1、離散灰色預測模型離散灰色預測模型謝乃明謝乃明南京航空航天大學灰色系統研究所南京航空航天大學灰色系統研究所南京南京22010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件第二部分第二部分 灰色預測模型的主要內容灰色預測模型的主要內容GM(1,N)GM(1,N)模型模型多變量多變量離散灰色模型離散灰色模型GM (n, h)GM (n, h)模型模型離散灰色模型離散灰色模型GM(1,1)GM(1,1)模型模型2.12.12.52.52.42.42.32.32.22.232010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.2 2.2 單變量離散灰色模型單變量離散灰色模型離散灰色模離散灰色模型的建立型的建立離散灰色模

2、型離散灰色模型與與GM(1, 1)GM(1, 1)模模型關系型關系純指數增長純指數增長序列預測分序列預測分析析42010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.2.1 2.2.1 離散灰色模型的建立離散灰色模型的建立定義定義2.2.12.2.1稱為離散灰色模型（Discrete Grey model，DGM）。定理定理2.2.1 2.2.1 若 為參數列，且則灰色微分方程 的最小二乘估計參數列滿足(1)(1)12(1)( )xkxk12(,)T (1)(1)(1)(1)(1)(1)1(2)(1)1(3)(2),1( )(1)xxxxYBxnxn(1)(1)12(1)( )xkxk1()TTB

3、BB Y52010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.2.1 2.2.1 離散灰色模型的建立離散灰色模型的建立定理定理2.2.22.2.2設 如定理2.2.1所述， ，則(1)取 ，則遞推函數為或(2)還原值,YBYBBBTT121)(,) 1 () 1 ()0()1(xx1, 2 , 1;11) 1 () 1(211)0(1)1(nkxkxkk1, 2 , 1;1)1) 1 () 1(1212)0(1)1(nkxkxk1, 2 , 1);() 1() 1() 1()1()1()1()1()0(nkkxkxkxkx212111)1(122)1(112)1(1)1() 1() 1 ( ) 1

4、()() 1(kkkxkxkxkx62010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.2.2 離散灰色模型與離散灰色模型與GM(1,1)模型關系模型關系 從定理2.2.1、定理2.2.2和2.1節的研究，可以知道GM(1,1)模型和DGM模型的構造，將 代入GM(1,1)模型，有 為便于和離散灰色模型比較，可以讓上式中 從1取值，上式變為 形式與離散灰色模型完全相同，因此假設有關系式 則有)1()(21)()1()1()1(kxkxkznkabkxaakx, 3 , 2,5 . 01) 1(5 . 015 . 01)()1()1(k1, 2 , 1,5 . 01)(5 . 015 . 01) 1

5、()1()1(nkabkxaakx215 . 01,5 . 015 . 01abaa1212111,12,1)1 (2abba72010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.2.2 離散灰色模型與離散灰色模型與GM(1,1)模型關系模型關系對應于GM(1,1)模型的解方程，也稱時間響應函數為 ( (* *) )對應于離散模型的解方程，稱作離散遞推函數為 ( (* * *) )下面來研究兩者之間的關系。將( (* *) )式右邊進行分離，得 ( (* * * *) )將 和 用麥克勞林公式展開1, 2 , 1,) 1 () 1()0()1(nkabeabxkxak1, 2 , 1;11) 1

6、() 1(211)0(1)1(nkxkxkk1, 2 , 1),1 () 1 () 1()0()1(nkeabexkxakakaeaa5 . 015 . 011)(!) 1(! 3! 2132nnnaaonaaaae)(2) 1(221 )(2) 1(221 (15 . 015 . 01111232221nnnnnnnnaoaaaaaoaaaaaa82010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.2.2 離散灰色模型與離散灰色模型與GM(1,1)模型關系模型關系 由于 值較小，高次項影響微乎其微，如果只考慮前四項時的情況，則有 令差值 ，則 對應于不同的 值， 取值如下表。 a62132aaa

7、ea421321aaa1ae12463331aaaeaa92010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.2.2 2.2.2 離散灰色模型與離散灰色模型與GM(1,1)GM(1,1)模型關系模型關系 因此，當 取值較小時， ，用 代替 ，則(*)式變為 形式與(*)式完全相同。因此離散灰色模型與GM(1,1)模型可以認為是同一模型的不同表達方式，在 取值較小時可以相互替代。aae11ae(1)(0)(0)211112111(1)(1)(1)(1),1,2,111kkkkxkxxkna102010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.2.3 2.2.3 純指數增長序列分析純指數增長序列分析 G

8、M(1,1)模型預測的穩定性一直是眾多學者探討的問題之一，但一直沒有取得共同認可的科學合理的解釋，劉思峰教授等學者用純指數增長序列數據做模擬，得出結果是GM(1,1)具有一定的適用范圍，即使使用純指數增長序列數據進行模擬，在做長期預測時仍存在較大的誤差。下面用離散灰色模型做純指數模擬分析。 設初始發展數據序列為 則以后的發展趨勢為(0)23,0nXac acacacc(0)( ),1,2,kxkacknn112010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.2.3 2.2.3 純指數增長序列分析純指數增長序列分析將 進行一次累加生成得還原值(0)X(1)2231, (), (),niiXac a

9、 cca cccac22231111()()1(),11nniiiiaca cca cca cccYBacac1()TTcB BB Yac1(1)(0)211111(1)(1)(1)11kkkkkiicxkxac cacacc1(0)(1)(1)11( )( )(1)kkiikiixkxkxkacacac122010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.2.3 2.2.3 純指數增長序列分析純指數增長序列分析 和 完全相等，因此具有預測無偏性，而 和 可以任意取值，因此只要原數據序列具有近似指數增長規律，都可以用離散灰色模型來模擬和預測。分析離散灰色模型和GM(1,1)模型預測結果的不同，可

