1、 電子信息工程學(xué)院Quency Chen1.相速度與群速度如果只考慮均勻介質(zhì)中的小幅度的波，可利用描述介質(zhì)的方程和麥克斯韋方程得到一常系數(shù)方程組，求解可得到解為： (1)的解其中k為波矢量，r為空間位置矢量，為角頻率。式(1)中的和k滿足： (2)的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系只與介質(zhì)的特性有關(guān)，稱為色散關(guān)系。式(1)描述的電磁波，表征波的時(shí)間變化，波矢量k描述波的空間變化。 (3)式(3)中為波長，因此波矢量k=1/表示單位距離有多少個(gè)波，即波的數(shù)量，然后再乘以2表示單位距離內(nèi)波的總相位，若把空間相位變化2相當(dāng)于一個(gè)全波，則k表示單位距離內(nèi)全波的數(shù)目，k也被稱為電磁波的相位常數(shù)，因?yàn)樗硎緜鞑シ较蛏喜ㄐ羞M(jìn)

2、單位距離時(shí)相位變化的大小，注意這里相位單位為弧度制。將(1)式變形為： (4)若滿足 (5)，則式(4)和式(3)一樣，這說明在空間距離延長r的位置處，若在時(shí)間上也滯后t則信號相位與r處t時(shí)刻的相位保持一致。這說明r處的波相位在t時(shí)間后傳播到r+r處，因此將式(5)變形可得到 (6),表示波的相速度由角頻率和波矢量共同決定。在真空中電磁波的相速度為c。折射指數(shù)n定義為： (7)，由于介質(zhì)中電波相速度既可能小于真空光速，也可能大于真空光速，所以折射指數(shù)也可能大于1，也可能小于1。如果限制是實(shí)數(shù)，若有一解，使得k和n也是實(shí)數(shù)，則代表無衰減的波傳播。若k和n為純虛數(shù)，則相應(yīng)的波是消散波。波場強(qiáng)度隨距

3、離指數(shù)地減小。如果將介質(zhì)等效為阻抗負(fù)載，則實(shí)數(shù)負(fù)載代表介質(zhì)從輸入端口全部吸收能量，然后又從輸出端口全部放出能量，類似傳輸線特性；如果負(fù)載為虛數(shù)，則代表負(fù)載從輸入端口全部吸收能量后，又從輸入端口全部釋放出去，因此電波就不能傳播，只能到達(dá)一定的深度后就反射出去了，類似界面反射。如果k和n即有實(shí)部又有虛部，則波的傳播伴隨著衰減（或增長）。如果和k是實(shí)數(shù)，且是常數(shù)，則上述平面波將充滿整個(gè)空間。波的相速度可以遠(yuǎn)大于光速，這時(shí)波的傳播既不輸送任何能量，也不傳送任何信息。實(shí)際上對于穩(wěn)定的單頻單色波，根本沒有傳輸?shù)母拍睿秒姶挪▉韨鬏斝畔ⅲ举|(zhì)上是傳送變化量，而且變化量必須要有帶寬，不可能是單色單頻信號。

4、這與“Shannon定律”是一致的，因此要研究信息傳遞的速度，必須要研究有一定帶寬的波包的傳遞速度。即群速度。根據(jù)傅里葉變換的方法可以將波包看做單色波的疊加，波包的傳播表現(xiàn)為單色波振幅和相位疊加效應(yīng)的傳播，而不是單色波的相位傳播。所以波包的傳播速度被定義為等幅面的傳播速度，即群速度。這里先考慮最簡單的情況，兩個(gè)等幅度，相位和頻率有一定偏差的雙頻信號 (8)利用三角公式可以將式(8)轉(zhuǎn)換為： (9)如果只考慮包絡(luò)等幅度面的傳播，設(shè)波包包絡(luò)在t時(shí)間移動(dòng)了r距離。注意不是單頻波相位移動(dòng)的距離和時(shí)間。 (10)若介質(zhì)沒有色散效應(yīng)，則群速度與相速度一致。如真空中電磁波傳播速度恒等于，因此。若介質(zhì)存在色散

5、效應(yīng)，即，則群速度不等于相速度。這里還要注意一個(gè)問題就是式(9)波包傳播時(shí)，兩個(gè)正弦波合成后的相位因子的傳播并不與波包包絡(luò)一致，我一開始就是因?yàn)檫@個(gè)概念弄錯(cuò)了，所以一直不能正確理解和計(jì)算，花了半天時(shí)間才想明白這個(gè)問題。圖1 群速度=相速度(k=1,deltak=0.1,w=1,deltaw=0.1)圖2 群速度小于相速度(k=1,deltak=0.1,w=1,deltaw=0.05)圖2 群速度大于相速度(k=1,deltak=0.05,w=1,deltaw=0.1)以上是從最簡單的雙頻正弦波疊加來討論波包的概念。式(9)中的包絡(luò)與后面的相位因子是無關(guān)的，后面的相位因子類似調(diào)制中的載波。波包在傳遞過程中保持不變。也只有這樣才能認(rèn)為波包在穩(wěn)定傳播。如果考慮有3個(gè)單頻波，分別為s1,s2和s3,則利用公式(8)可得到s12,s23,s31三個(gè)子波包。總的波包則等于，根據(jù)式(10)則可以得到3個(gè)群速度VG12，VG23，VG31，若這3個(gè)群速度不相等，則波包包絡(luò)不能穩(wěn)定傳輸（或者產(chǎn)生更高階的波包），反過來若要波包穩(wěn)定傳輸則必須VG12=VG23=VG31.即對k的函數(shù)必須是單調(diào)的（或者在，k附近單調(diào)）。則將式(10)進(jìn)一步基本化為式(11) (11)其中由色散關(guān)系決定。將式(11)可變?yōu)椋?(12) (13)如果從0