2】（89二）設tany = x + y,則辦=【例3】（96三）設方程x = V確定y是”的函數, 貝 的 =.【例4】設y = /(lnx)/3,其中/(%)可微，則 dy

17、=本章強化練習一、導數與微分的基礎1、（88二）設/（X）可導且/（/） = ,則ArfO時，/（X）在/處的微分均是（）（A）與Ar等價的無窮小.（B）與Ar同階的無窮小.（C）比Ar低階的無窮小.（D）比小高階的無窮小. 答案：（B）2、(01 -)設/(0) = 0則/(%)在點 = 0可導的充 要條件為()(A)感后"l - cosh)存在.(B)(C)(D)limRl力存在.lim 上于(h-sinh)存在.D h艘""3)-/(劃存在.答案:(B)3、(07二，三)設函數在x=0處連續,下列命題錯誤的是()(A)若lim必存在,則/(0) = 0 xf

18、O x(B)若存在,則/(0) = 010X(C)若limJ存在，則/(0) = 03° X(D)若二£(二”)存在,則r(0) = 010X4、(06三)設函數/(%)在 =。處連續，且1面”2 = 1,貝I()/。h(A)八0) = 0恥'(0)存在(B)八0) = 1%_'(0)存在(C) /(0) = 0恥'(0)存在(D) "0) = 1恥'(0)存在 答案：(D)5、(96-)設函數f(x)在區間(-&5)內有定義,若當工£(-時，恒有貝|J% = O必是/(%)的(A)間斷點.(O可導的點,(D)可導

19、的點, 答案：(C)(B)連續而不可導的點.且7(0) = 0.且廣(0)工0.二、函數求導3.二)設三加后則再“3、(02-)已知函數y / +6孫+，一1 = 0確定,= y(x)由方程 則 y"(0)=4、（97二）設函數六確定,求祟二，(%)由x = arctan t,O / 2 , t u 所 2y-ty +e =55、( 07 二，三)J(n)(0)=.設函數尸熹,則6、(06三)設函數/(%)在x = 2的某鄰域內可導,且r（x） = e"H"2） = 1,則尸=7、(06 ")設函數g(x)可微，h(x) = e1+gM=1,/(1) =

20、 2,貝加等于()(A) ln3-l.(B) -ln3-l(C) -ln2-l(D) ln2-l三、分段函數的導數討論1、(99 一二)設有分段函數1-COSX A7=- X > 0/(%) = 4 Vx ,其中，g(x)為有界函數。x2g(x) x < 0則/(%)在點x = 0(A)不存在極限 (B)存在極限，但不連續(C)連續但不可導(D)可導答案：(D)2、(05 一二)設函數/(%) = lim癡荷則/。)在 n>oo V(8,+8)P9(A)處處可導.(B)恰有一個不可導點.(C)恰有兩個不可導點.(D)至少有三個不可導點.答案：(C)3、(03三)設/(“)=

21、"s?若"工"其導函數在0.= 0.% = 0處連續，貝IJ4的取值范圍是I、導數的應用湍或然"+3一在點W)2、(99-)曲線x = e"sin2r y = J cost在(0,1)處的法線方程3v(02二)已知曲線的極坐標方程是r = l-cose,求該曲線上對應于6 = /處的切線與法線的直角坐 O標方程.4、(04 )曲線y =加工與直線 + y = 1垂直的切線方程為5、(05二)設函數y = y(x)由參數方程x = t2 + 2tj = ln(l + Z)確定，則曲線y = y(x)在=3處的法線與x軸交點的橫坐標是()(B) -

22、ln2 + 38(D) 81n2 + 3(A) -ln2 + 38(C) -81n2 + 36、(98三)設曲線/(x) = x在點(1,1)處的切線與工軸的交點為(以,0),則lim/(&) = nT8五、函數的微分1、(02 ")設函數/()可導，y=/(，)當自變量在x=-1處取得增量Ax = -0.1相應的函數增量Ay的線性主部為0.1,則王=(D) 0. 5.(A) -1.(B) 0.1.(C) 1.答案：(D)2、(00二)設函數y = /(x)由方程2町=x + y所確 定，則力|i=.3、 （05 二）設y = （1 + sin則3六、奇偶函數周期函數的導數1 V (98三)設周期函數/(%)在(-8,+8)內可導, y = /(x)在點(5"(5)處的切線的斜率為周期為4,又!吧/-八17)2x(A)(B) 0.(C) -1.(D) -2.2答案：(D)2、(93-)若= -/(-x),在(0,+8)內廣>0, /7x)>0,則/(X)在(-oo,0)內(A) fx)< 0""(x) v 0. (B) fx) < 0/(%) > 0.(C) fXx)> 0""(x) v 0. (D) fXx)>