10、以知道，GM(1,1)模型預測發生偏差的原因在于白化型式中的 與DGM模型中的 之間存在微小的差異，在做短期預測或發展系數 較小時，微差對整個預測模型的影響較小，所以預測精度較高，而做長期預測或發展系數 較大時，微差對整個預測模型的影響急劇增大，預測精度降低，有時甚至結果無法接受。)()0(kx)()0(kxacae1aa132010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件第二部分第二部分 灰色預測模型的主要內容灰色預測模型的主要內容GM(1,N)GM(1,N)模型模型多變量多變量離散灰色模型離散灰色模型GM (n, h)GM (n, h)模型模型離散灰色模型離散灰色模型GM(1,1)GM(1,1

11、)模型模型2.12.12.52.52.42.42.32.32.22.2142010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型GM(1,N)GM(1,N)模型模型152010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型 定義定義2.3.12.3.1 設 為系統特征數據序列，而 為相關因素序列， 為 的1AGO序列 ， 為 的 緊鄰均值生成序列，則稱 為GM(1,N)模型。)(,),2(),1 ()0(1)0(1)0(1)0(1nxxxX(0)(0)(0)(0)2222(0)(0)(0)(0)

12、3333(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )(1),(2),( )(1),(2),( )NNNNXxxxnXxxxnXxxxnNiiikxbkazkx2)1()1(1)0(1)()()()1(iX)0(iX(1,2,)iN)1(1Z(1)1X162010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型Niiikxbkazkx2)1()1(1)0(1)()()(灰導數發展系數背景值灰作用系數灰作用量172010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型(1)2( )xk(1)3( )x

13、k(1)( )Nxk182010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型 定義定義2.3.2 2.3.2 在GM(1,N)模型中， 稱為系統發展系數， 稱為驅動項， 稱為驅動系數， 稱為參數列。 定理定理2.3.12.3.1 設 為系統特征數據序列， 為相關因素數據序列， 為諸 的1AGO序列， 為 的緊鄰均值生成序列， 則參數列 的最小二乘估計滿足a)()1(kxbiiibTNbbbaa,21)0(1X(0)(2,3,)iXiN)1(iX)0(iX)1(1Z)1(1X(1)(1)(1)12(1)(1)(1)12(1)(1)(1)12(2

14、)(2)(2)(3)(3)(3)( )( )( )NNNzxxzxxBznxnxn(0)1(0)1(0)1(2)(3)( )xxYxnTNbbbaa,21YBBBaTT1)(192010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型 定義定義2.3.32.3.3 設 ，則稱為GM(1,N)模型的白化方程，也稱影子方程。定理定理2.3.22.3.2 設 如定理2.3.1所述，則TNbbbaa,21(1)(1)(1)(1)(1)12233NNdxaxb xb xb xdt(0)(1)(1)(1)(1)112233( )( )( )( )( )NNx

15、kazkb xkb xkb xk(0)(1)(1)1,(1,2,),iiXXiNZB YYBBBbbbaaTTTN121)(,202010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型(1)白化方程 的解為：(2)時間響應式為：(3)累減還原式為(4)GM(1,N)差分模擬式為：Niiixbaxdtdx2)1()1(1)1(1(1)(1)(1)(1)22(1)(1)(1)122( )( )(0)(0) (0)(0)( )NNatatiiiiiiNNatatiiiiiixteb xt e dtxb xdtextb xb xt e dt(1)(1)

16、(1)(1)112211(1)(0)(1)(1)NNakiiiiiixkxb xkeb xkaa)() 1() 1() 1()1(1)1(1)1(1)1()0(1kxkxkxkxNiiikxbkazkx2)1()1(1)0(1)()()(212010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型例例2.3.1 2.3.1 以某市科技、經濟、社會總體規劃為例，說明GM(1,N)模型；決策變量決策變量: :社會總產值因素變量因素變量: :技術水平總發電量總物耗總勞動力固定資產總值流動資金刑事發案率222010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.

17、3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型某市科技經濟社會協調發展規劃模型社會總產值技術水平總電量總物耗總勞力固定資產凈值流動資金總額發案率232010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型(0)1(0)2(0)3(0)4(0)5()()()()()xxxxx社會總產值 （31013，33656，37300，51531，65231）技術水平 （0.968，0.985，0.945，1.091，1.183）總電量 （10748，12213，13853，15196，17979）總物耗 （17865，19549，21584，293

18、49，36447）總勞動力 （171280，177349，17(0)6(0)7(0)8()()()xxx2271，186323，203427）固定資產總值 （20865，22834，26440，28573，33588）流動資金總額 （15149，16246，20226，31459，34063）刑事案件發生率 （8.24，11.36，11.48，7.49，6.69）242010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件2.3 GM(1, N) 2.3 GM(1, N) 模型模型構建GM(1,N)模型為有影響因子序(0)(1)(1)(1)(1)11234(1)(1)(1)(1)5678( ) 1.28( )1.125( ) 1.605( )0.575( ) 0.25( )0.03625( )0.2218( )3.28( )xkzkxkxkxkxkxkxkxk3245768 1.605 1.125 0.575 0.25 0.2218 0.036 3.28xxxxxxx總電量技術水平總物耗總勞力流動資金固定資產發案率252010灰色系統講習班課件灰色系統講習班課件第二