1、海 南 大 學畢 業 論 文（設計）題 目：積分中值定理的推廣及應用 學 號：姓 名：年 級：學 院：信息科學技術學院 系 別：數學系 專 業：信息與計算科學 指導教師：完成日期： 年 月 日 摘 要本論文講述的主要內容是積分中值定理及其應用，我們將它主要分為以下幾個方面：積分中值定理、積分中值定理的推廣、積分中值定理中值點的漸進性，積分中值定理的應用。我們討論了定積分中值定理、第一積分中值定理、第二積分中值定理，而且還給出了這些定理的詳細證明過程。在此基礎上，我們還討論了在幾何形體上的黎曼積分第一中值定理，它使得積分中值定理更加一般化，此情形對于討論一般實際問題有很顯著作用。在積分中值定理的

2、推廣方面，我們由最初的在閉區間討論函數的積分中值定理情形轉換為在開區間上討論函數上的積分中值定理，這個變化對于解決一些實際的數學問題更為方便。不僅如此，我們還將幾何形體上的黎曼積分第一中值定理推廣到第一、第二曲線型積分中定理和第一、第二曲面型積分中值定理情形。有關點的漸進性，我們對第一積分中值定理的點的做了詳細的討論，給出詳細清楚的證明過程。而第二積分中值定理的漸進性問題只證明了其中的一種情形，其它證明過程只做簡要說明。對于應用，我們給出了一些較簡單的情形如估計積分值，求含有定積分的極限，確定積分號，比較積分大小，證明函數的單調性還有對阿貝爾判別法和狄理克萊判別法這兩個定理的證明。關鍵詞：積分

3、中值定理；推廣； 應用；漸進性AbstractThe main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point” of integral m

4、edian point, the application of integral mean-value theorem.We have discussed the definite integral mean-value theorem, the first mean value theorem, the second integral mean-value theorem, and have given a detailed proof of these theorems process. On this basis, we also have discussed the Riemann f

5、irst integral mean-value theorem on the geometry.It makes the integral mean-value theoremis more general, the case has a significant role in the discussion of practical issues in general.In the promotion of integral mean value theorem, we have discussed the integral mean-value theorem of function in

6、 the initial closed interval in the case of discussing it in the open interval, the change has more convenience in solving some practical mathematical problem. In addition, we will promote the Riemann first integral mean-value theorem on the geometry to the situation of the first and second type cur

7、ve in integral theorem and The second type surface integral mean-value theorem.About the Progressive of point, we have discussed the point of the mean-value theorem in detailand give clear proof of the process. While the gradual issues of the second integral mean value theorem has been demonstrated

8、one of these situations. And the other process of proving has been expressed in brief.According to application,we presented a simple situation, for example, estimate integral value ,solve the limits of definite integral, define integral sign, compare the magnitude of integral value, prove the monoto

9、nic of function and Abeltestand Dirichlet testKey words:integral mean-value;theorem promotion ;apply;progressive目 錄1 引言12 積分中值定理的證明22.1 定積分中值定理22.2 積分第一中值定理32.3 積分第二中值定理32.4 幾何形體上黎曼積分第一中值定理63 積分中值定理的推廣93.1 定積分中值定理的推廣93.2 定積分第一中值定理的推廣93.3 定積分第二中值定理的推廣113.4 第一曲線積分中值定理123.5 第二曲線積分中值定理123.6 第一曲面積分中值定理13

10、3.7 第二曲面積分中值定理144 第一積分中值定理中值點的漸進性165 第二積分中值定理中值點的漸進性206 積分中值定理的應用236.1 估計積分值236.2 求含定積分的極限246.3 確定積分號246.4 比較積分大小256.5 證明函數的單調性256.6 證明定理257 結論29謝辭30參考文獻311引言隨著時代的發展，數學也跟著時代步伐大邁步前進。其中，微積分的創立，也極大地推動了數學的發展。積分中值定理是作為微積分中的一個重要性質出現在數學分析課程中的，它在數學分析的學習過程占有很重要的地位，并且對于后續課程的學習也起著較大作用，在此我們就把積分中值定理及其應用清晰論述一下。通常

