1、 第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用教學目的：1、 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應用。3、 會用二階導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。4、 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。5、 知道曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。6、 知道方程近似解的二分法及切線性。教學重點： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值 ，判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達

2、法則。教學難點： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應用； 2、極值的判斷方法； 3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪； 4、洛必達法則的靈活運用。§3. 1 微分中值定理一、 教學目的與要求：1 掌握羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的條件和結論，強調定理的條件是充分而非必要的；2 會驗證中值定理的正確性，掌握用拉格朗日中值定理證明不等式的方法（關鍵是構造輔助函數(shù)）；3 理解三個中值定理之間的關系。二、 重點、難點：中值定理的應用三、 主要外語詞匯：Fermat ， Rolle ，Lagrange，Cauchy，Medium value axioms,Lead a reason,shu

3、t zone,open zone.四、 輔助教學情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）五、 參考教材（資料）：同濟大學高等數(shù)學第五版 一、羅爾定理 費馬引理 設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義, 并且在x0處可導, 如果對任意xÎU(x0), 有 f(x)£f(x0) (或f(x)³f(x0), 那么f ¢(x0)=0. 羅爾定理 如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內可導, 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)內至少在一點x , 使得f ¢(x)=0. 簡要證明: (1)如果f(x)是常函數(shù)

4、, 則f ¢(x)º0, 定理的結論顯然成立. (2)如果f(x)不是常函數(shù), 則f(x)在(a, b)內至少有一個最大值點或最小值點, 不妨設有一最大值點xÎ(a, b). 于是, , 所以f ¢(x)=0. 羅爾定理的幾何意義: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內可導, 那么在(a, b)內至少有一點x(a<x<b), 使得等式f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a)成立. 拉格朗日中值定理的幾何意義: f ¢(x)=, 定理的證明: 引進輔函數(shù)令

5、 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a). 容易驗證函數(shù)f(x)適合羅爾定理的條件: j(a)=j(b)=0, j(x)在閉區(qū)間a, b 上連續(xù)在開區(qū)間(a, b)內可導, 且j ¢(x)=f ¢(x)-. 根據(jù)羅爾定理, 可知在開區(qū)間(a, b)內至少有一點x, 使j ¢(x)=0, 即f ¢(x)-=0. 由此得 = f ¢(x) , 即 f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a). 定理證畢. f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 這個公式對于b<a也成立. 拉格朗日中值公式的其它形

6、式: 設x 為區(qū)間a, b內一點, x+Dx 為這區(qū)間內的另一點(Dx>0或Dx<0), 則在x, x+Dx (Dx>0)或x+Dx, x (Dx<0)應用拉格朗日中值公式, 得f(x+Dx)-f(x)=f ¢(x+qDx)Dx (0<q<1). 如果記f(x)為y, 則上式又可寫為Dy=f ¢(x+qDx)Dx (0<q<1). 試與微分d y=f ¢(x)Dx 比較: d y =f ¢(x)Dx是函數(shù)增量Dy 的近似表達式, 而f ¢(x+qDx)Dx是函數(shù)增量Dy 的精確表達式. 作為拉格朗

7、日中值定理的應用, 我們證明如下定理: 定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零, 那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù). 證 在區(qū)間I上任取兩點x1, x2(x1<x2), 應用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f ¢(x)(x2 - x1) (x1<x< x2). 由假定, f ¢(x)=0, 所以f(x2)-f(x1)=0, 即f(x2)=f(x1). 因為x1, x2是I上任意兩點, 所以上面的等式表明: f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的, 這就是說, f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù). 例2. 證明當x>0時, . 證 設f(x)

8、=ln(1+x), 顯然f(x)在區(qū)間0, x上滿足拉格朗日中值定理的條件, 根據(jù)定理, 就有 f(x)-f(0)=f ¢(x)(x-0), 0<x<x。由于f(0)=0, , 因此上式即為 .又由0<x<x, 有 . 三、柯西中值定理 設曲線弧C由參數(shù)方程 (a£x£b)表示, 其中x為參數(shù). 如果曲線C上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線, 那么在曲線C上必有一點x=x , 使曲線上該點的切線平行于連結曲線端點的弦AB, 曲線C上點x=x 處的切線的斜率為 , 弦AB的斜率為 . 于是 . 柯西中值定理 如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)

