1、特征根法在求遞推數列通項中的運用 各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。如：（08年廣東高考）設p、q為實數，、是方程x2-px+q=0的兩個實數根，數列xn滿足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5) 1）2）求數列xn的通項公式。3）若，求數列xn的前n項的和sn(09年江西高考)各項均為正數的數列 中，1）當。像上述兩道題，如果不能順利求出數列的通項公式，就不能繼續做后面的題，想得高分就難，對于那些有可能上重點大學的績優學生來說重點大學之夢就可能是兩個字遺憾

2、。本文就一、兩種題型進行探討，重點強調求解數列通項公式的方法之一特征根法的運用，希望能對部分同學有幫助。類型一、遞推公式為（其中p，q均為非零常數）。先把原遞推公式轉化為，其中滿足，顯然是方程的兩個非零根。1） 如果，則，成等比，很容易求通項公式。2） 如果，則成等比。公比為， 所以，轉化成： ，( I )又如果，則等差，公差為，所以，即： 可以整理成通式： Ii)如果，則令，,就有，利用待定系數法可以求出的通項公式所以，化簡整理得： ，小結特征根法：對于由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的

3、方程組）；當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。簡例應用（特征根法）：數列：， 的特征方程是：,。又由，于是故 下面再看特征根法在08年廣東高考題中的應用：設p、q為實數，、是方程x2-px+q=0的兩個實數根，數列xn滿足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5) 1）2）求數列xn的通項公式。3）若，求數列xn的前n項的和sn解：2）顯然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)的特征根方程就是x2-px+q=0，而、是方程x2-px+q=0的兩個實數根，所以可以直接假設：1 當=時，設，因為x1=p,x2=p2-q

4、，所以 解得2 當時，設，因為x1=p,x2=p2-q，所以 解得，+3），時，由第2）小題的項可以直接得到 ，可以用錯位相減法求和順利拿下第3）小題。本題是08年廣東高考真題，開始前兩問均以字母的形式出現，給考生設置了接題障礙，如果在考前曾經學過特征根法，記住公式，那本題對這同學來說無疑是幾分種的事情，或對特征根法有一定的了解，也許是多花點時間的問題，至少是接題思路和方向明確，絕不會象無頭蒼蠅一樣亂撞。知道特征根法的來龍去脈、公式、以及運用也是學生能力拓展的一種表現。特征根法還能應用于下面一種數列題型的解答：類型二、 解法：如果數列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常

5、數，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,如果則；如果則是等差數列。當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數列。（證明方法如同類型一，從略）例：已知數列滿足性質：對于且求的通項公式. 解: 數列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，則有 即例：已知數列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根(1)對于都有(2) 令，得.故數列從第5項開始都不存在， 當4，時，.(3) 令則對于(4)、顯然當時，數列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數列是存在的，當時，則有令則得且2.當（其中且N2）時，數列從第項開始便不存在。于是知：當在集合或且2上取值時，無窮數列都不存在。變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）數列記（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求數列的通項公式及數列的前n項和解：由已知,得,其特征方程為解之得,或, 下面再欣賞用特征根法解決09年江西高考真題各項均為正數的數列 中，1）當解：由得化間得，作特征方程，。所以 從上面的解答不難看出特征根法在某些特殊的數列遞推題型