11、情況下，積分中值定理包含第一積分中值定理、第二積分中值定理。而在此我們既討論了在特殊情況下的積分中值定理，即在一個區間上的情形。還討論了在幾何形體上二重、三重積分的情形的積分中值定理。并且這兩個定理在各個方面的應用都較為廣泛，比如物理學和數學。我們將積分中值定理加以應用，把微積分體系中比較基礎的東西找出更為簡單的解決方式：數學中一些定理的證明，數學定理、命題，幾何應用，含定積分的極限應用，確定積分符號，比較積分大小，證明函數單調性，估計積分值。雖然有時第一積分中值定理在處理一些積分極限問題上顯得很繁瑣，但是我們任然可以把它當作一個基礎定理，解決一些現實問題。此外，在20世紀，國內外定在有關積分

12、中值定理的“中間點”漸進性質研究就已經有很顯著的成就。數學家們不但將較為簡單的情況下（一個區間上）的情形論述第一、第二積分中值定理的漸進性質論述透徹，而且還加以推廣，包括有定積分中值定理的逆問題及其逆問題的漸近性，第一曲線型積分漸近性，甚至還將積分線由有限改為無窮的情形，他們將已有的定積分中值定理漸進性推導出的結果更為一般化。本課題的研究過程為：討論和分析積分中值定理，然后將其加以推廣，討論各個積分中值定理中的中間點的漸進性質，最后論述了積分中值定理在各方面的應用問題。課題研究的主要目標則是通過研究和分析積分中值定理、推廣、漸進性，將各方面的應用如：估計積分值，求含有定積分的極限，確定積分號，

13、比較積分大小，證明函數的單調性還有對阿貝爾判別法和狄理克萊判別法這兩個定理的證明總結出積分中值定理并把其以論文的形式整理出來。2 積分中值定理的證明2.1 定積分中值定理定理1（定積分中值定理）：如果函數在閉區間上連續，則在區間上至少存在一個點，使下式成立。證明： 因為f(x)在a,b上連續，所以f(x)在a,b上有最大值M和最小值m,即，我們對不等式進行積可得 有積分性質可知 由于，對不等式同時除以可得。此式表明介于函數的最大值和最小值之間。由閉區間上連續函數的介值定理，在閉區間上至少存在一點，使得函數在點處的值與這個數相等，即應該有，成立，將上式兩端乘以即可得到，命題得證。備注1：很顯然，

14、積分中值定理中公式 （在與之間）不論或都是成立的。2.2 積分第一中值定理定理2（第一積分中值定理）：如果函數在閉區間上連續，在上不變號，并且在上是可積的，則在上至少存在一點，使得成立。證明：由于在上不變號，我們不妨假設，并且記在上的最大值和最小值為和，即，將不等式兩邊同乘以可知，此時對于任意的都有成立。對上式在上進行積分，可得。此時在之間必存在數值，使得，即有成立。由于在區間上是連續的，則在上必定存在一點，使成立。此時即可得到，命題得證。2.3 積分第二中值定理 定理3（積分第二中值定理）：如果函數在閉區間上可積，而在區間上單調，則在上至少存在一點，使下式成立 （2-2）特別地，如果在區間上

15、單調上升且 ，那么存在，使下式成立 （2-3）如果在區間上單調下降且，那么存在，使下式成立 （2-4）證明：由題設條件知在區間上都是可積的，由積分性質可知也是可積的。我們先證明（2-3）式，即在非負、且在區間上單調上升的情形下加以證明。 對于（2-4）式證明是類似的，最后我們再將其推導到一般情形，即可證明（2-2）式。在區間上取一系列分點使，記，其中為在上的幅度，即，再將所討論的積分作如下改變：將積分限等分為如下等份，并且記，。則，因為在上可積，且區間是有限的，所以在上有界，此時我們不妨假設。估計如下：由于可積，所以當時，有，從而有，從而可知我們記，由于函數在閉區間上可積，那么函數是上的連續函