9、間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內可導, 且F ¢(x)在(a, b)內的每一點處均不為零, 那么在(a, b)內至少有一點x , 使等式 .成立. 顯然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F ¢(x)=1, 因而柯西中值公式就可以寫成: f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a) (a<x<b), 這樣就變成了拉格朗日中值公式了. §3. 2 洛必達法則一、 教學目的與要求：1 理解洛必達法則的使用條件，掌握用洛必達法則求未定式的極限的方法；2 了解洛必達法則求極限的注意問題。二、 重點、難點：用洛必達法則求

10、極限。三、 主要外語詞匯：LHospital ,Undecided type四、 助教學情況:多媒體課件第四版和第五版（修改）五、 參考教材（資料）：同濟大學高等數(shù)學第五版一 型和型未定式的解法：洛必達法則定義：若當（或）時，函數(shù)和都趨于零(或無窮大)，則極限可能存在、也可能不存在，通常稱為型和型未定式. 例如 , (型); , (型).定理1：設 (1)當時, 函數(shù)和都趨于零;(2)在點的某去心鄰域內,和都存在且;(3) 存在(或無窮大),則定義：這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的 方法稱為洛必達法則證明: 定義輔助函數(shù), 在內任取一點, 在以和為端點的區(qū)間上函數(shù)

11、和滿足柯西中值定理的條件, 則有 , (在與之間)當時,有, 所以當, 有 故. 證畢說明: 1.如果仍屬于型, 且和滿足洛必達法則的條件,可繼續(xù)使用洛必達法則, 即; 2.當時, 該法則仍然成立, 有; 3.對（或）時的未定式，也有相應的洛必達法則; 4. 洛必達法則是充分條件; 5. 如果數(shù)列極限也屬于未定式的極限問題，需先將其轉換為函數(shù)極限，然后使用洛必達法則，從而求出數(shù)列極限.例1 求, (型)解 原式= 例2 求, (型)解 原式= = 例3 求 , (型)解 原式=1例4 求 , (型).解 原式= = =1例5 求 , (型)解 原式= = = = 注意：洛必達法則是求未定式的一

12、種有效方法，但與其它求極限方法結合使用，效果更好.例6 求解 原式= = =二型未定式的求法關鍵: 將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型型和型.1型未定式的求法步驟：或例7 求 型解 原式=步驟：例8 求 型解 原式=步驟： 例9 求 型解 原式=例10 求 型解 原式=例11 求 型解 由于而 所以 原式=注意：洛必達法則的使用條件例12 求解 原式=極限不存在 （洛必達法條件不滿足的情況）正確解法為 原式=例13 求解 設，則 因為=從而 原式=§3. 3 泰勒公式一、 教學目的與要求：1 掌握Taylor公式及其余項的兩種形式;2 熟記常用函數(shù)的n階Maclaurin公式

13、.3了解用Taylor公式證明不等式,求極限. 二、 重點、難點:求函數(shù)的Taylor公式三、 主要外語詞匯: Taylor, Maclaurin,四、 輔助教學情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）五、 參考教材（資料）：同濟大學高等數(shù)學第五版 對于一些較復雜的函數(shù), 為了便于研究, 往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達. 由于用多項式表示的函數(shù), 只要對自變量進行有限次加、減、乘三種運算, 便能求出它的函數(shù)值, 因此我們經(jīng)常用多項式來近似表達函數(shù). 在微分的應用中已經(jīng)知道, 當|x|很小時, 有如下的近似等式: e x »1+x, ln(1+x) »x. 這些都是用一次多

