1、一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、絕對值不等式解法 一元二次不等式與特殊的高次不等式解法例1 解不等式.分析一：利用前節的方法求解；分析二：由乘法運算的符號法則可知，若原不等式成立，則左邊兩個因式必須異號，原不等式的解集是下面兩個不等式組：與的解集的并集，即x|=x|-4<x<1=x|-4<x<1.書寫時可按下列格式：解二：(x-1)(x+4)<0或x或-4<x<1-4<x<1，原不等式的解集是x|-4<x<1.小結：一元二次不等式的代數解法：設一元二次不等式相應的方程的兩根為，則；若當時，得或；當時，得.若當時，得；當時

2、，得.分析三：由于不等式的解與相應方程的根有關系，因此可求其根并由相應的函數值的符號表示出來即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（從小到大排列）分別為-4，1，這兩根將x軸分為三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；分析這三部分中原不等式左邊各因式的符號（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4<x<1.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應方程的根為：-2，1，3；列表如下：-2 1 3x+2-+x-1-+x-3-+

3、各因式積-+-+由上表可知，原不等式的解集為：x|-2<x<1或x>3.小結：此法叫列表法，解題步驟是：將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式（各項x的符號化“+”），令(x-x1)(x-x2)(x-xn)=0，求出各根，不妨稱之為分界點，一個分界點把（實數）數軸分成兩部分，n個分界點把數軸分成n+1部分；按各根把實數分成的n+1部分，由小到大橫向排列，相應各因式縱向排列（由對應較小根的因式開始依次自上而下排列）；計算各區間內各因式的符號，下面是乘積的符號；看下面積的符號寫出不等式的解集.練習：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)&

4、gt;0. x|-1<x<0或2<x<3.思考：由函數、方程、不等式的關系，能否作出函數圖像求解 例2圖 練習圖直接寫出解集：x|-2<x<1或x>3. x|-1<x<0或2<x<3在沒有技術的情況下：可大致畫出函數圖星求解，稱之為串根法將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式，并將各因式x的系數化“+”；(為了統一方便)求根，并在數軸上表示出來；由右上方穿線，經過數軸上表示各根的點（為什么？）；若不等式（x的系數化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區間；若不等式是“<0

5、”,則找“線”在x軸下方的區間.注意：奇穿偶不穿例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應方程的根為：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；在數軸上表示各根并穿線，每個根穿一次（自右上方開始），如下圖：原不等式的解集為：x|-1<x<2或2<x<3.說明：3是三重根，在C處穿三次，2是二重根，在B處穿兩次，結果相當于沒穿.由此看出，當左側f(x)有相同因式(x-x1)n時，n為奇數時，曲線在x1點處穿過數軸；n為偶數時，曲線在x1點處不穿過數軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿”.練習：解不等式：(x-3)(x+1

6、)(x2+4x+4)0.解：將原不等式化為：(x-3)(x+1)(x+2)20；求得相應方程的根為：-2（二重），-1，3；在數軸上表示各根并穿線，如圖：原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.說明：注意不等式若帶“=”號，點畫為實心，解集邊界處應有等號；另外，線雖不穿-2點，但x=-2滿足“=”的條件，不能漏掉. 2分式不等式的解法例4 解不等式：.錯解：去分母得 原不等式的解集是.解法1：化為兩個不等式組來解：x或，原不等式的解集是.解法2：化為二次不等式來解： ，原不等式的解集是說明：若本題帶“=”，即(x-3)(x+7)0，則不等式解集中應注意x-7的條件，解集應是x| -7<x

7、3.小結：由不等式的性質易知：不等式兩邊同乘以正數，不等號方向不變；不等式兩邊同乘以負數，不等號方向要變；分母中有未知數x，不等式兩邊同乘以一個含x的式子，它的正負不知，不等號方向無法確定，無從解起，若討論分母的正負，再解也可以，但太復雜.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移項，通分，右邊化為0，左邊化為的形式.例5 解不等式：.解法1：化為不等式組來解較繁.解法2：，原不等式的解集為x| -1<x1或2x<3.3、絕對值不等式1）先兩邊提出公因式，約分2）等式兩邊平方小 結1特殊的高次不等式即右邊化為0，左邊可分解為一次或二次式的因式的形式不等式，一般用區間法解，注意：左邊

8、各因式中x的系數化為“+”，若有因式為二次的（不能再分解了）二次項系數也化為“+”，再按我們總結的規律作；注意邊界點（數軸上表示時是“0”還是“.”）.2分式不等式，切忌去分母，一律移項通分化為>0(或<0)的形式，轉化為：，即轉化為一次、二次或特殊高次不等式形式 .3一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我們稱之為有理不等式.4注意必要的討論.5一次、二次不等式組成的不等式組仍要借助于數軸.思考題：1 解關于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.解：將二次項系數化“+”為：(x2-x-12)(x+a)>0，相應方程的根為：-3，4，-a，現a的位置不定，應如何解？討論：當-a>4，即a<-4時，各根在數軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -3<x<4或x>-a.當-3<-a<4，即-4<a<3時，各根在數軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -3<x<-a或x>4.當-a<-3，即a>3時，各根在數軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -a<x<-3或x>4.0當-a=4，即a=-