16、數，并且有最大值和最小值和，記為，很顯然，從而因為是非負的，并且在區間上單調上升，即有、成立，所以有下式成立。即有成立。從而可以得到，其中滿足。由于函數連續，則在之間存在一點，使成立，從而有公式（2-3）成立，即成立，（2-3）式得證。對于單調下降且的情形即公式（2-4）的證明過程是類似的，證明略。對于是一般單調上升情形，我們作輔助函數，其中為單調上升且，此時公式（2-3）對于是成立的，即存在使成立，這就證明了公式（2-2）。對于是一般單調下降的情形，此時應用公式（2-4），同樣可得到（2-2）式，此命題得證。2.4 幾何形體上黎曼積分第一中值定理定理4（第一中值定理）：若在上黎曼可積，則存在

17、常數使得成立，這里的介于在上的上確界和下確界之間。證明：假設，由命題可知，由積分性質，對不等式在上進行黎曼積分可得，即有，其中為幾何形體的度量。此時即可得到是介于和之間，從而有成立，其中為位于之間的一個數，命題得證。定理5（二重積分的中值定理）：假設函數在閉區域上連續，其中是的面積，則在上至少存在一點使得成立。證明：由于函數在閉區域上連續，假設在閉區域上的最大值和最小值分別為，即。對不等式在區域上進行二重積分可得，即。其中為閉區域的面積，我們不妨記。由上式還可得到。由于，將不等式除以可得。由于函數在閉區域上連續，則在上至少存在一點使得 成立。將上式兩邊同乘以即可得到，從而命題得證。定理6（三重

18、積分的中值定理）：設函數在空間閉區域上連續，其中是的體積，則在上至少存在一點使得成立。證明：由于函數在閉區域上連續，假設在閉區域上的最大值和最小值分別為，即。對不等式在區域上進行三重積分可得，即，其中為閉區域的體積，我們不妨記。由上式還可得到。由于，將不等式同除以即可得到。由函數在閉區域上連續，則此時在上至少存在一點使得 成立。將上式兩邊同乘以即可得到，命題得證。3. 積分中值定理的推廣3.1定積分中值定理的推廣定理7（推廣的定積分中值定理） ：如果函數在閉區間連續，則在開區間至少存在一個點，使得下式成立。證明：作輔助函數如下：。由于在閉區間連續，則在上可微，且有成立。由微分中值定理可知：至少

19、存在一點，使得成立。并且有，此時即可得到下式，命題得證。3.2定積分第一中值定理的推廣定理8（推廣的定積分第一中值定理）： 若函數是閉區間上可積函數，在上可積且不變號，則在開區間上至少存在一點，使得成立。證法1：由于函數在閉區間上是可積的，在上可積且不變號，令，很顯然在上連續。并且， 。由柯西中值定理即可得到，即，命題得證。證法2：由于函數在上可積且不變號，我們不妨假設。而函數在閉區間上可積，我們令，。假設是在閉區間上的一個原函數，即。此時我們有下式成立（3-1）由于，則有，以下我們分兩種情形來進行討論：1如果，由（3-1）式可知，則此時對于有成立。2如果，將（3-1）式除以可得，（3-2）我

20、們記 ，（3-3）此時我們又分兩種情形繼續進行討論：i如果（3-2）式中的等號不成立，即有成立，則此時存在，使得，我們不妨假設，其中。因為，則有。此時至少存在一點，使得，即有成立，從而結論成立。ii如果（3-2）式中僅有一個等號成立，不妨假設，因為，此時必存在（其中），使得，恒有成立，我們則可將（3-3）式可改寫為，因為，則有（3-4）又注意到，必有。于是（3-5）下證必存在，使。若不然，則在上恒有及成立，從而。如果，由達布定理在上有，這與矛盾。如果 ，這與（3-5）式矛盾。所以存在，使，定理證畢。3.3 推廣定積分第二中值定理定理9（推廣定積分第二中值定理）： 如果函數在閉區間可積，在區間上

21、可積且不變號，則在上必存在一點，使得成立。證明過程詳見參考文獻9。34 第一曲線積分中值定理定理10（第一型曲線積分中值定理）： 如果函數在光滑有界閉曲線上連續，則在曲線上至少存在一點，使成立，其中為曲線的弧長。證明：因為函數在光滑有界閉曲線上連續，所以存在，其中，對不等式在閉曲線上進行第一類曲線積分可得，其中為曲線的弧長，并且，由于，將上式同除以常數，即可得到，由于函數在曲線上連續，故由閉區間上連續函數的介值定理，在曲線上至少存在一點，使成立，左右兩邊同除以常數，即可得到結論，從而命題得證。3.5 第二曲線積分中值定理定理11（第二型曲線積分中值定理）：如果函數在光滑有向曲線上連續，則在曲線