14、項式來近似表達函數(shù)的例子. 但是這種近似表達式還存在著不足之處: 首先是精確度不高, 這所產(chǎn)生的誤差僅是關于x的高階無窮小; 其次是用它來作近似計算時, 不能具體估算出誤差大小. 因此, 對于精確度要求較高且需要估計誤差時候, 就必須用高次多項式來近似表達函數(shù), 同時給出誤差公式. 設函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間內具有直到(n+1)階導數(shù), 現(xiàn)在我們希望做的是: 找出一個關于(x-x0 )的n次多項式 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ × × × + a n (x-x0 ) n來近似表達f(x), 要求p n(x)與f(x

15、)之差是比(x-x0 ) n高階的無窮小, 并給出誤差| f (x)- p n (x)|的具體表達式. 我們自然希望p n(x)與f(x)在x0 的各階導數(shù)(直到(n+1)階導數(shù))相等, 這樣就有 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+× × × + a n (x-x0 ) n , p n¢(x)= a 1+2 a 2(x-x0 ) +× × × +na n (x-x0 ) n-1 , p n¢¢(x)= 2 a 2 + 3×2a 3(x-x0 ) +×

16、; × × + n (n-1)a n (x-x0 ) n-2 , p n¢¢¢(x)= 3!a 3 +4×3×2a 4(x-x0 ) +× × × + n (n-1)(n-2)a n (x-x0 ) n-3 , × × × × × × , p n (n)(x)=n! a n . 于是 pn (x0 )=a 0 , p n ¢(x0 )= a 1 , p n ¢¢(x0 )= 2! a 2 , p n

17、62;¢¢(x)= 3!a 3 , × × × , p n (n)(x)=n! a n. 按要求有 f(x0)=p n(x0) =a0, f ¢(x0)= p n ¢(x0)= a 1 , f ¢¢(x0)= p n ¢¢(x0)= 2! a 2 , f ¢¢¢(x0)= p n ¢¢¢(x0)= 3!a 3 , × × × × × × f (n)(x0)= p n

18、(n)(x0)=n! a n . 從而有 a 0=f(x0 ), a 1=f ¢(x0 ), , × × × , , . (k=0, 1, 2, × × ×, n). 于是就有 pn(x)= f(x0)+ f ¢(x0) (x-x0)(x-x0) 2 +× × × (x-x0) n . 泰勒中值定理 如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a, b)內具有直到(n+1)的階導數(shù), 則當x 在(a, b)內時, f(x)可以表示為(x-x0 )的一個n次多項式與一個余項R n(x)之和:

19、 其中(x 介于x0與x之間).這里 多項式 . 稱為函數(shù)f(x)按(x-x0 )的冪展開的n 次近似多項式, 公式 +× × ×, 稱為f(x)按(x-x0 )的冪展開的n 階泰勒公式, 而R n(x)的表達式其中(x介于x與x0之間). 稱為拉格朗日型余項. 當n=0時, 泰勒公式變成拉格朗日中值公式: f(x)=f(x0 )+f ¢(x)(x-x0 ) (x在x0 與x 之間). 因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣. 如果對于某個固定的n, 當x在區(qū)間(a, b)內變動時, |f (n+1)(x)|總不超過一個常數(shù)M, 則有估計式: ,及

20、 . 可見, 妝x ®x0時, 誤差|R n(x)|是比(x-x0 )n高階的無窮小, 即 R n (x)=o(x-x0 ) n. 在不需要余項的精確表達式時, n 階泰勒公式也可寫成 +× × ×. 當x0 =0時的泰勒公式稱為麥克勞林公式, 就是 ,或 ,其中.由此得近似公式: . 誤差估計式變?yōu)? . 例1寫出函數(shù)f(x)=e x 的n 階麥克勞林公式. 解: 因為 f(x)=f ¢(x)=f ¢¢(x)= × × × =f ( n)(x)=e x , 所以 f(0)=f ¢(0

21、)=f ¢¢(0)= × × × =f ( n)(0)=1 , 于是 (0<q<1), 并有 . 這時所產(chǎn)性的誤差為 |R n(x)|=|x n+1|<| x | n+1. 當x=1時, 可得e的近似式: . 其誤差為 |R n |<. 例2求f(x)=sin x的n階麥克勞林公式. 解: 因為 f ¢(x)=cos x , f ¢¢(x)=-sinx , f ¢¢¢(x)= -cos x , , × × × , f (0)=0,

