1、第四章 根軌跡法習題及解答4-1、已知開環零、極點分布如圖4-25所示。試概略繪制相應的閉環根軌跡圖。圖解4-1解：根軌跡如圖解4-1所示。圖解4-14-2、 已知系統開環傳遞函數試作從的閉環根軌跡，并證明在平面內的根軌跡是圓，求出圓的半徑和圓心。解：圖解4-2根軌跡圓心，半徑的圓，如圖解4-2所示。4-3、設單位反饋控制系統開環傳遞函數如下，試概略繪出系統根軌跡圖（要求確定分離點坐標）。（1）（2）解 系統有三個開環極點：, 實軸上的根軌跡： , 漸近線： 分離點：解之得：，(舍去)。 與虛軸的交點：特征方程為 令 解得與虛軸的交點（0，）。根軌跡如圖解4-3(a)所示。 根軌跡繪制如下：

2、實軸上的根軌跡：, 漸近線： 分離點： 用試探法可得 。根軌跡如圖解4-3(b)所示。4-4、已知單位反饋系統的開環傳遞函數如下，試概略繪出系統的根軌跡圖（要求算出出射角）。（1）（2）解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 分離點：解之得： 起始角： 由對稱性得另一起始角為 。根軌跡如圖解4-4(a)所示。 系統有三個開環極點和一個開環零點。 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 起始角：根軌跡如圖解4-4(b)所示。 4-5、已知系統如圖4-26所示。作根軌跡圖，要求確定根軌跡的出射角和與虛軸的交點。并確定使系統穩定的值的范圍。解：圖解4-5有3條根軌跡，且3條全趨于無窮遠處。實軸上：漸近線

3、：出射角：與虛軸交點：則有解得：使系統穩定的值范圍為4-6、已知單位反饋系統的開環傳遞函數如下，試畫出概略根軌跡圖。（1）（2）（3）解：（1）圖解4-6(1)解：（1），有2條根軌跡且全趨于無窮遠處。實軸上：漸近線：圖解4-6分離點：圖解4-6(2)（2）有2條根軌跡，其中1條趨于無窮遠處。實軸上。（3）圖解4-6(3)有2條根軌跡，且1條趨向無窮遠處。實軸上：分離點：4-7、設系統開環傳遞函數試作出從變化時的根軌跡。圖解4-7 根軌跡圖解：做等效開環傳遞函數G(s)實軸上的根軌跡：分離點：解得：(舍去)，如圖解4-7所示，根軌跡為以開環零點為圓心，開環零點到開環極點的距離為半徑的圓。4-8

4、、設系統的閉環特征方程（1） 當時，作系統根軌跡，并求出系統階躍響應分別為單調、阻尼振蕩時（有復極點）的取值范圍。（2） 若使根軌跡只具有一個非零分離點，此時的取值？并做出根軌跡。（3） 當時，是否具有非零分離點，并做出根軌跡。解：圖解4-8(1)（1）做等效開環傳遞函數有3條根軌跡，有2條趨向無窮遠處。實軸上：漸近線：分離點：解得：當時系統階躍響應為單調。當及時系統階躍響應為阻尼振蕩。（2）圖解4-8(2)分離點：要使系統只有一個非零分離點，則即，（舍去）（3）作等效開環傳遞函數 有3條根軌跡其中2條趨向無窮遠處圖解4-8(3)實軸上：漸近線：分離點：無解，故無分離點。4-9、試作圖4-27

5、所示系統從時的系統根軌跡圖，并確定使系統穩定的值范圍。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 與虛軸交點：閉環特征方程為圖解4-9 根軌跡圖把代入上方程，令解得： ， 根軌跡如圖解4-9所示。由圖解4-9可知使系統穩定的值范圍為 。4-10、做出圖4-28所示系統的根軌跡，圖中分別為（1）（2） (3)解：（1）有3條根軌跡且全趨向于無窮遠處。實軸上：起始角：圖解4-10(1)漸近線：與虛軸相交：解得：（2）圖解4-10(2)實軸上：漸近線：出射角：100°=120°100°-（+120°+90）°=（2k+1）=70°（3

6、）圖解4-10(3)實軸上：漸近線：出射角：，=120°，60°-（+120°+90）°=（2k+1） =30°4-11、設控制系統如圖4-29所示，為了使系統閉環極點為，試確定增益和速度反饋系數的數值，并利用值繪制系統的根軌跡圖。解：圖解4-11有有2條根軌跡，1條趨向無窮遠處。實軸上：分離點：4-12、為了使圖4-30所示系統的閉環極點的希望位置為，在前向通路中串入一個校正裝置作補償，其傳遞函數為圖中試確定（1）所需的值。 (2) 所希望的閉環極點上的值。 (3) 第三個閉環極點的位置。解：解得：4-13、設負反饋系統的開環傳遞函數為（1）

7、試作系統的根軌跡。（2）求當時，閉環的一對主導極點值，并求其及另一個極點。（3）求出滿足(2)條件下的閉環零、極點分布，并求出其在階躍作用下的性能指標。解：圖解4-13（）、有條根軌跡，其中條趨向無窮遠處。實軸上：漸近線：分離點：試根得：-0.5344設阻尼線與根軌跡交點為另一實根為有解得：1.1784-14、圖4-31所示的隨動系統，其開環傳遞函數為為了改善系統性能，分別采用在原系統中加比例-微分串聯校正和速度反饋校正兩種不同方案。（1）試分別繪制這三個系統的根軌跡。（2）當時，根據閉環零、極點分布，試比較兩種校正對系統階躍響應的影響。圖解4-14(a)解：（）（）實軸上：圖解4-14(b)（）圖解4-14(c)（）（）（a）圖解4-14（2）（b）（c）比較：（b）與（a）相比附加了開環零點，因此影響了系統的閉環極點，改變了階躍響應中的模態，使得超調量減小，調節時間縮短。（b）與（c）相比開環傳遞函數相同，只是前者附加了閉環零點，不影響極點，不影響單位階躍響應中的各模態，但會改變各模態的加權系數，從而影響系統的動態性能。（b）附加了閉環零點后，比（c）的峰值時間提前，超調量稍有增加。4-15、 系統的開環傳遞函數為試繪制系