22、上至少存在一點，使得成立。其中為光滑有向曲線在軸正向上的投影，其中符號“”是由曲線的方向確定的。證明：因為函數在有界閉曲線上連續，所以存在，其中，對上式進行第二型曲線積分可得（3-6）其中為有向光滑曲線在軸上的投影，此時我們不妨記，并且分以下兩種情況進行討論：1假設，將（3-6）式除以可得。因為在上連續，故由介值定理，則在曲線上至少存在一點，使成立，即有成立。2同理當，式左右兩邊同時除以可得，因為在上連續，故由介值定理，則在曲線上至少存在一點，使成立，即有成立，由上面證明過程可得，命題得證。3.6 第一曲面積分中值定理定理12（第一型曲面積分中值定理）：設為平面上的有界閉區域，其中為光滑曲面，

23、并且函數在上連續，則在曲面上至少存在一點，使成立，其中是曲面的面積。證明：因為在曲面上連續，所以存在且使得成立，我們對上式在上進行第一類曲面積分可得，其中為曲面的面積，且，因為，兩邊同除以有，由于在曲面上連續，故由介值定理，在曲面上至少存在一點，使，成立，兩邊同時乘以可得，命題得證。3.7 第二曲面積分中值定理定理13（第二型曲面積分中值定理）：若有光滑曲面，其中是有界閉區域，函數在上連續，由此在曲面上至少存在一點，使成立，其中是的投影的面積。證明：因為函數在曲面上連續，所以存在使得，對上式在曲面上進行第二類曲面積分可得，其中為投影在曲面上的面積，并且我們記。1若，則上式除以有，由于在曲面上連

24、續，故由介值定理，在曲面上至少存在一點，使，兩邊同時乘以有，2同理，若，則上式除以有，由于在曲面上連續，故由介值定理，在曲面上至少存在一點，使，兩邊同時乘以有。由以上證明過程可得，從而結論成立。4 第一積分中值定理中值點的漸進性定理14 ：假設函數在上階可導，其中在點的直到階右導數為0，而不為0，即，并且有在點連續；函數在可積且不變號，并且對于充分小的，在上連續，且，則第一積分中值定理中的中值點滿足。證明：對任意，我們做一個輔助函數如下：一方面，當時，分子分母同時趨于零，滿足洛比達法則條件，由洛比達法則由積分中值定理和洛比達法則可以得到，從而。 （4-1）且有成立。另一方面，由積分中值定理和洛

25、比達法則可得=由洛比達法則，則有，因此可得。 （4-2）比較（4-1）式與（4-2）式可以得到。定理15：假設函數在上連續，存在并且有，階導數，有，成立，并且在點連續，不變號，則第一積分中值定理中的點滿足。證明：對任意的，構造輔助函數如下。一方面，當時，分子分母同時趨于零，滿足洛比達法則條件，由洛比達法則，有=由于，則，且函數階導數，則上式等于（4-3）另一方面，由積分中值定理。則=對使用洛比達法則可得=（4-4）比較（4-3），（4-4）式我們可以得到。定理16：設函數在上階可導，在點連續；函數階導數，且，并且在點連續，不變號，則第一積分中值定理中的滿足。證明：對任意的，我們構造輔助函數如下

26、一方面，由于時，分子分母同時趨于零，滿足洛比達法則條件，由洛比達法則，有=由于函數在上階可導，且函數在上階可導，則上式等于 （4-5）另一方面，由積分中值定理。則=對使用洛比達法則可得 （4-6）比較（4-5）、（4-6）式我們可以得到。5 第二積分中值定理中值點的漸進性定理17 ：假設函數上單調，并且在點的右導數存在，且有；在上可積，在點的右極限存在，且。則第二積分中值定理中的滿足。證明：對于任意的，構造輔助函數如下。一方面，當時，分子分母同時趨于零，滿足洛比達法則條件，由洛比達法則可得（5-1）另一方面，由第二積分中值定理，有（5-2）比較（5-1）、（5-2）式知，即可得到。將此定理推廣