22、f ¢(0)=1, f ¢¢(0)=0 , f ¢¢¢(0)=-1, f ( 4)(0)=0, × × ×, 于是 . 當m=1、2、3時, 有近似公式 sin x»x, , . §3. 4 函數(shù)單調性與曲線的凹凸性一、 教學目的與要求：1 掌握函數(shù)的單調性判別法，會求單調區(qū)間；2 理解曲線凹凸的概念，會用二階導數(shù)判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點；3 會利用單調性和曲線的凹凸性證明不等式。二、 重點（難點）：單調性和曲線的凹凸性的判定和應用三、 主要外語詞匯：Monotone，Cave

23、 and convex，Turn to order四、 輔助教學情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）五、參考教材（資料）：同濟大學高等數(shù)學第五版 一、函數(shù)單調性的判定法 如果函數(shù)y=f(x)在a , b上單調增加（單調減少）, 那么它的圖形是一條沿x 軸正向上升（下降）的曲線. 這時曲線的各點處的切線斜率是非負的（是非正的）, 即y¢=f ¢(x)³0(y¢=f ¢(x)£0). 由此可見, 函數(shù)的單調性與導數(shù)的符號有著密切的關系. 反過來, 能否用導數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調性呢？ 定理1(函數(shù)單調性的判定法) 設函數(shù)y=f(x)在

24、a, b上連續(xù), 在(a, b)內可導. (1)如果在(a, b)內f ¢(x)>0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調增加; (2)如果在(a, b)內f ¢(x)<0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調減少. 證明 只證(1). 在a, b上任取兩點x1 , x2 (x1 <x2 ), 應用拉格朗日中值定理, 得到f(x2 )-f(x1 )=f ¢(x)(x2-x1) (x1 <x<x2 ). 由于在上式中, x2-x1>0, 因此, 如果在(a, b)內導數(shù)f ¢(x)保持正號, 即f ¢(x)

25、>0, 那么也有f ¢(x)>0. 于是f(x2 )-f(x1 )=f ¢(x)(x2 -x1 )>0, 即 f(x1 )<f(x2 ), 這函數(shù)y=f(x) 在a, b上單調增加. 注: 判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間. 例1 判定函數(shù)y=x-sin x 在0, 2p上的單調性. 解 因為在(0, 2p)內y¢=1-cos x >0, 所以由判定法可知函數(shù)y=x-cos x 在0, 2p上的單調增加. 例2 討論函數(shù)y=e x -x-1的單調性. （沒指明在什么區(qū)間怎么辦？) 解 y¢=e x -1. 函數(shù)y=e x

26、-x-1的定義域為(-¥, +¥). 因為在(-¥, 0)內y¢<0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在(-¥, 0 上單調減少; 因為在(0, +¥)內y¢>0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在0, +¥)上單調增加. 例3. 討論函數(shù)的單調性. 解: 函數(shù)的定義域為(-¥, +¥). 當時, 函數(shù)的導數(shù)為 (x¹0), 函數(shù)在x=0處不可導. 當x=0時, 函數(shù)的導數(shù)不存在. 因為x<0時, y¢<0, 所以函數(shù)在(-¥, 0 上單調減少;

27、 因為x>0時, y¢>0, 所以函數(shù)在0, +¥)上單調增加. 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù), 除去有限個導數(shù)不存在的點外導數(shù)存在且連續(xù), 那么只要用方程f ¢(x)=0的根及導數(shù)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間, 就能保證f ¢(x)在各個部分區(qū)間內保持固定的符號, 因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調. 例4. 確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調區(qū)間. 解 這個函數(shù)的定義域為:(-¥, +¥). 函數(shù)的導數(shù)為:f ¢(x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 導數(shù)為零的

