1、高一數學平面向量數量積及運算律、坐標表示與圖形平移通用版【本講主要內容】 平面向量數量積及運算律、坐標表示與圖形平移【知識掌握】【知識點精析】 1. 數量積的概念 2. 數量積的重要性質 設a，b都是非零向量，e是單位向量，是a與e的夾角，根據定義可推得如下性質。 （1）e·a=a·e=acos （2）當a與b同向時，a·b|a|b| 當a與b反向時，a·b=|a|b| （3）當ab時，a·b=0；反之也成立，即 （4） （5） 3. 向量數量積的運算律交換律與實數相乘的結合律分配律 注意：向量的數量積不滿足結合律。 4. 向量數量積的坐標表示

2、 設數量積的坐標表示兩個向量的數量積等于它們對應坐標乘積之和，即向量模公式兩點間距離公式若向量的夾角公式 5. 向量垂直的充要條件 設a與b均是非零向量。向量式坐標式 6. 圖形的平移定義設F是坐標平面內一個圖形，將F上所有點按照同一方向移動同樣長度，得到圖形F，這一過程叫做圖形的平移。點的平移變換公式點P（x，y）按向量平移到其中（h，k）叫做平移向量【解題方法指導】 1. 數量積公式的應用 例1. 已知是夾角為60°的單位向量，且，求及a與b的夾角。 分析：由于與均為單位向量，且夾角已知，故可求得與的數量積，進而可求得，再利用模的公式求與，代入夾角余弦公式，可求a與b的夾角 解：

3、均為單位向量，且夾角為 于是 2. 平面向量數量積坐標表示及應用 例2. 平面內三點A、B、C在一條直線上，且，求實數m，n的值。 分析：因為A、B、C三點共線，可由向量共線的充分條件得到關于m，n的一個關系式；又因為向量，再由向量垂直的充要條件，得到關于m，n的第二個關系式。對這兩個關系式聯立求解即可。 解： 故有 二式相除，消去，得： （1） 又 即（2） 由（2）得，代入（1），得： 解得 相應的 說明：上面解法中，式（1）可由向量共線的坐標表達式求得，因為，共線，所以，同樣可以得到。 例3. 平面內有向量，點X為直線OP上的一個動點。 （1）當取最小值時，求的坐標； （2）當點X滿足（

4、1）的條件和結論時，求的值。 分析：因為點X在直線OP上，向量與共線，可以得到關于坐標的一個關系式；再根據的最小值，求得，而cosAXB是向量與夾角的余弦，利用數量積的知識容易解決。 解：（1）設 同樣 于是 由二次函數的知識，可知當時， 有最小值，此時 （2）當即時，有 說明：由于X是OP上的動點，則向量，均是不確定的，它們的模和方向均是變化的，于是它們的數量積也處在不確定的狀態，這個數量積由與的模與及它們的夾角三個要素同時決定，由解題過程即可以看出它們都是變量y的函數。另外，求出與的坐標后，可直接用坐標公式求這兩個向量夾角的余弦值。 3. 圖形平移 例4. 已知拋物線。 （1）求拋物線頂點

5、的坐標； （2）求將這條拋物線平移到頂點與坐標原點重合時的函數解析式。 解：（1）設拋物線的頂點O的坐標為（h，k），那么 即這條拋物線的頂點O的坐標為（-2，3） （2）將拋物線平移，使點O（-2，3）與點O（0，0）重合，這種圖形的變換可以看作是將其按向量平移得到的。 設的坐標為（m，n），那么 設是拋物線上的任意一點，平移后的對應點為： 由平移公式得： 將它代入，得到 整理得 即當將原拋物線平移到使其頂點與坐標原點重合時，其函數解析式為。 我們看到，通過這種平移變換，可以使相應的函數解析式得到化簡 想一想：如果將拋物線y=x2+4x+7看作是從其頂點在坐標原點的位置平移過去的，怎樣求得原

6、拋物線的函數解析式？【考點突破】【考點指要】 1. 平面向量的數量積及坐標運算是高考的重點，要求掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度角度和垂直的問題，掌握向量的垂直條件。 2. 分析使用新教材多年的省市高考試題，出現數量積的頻率很高，是年年高考必考內容，考題形式為選擇題、填空題和解答題均有可能，難度為中等、容易題。 3. 能力考查上，主要考查運算能力和靈活運用知識的能力?！镜湫屠}分析】 例1. 若取兩個互相垂直的單位向量i，j為基底，且已知a=3i+2j，b=i-3j，則5a與3b的數量積等于（ ） A. 45B. 45C. 1D. 1 答：A 例2. 把