27、，即可得到以下定理定理18：假設函數在上單調，在內有直到階導數，在點連續，在點的右導數滿足，在上可積，在點的右極限存在，且，則第二積分中值定理中的滿足。證明：構造輔助函數證明可仿造定理17，證明過程略。定理19：假設函數在上單調，函數在點的右導數存在，并且有；在上存在直到階導數，且有在點連續，并且滿足，則第二積分中值定理中的點滿足。證明：構造輔助函數，證明可仿造定理17，證明過程略。定理20：假設函數在上單調，在上有直到階的導數，在點連續，并且在點的右導數滿足，；在上存在直到階導數，在點連續，且滿足，則第二積分中值定理中的點滿足。證明：構造輔助函數，證明可仿造定理17，證明過程略。6 積分中值

28、定理的應用6.1 估計積分值例1估計的積分解：由于，即。于是此時可得到估計的積分值為。例2 估計的積分解：設。則，其次，假設和，則單調下降，并且有。于是，其中，。因此。例3 證明等式。證法1：由第一積分中值定理可知，其中位于和之間的某個值。證法2：由第二積分中值定理可知得，其中位于和之間的某個值，于是。6.2 求含定積分的極限例4 求極限解：利用廣義積分中值定理則6.3 確定積分號例5確定積分的符號解：由積分中值定理可知其中。又在上不恒為0，則有，即的符號為正號。6.4 比較積分大小例6比較積分和的大小解：當時，從而有，于是我們有，即小于等于。6.5 證明函數的單調性例7設函數在上連續，其中，

29、試證：在內，若為非減函數，則必為非增函數。證明：利用分歩積分法，將化為對上式求導，可以得到：。由積分中值定理，可得：。若為非減函數，則有成立，因此可以得到，故為非增函數，命題得證。6.6 證明定理例8 證明（阿貝爾判別法）如果在上可積，單調有界，那么收斂。證明：由假設條件，利用第二中值定理，在任何一個區間上（其中），存在，使得。因為在上可積，則收斂，所以對于任何，存在，使得當時，成立。又由，根據柯西收斂原理可推知積分收斂。備注2： 當討論無界函數廣義積分時，可將阿貝爾判別法可改寫為：假設在有奇點，收斂，單調有界，那么積分收斂。證明：對應用第二積分中值定理，證明過程略。備注3：當討論二元函數的積

30、分限為含有參變量時，則含參變量的廣義積分的阿貝爾判別法可寫為：假設關于為一致收斂，關于單調（即對每個固定的，作為的函數是單調的），并且關于是一致有界的，即存在正數，對所討論范圍內的一切成立：。那么積分關于在上是一致收斂的。證明：由于關于是一致收斂的，則對于任意正數，存在，當時，成立。因此，當時，將看成給定常數，則由積分第二中值定理中的公式因為對任意的都有，則。因此，關于在上是一致收斂的，命題得證。例9 證明（狄里克萊判別法）如果有界，即存在，使得單調且當時趨向于零，那么積分收斂。證明：因為，所以對任意的，存在，當時，。又因，所以，同樣我們有 。由第二積分中值定理，只要，就有所以積分收斂，命題得

31、證。備注4：當討論無界函數廣義積分時，我們可將狄立克萊判別法寫為：設在有奇點，是的有界函數，單調且當時趨于零，那么積分收斂。證明：對應用第二積分中值定理，證明過程略。備注5： 當討論二元函數的積分限為含有參變量時，則含參變量的廣義積分的狄立克萊判別法寫為：設積分對于和是一致有界的，即存在正數，使對上述成立又因為關于是單調的，并且當時，關于上的一致趨于零，即對于任意給定的正數，有，當時，對一切成立，那么積分關于在上是一致收斂的。證明：由所假設的條件可推知對任何，有而由和上式可推知，當時，因此，關于在上是一致收斂的，命題得證。7 結論本課題通過討論積分中值定理，對積分中值定理內容如積分中值定理的定義、推廣、漸進性質、應用加以說明，使得我們對積分中值定理有一個大概的了解。本文論述得還是比較完全的，對于積分中值定理的各個方面有關情形都一一加以討論。而且對于現在比