1、第第 三三 章章 矩陣的初等變換線性代數 矩陣這一數學概念能夠與工程技術問題相結合，矩陣這一數學概念能夠與工程技術問題相結合，成為表達手段，主要依賴于它的種種手段和變換。成為表達手段，主要依賴于它的種種手段和變換。上一章我們介紹了矩陣的基本運算，但用來解決的上一章我們介紹了矩陣的基本運算，但用來解決的實際問題很有限。這一章我們來學習矩陣的一種重實際問題很有限。這一章我們來學習矩陣的一種重要的變換初等變換。利用初等變換可以求矩陣要的變換初等變換。利用初等變換可以求矩陣的秩、求解線性方程組、求逆矩陣、化簡二次型等。的秩、求解線性方程組、求逆矩陣、化簡二次型等。3.1 矩陣的秩矩陣的秩一、子式一、子

2、式回憶回憶：在行列式中，余子式的概念：在行列式中，余子式的概念定義定義3.1 在在 mn 的矩陣的矩陣A中，任取中，任取k行與行與k列列( )( )，位于這些行和列交叉處的位于這些行和列交叉處的 個元素個元素,按原來的次序所組成的按原來的次序所組成的k階行列式，稱為階行列式，稱為A的一個的一個k階階子式子式.),min(nmk 2kkD記做記做 . 對于給定的對于給定的k， mn 階的矩陣階的矩陣A不同的不同的k階子式階子式共有共有 個個.knkmCC例如，對矩陣例如，對矩陣443112112013A有一階子式有一階子式 12個個有二階子式有二階子式 個個182324CC有三階子式有三階子式

3、個個43334CC沒有四階沒有四階 子式子式二、矩陣的秩二、矩陣的秩定義定義3.2在在 mn 階階的矩陣的矩陣A中，若中，若0rD 有某個有某個r階子式階子式 ；01rD 所有的所有的r+1階子式階子式 ( (如果存在的話如果存在的話) )；則稱則稱r為為A的秩的秩.rArank記做記做 ，或者，或者 .r)r(A規定規定：零矩陣的秩為：零矩陣的秩為0,即即 .0rankO 矩陣秩的含義矩陣秩的含義A的所有的所有r1階子式都為階子式都為0A的所有的所有r2階子式也都為階子式也都為0A的所有大于的所有大于r2階的子式也都為階的子式也都為0數數r=rankA是是矩陣矩陣A中子式不為中子式不為0子式

4、的最高階數子式的最高階數112322461123A?2rD性質性質；),min(rank. 1nmA；時，AArank)rank(0. 2kk；AArankrank. 3T0. 4rD中某個A；rArank0. 51中所有rDA；rArank例例1已知矩陣已知矩陣 ，求，求A的秩的秩.443112112013A解解在這個矩陣中，存在一階子式在這個矩陣中，存在一階子式033存在二階子式存在二階子式041113下面計算它的三階子式下面計算它的三階子式.，0431211013，0431111213，0441121203，0443121201在矩陣在矩陣A中，所有的三階子式都為中，所有的三階子式都為0

5、，存在不為，存在不為0的二的二階子式，所以階子式，所以rank(A)=2.443112112013A 特殊矩陣特殊矩陣定義定義3.3 設設A是是mn矩陣矩陣 若若rankA=m (A的行數的行數)，則稱，則稱A為為行滿秩矩陣行滿秩矩陣； 若若rankA=n (A的列數的列數)，則稱，則稱A為為列滿秩矩陣列滿秩矩陣；設設A是是nn階方陣階方陣 若若rankA=n，則稱，則稱A為為滿秩矩陣滿秩矩陣； 若若rankAn，則稱，則稱A為降秩矩陣為降秩矩陣.例如例如311004201050001AA有一個三階子式有一個三階子式01100010001所以所以A是行滿秩矩陣是行滿秩矩陣再如再如100530022201BB中有一個三階子式中有一個三階子式06100530022所以所以B是一個列滿秩矩陣是一個列滿秩矩陣.443032001