7、點A（2，1）按向量平移到B，此時點B分向量（O為坐標原點）的比為-2，則C點的坐標為_。 答：（0，2） 例3. （1）已知，求與的夾角； （2）設，在上是否存在點M，使，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由。 解：（1） （2）設存在點M，且 例4. 在直角坐標系中，已知點和點，其中。若向量垂直，求x的值。 解：由，得 利用 化簡后得 于是 【達標測試】一. 選擇題 1. 已知與垂直，則與的夾角是（ ） A. 60°B. 30°C. 135°D. 45° 2. 已知與之間的夾角為，那么向量的模為（ ） A. 2B. C. 6D. 12 3.

8、已知，則在方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 4. 給定兩個向量，則x等于（ ） A. 23B. C. D. 5. 將點按向量平移，對應點，則等于（ ） A. （2，5）B. （4，3） C. （4，5）D. （5，4） 6. 將函數的圖象F按向量平移后得的圖象，則等于（ ） A. B. C. D. 7. 將函數的圖象按向量平移得到的圖象的函數為，則等于（ ） A. B. C. D. 二. 填空題 8. 已知向量的夾角為，則_。 9. 已知的夾角均為60°，且，則_。 10. 已知的坐標為_。 11. 已知的夾角為，則k的值為_。 12. 已知，求滿足條件的向量_。 13.

9、 按向量把點平移后得到，按此平移法，則點應平移到_。 14. 將一拋物線F按平移后，得到拋物線F的函數解析式為，則F的解析式為_。 15. 若在直線上有兩點和，如果按向量平移后，A點對應點的坐標為，則B點對應點的坐標為_。三. 解答題 16. 已知，（1）若，求；（2）若的夾角為60°，求；（3）若與垂直，求與的夾角。 17. 四邊形ABCD中 （1）若，求x與y間的關系式； （2）滿足（1）問的同時又有，求x，y的值及四邊形ABCD的面積?！揪C合測試】一. 選擇題 1. 已知，則m與n的夾角等于（ ） A. 150°B. 120°C. 60°D. 30

10、° 2. 若，則等于（ ） A. B. 55 C. 15D. 205 3. 若，且a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 4. 平面內有，則一定是（ ） A. 鈍角三角形B. 直角三角形 C. 等腰三角形D. 等邊三角形 5. 在ABC中，若ABC為直角三角形，則k的值為（ ） A. B. C. D. 二. 填空題 6. 若，則a在b方向上的投影為_，b在a方向上的投影為_。 7. 與共線的單位向量是_，與垂直的單位向量是_。 8. 若，且，則x的坐標為_。 9. 已知。若，則x=_；若，則x=_。 10. 將函數的圖象按向量a平移后，得到函數的圖象，則a的

11、坐標為_。三. 解答題 11. 已知平面內三個已知點A（1，7），B（0，0），C（8，3），D為線段BC上的一點，且，求點D的坐標。 12. 設，且，求。 13. 已知。 （1）求； （2）若x與y的夾角為，求的值。 14. 已知，求x和y的值。 15. 已知銳角三角形ABC的外接圓的圓心為O，M為BC邊的中點，由頂點A作，并在AD上取一點H，使AH=2OM，又H，M在直線BC的同一側，且。 （1）用a，b，c表示； （2）證明?！具_標測試答案】一. 選擇題 1. D2. B3. C4. C 5. C6. D7. C二. 填空題 8. 9. 11 10. 或 11. 12. （2，-3） 1

12、3. （0，-6）14. 15. 三. 解答題 16. （1）（2）（3）45° 17. （1） （2）【綜合測試答案】一. 選擇題 1. A 2. C 解析： 于是 3. A 解析：a與b的夾角為為鈍角時 即而 由 4. D 解析： 設的夾角為，則有 同理可證的夾角也是120° 由平面幾何知識可知P1P2P3是等邊三角形。 5. D 解析：分三種情況。 當A=90°時，有 解得 當時， 有 解得 當C=90°時， 有 解得 二. 填空題 6. 解析：a在b方向上的投影為 而 又 對a與b的夾角，有 而b在a方向上的投影為 利用上面的結果可求得 7. 解析：與a共線的單位向量為，與a垂直的單位向量是。 設與a垂直的向量為，則 8. 解析： 設，則 （1） 又 （2） 由（1）與（2）解得： 9. 解析：當時， 當時， 當時， 有 當時， 有 10. 解析： 由平移得式 得 代入到原函數式，得 即