28、點有兩個: x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-¥, 11, 22, +¥)f ¢(x)+-+f(x)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, 1和2, +¥)內單調增加, 在區(qū)間1, 2上單調減少. 例5. 討論函數(shù)y=x3的單調性. 解 函數(shù)的定義域為: (-¥, +¥). 函數(shù)的導數(shù)為: y¢=3x2 . 除當x=0時, y¢=0外, 在其余各點處均有y¢>0. 因此函數(shù)y=x 3在區(qū)間(-¥, 0及0, +¥)內都是單調增加的. 從而在整個定義域: (-¥,

29、+¥)內是單調增加的. 在x=0處曲線有一水平切線. 一般地, 如果f ¢(x)在某區(qū)間內的有限個點處為零, 在其余各點處均為正（或負）時, 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的. 例6. 證明: 當x>1時, . 證明: 令, 則 . 因為當x>1時, f ¢(x)>0, 因此f(x)在1, +¥)上f(x)單調增加, 從而當x>1時, f(x)>f(1). 由于f(1)=0, 故f(x)>f(1)=0, 即 , 也就是(x>1). 二、曲線的凹凸與拐點 凹凸性的概念: x1 x 2 yx O

30、f(x2) f(x1) x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) 定義 設f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果對I上任意兩點x 1, x 2, 恒有, 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧). 定義¢ 設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的. 凹凸性的判定: 定理 設f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內具有一階和二階導數(shù), 那么 (1)若在(a, b)內f &#

31、162;¢(x)>0, 則f(x)在a, b上的圖形是凹的; (2)若在(a, b)內f ¢¢(x)<0, 則f(x)在a, b上的圖形是凸的. 簡要證明 只證(1). 設x1, x2Îa, b, 且x1<x2, 記. 由拉格朗日中值公式, 得 , , , , 兩式相加并應用拉格朗日中值公式得 , , 即, 所以f(x)在a, b上的圖形是凹的. 拐點: 連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點. 確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟: (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求出在二階導數(shù)f¢

32、62; (x); (3)求使二階導數(shù)為零的點和使二階導數(shù)不存在的點; (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點; 注: 根據(jù)具體情況（1）（3）步有時省略. 例1. 判斷曲線y=ln x 的凹凸性. 解: , . 因為在函數(shù)y=ln x的定義域(0, +¥)內, y¢¢<0, 所以曲線y=ln x是凸的. 例2. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解: y¢=3x 2, y¢¢=6x . 由y¢¢=0, 得x=0. 因為當x<0時, y¢¢<0, 所以曲線在(-¥,

33、 0內為凸的; 因為當x>0時, y¢¢>0, 所以曲線在0, +¥)內為凹的. 例3. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點. 解: y=6x 2+6x-12, . 令y¢¢=0, 得. 因為當時, y¢¢<0; 當時, y¢¢>0, 所以點(, )是曲線的拐點. 例4. 求曲線y=3x 4-4x 3+1的拐點及凹、凸的區(qū)間. 解: (1)函數(shù)y=3x 4-4x 3+1的定義域為(-¥, +¥); (2),; (3)解方程y¢¢=

34、0, 得, ; (4)列表判斷: (-¥, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +¥) f ¢¢(x) + 0 - 0 + f(x) È 1 Ç 11/27 È 在區(qū)間(-¥, 0和2/3, +¥)上曲線是凹的, 在區(qū)間0, 2/3上曲線是凸的. 點(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲線的拐點. 例5 問曲線y=x 4是否有拐點？ 解 y¢=4x 3, y¢¢=12x 2. 當x ¹0時, y¢¢>0, 在區(qū)間(-

35、5;, +¥)內曲線是凹的, 因此曲線無拐點. 例6. 求曲線的拐點. 解 (1)函數(shù)的定義域為(-¥, +¥); (2) , ; (3)無二階導數(shù)為零的點, 二階導數(shù)不存在的點為x=0; (4)判斷: 當x<0當, y¢¢>0; 當x>0時, y¢¢<0. 因此, 點(0, 0)曲線的拐點. §3. 5 函數(shù)的極值與最大值最小值一、 教學目的與要求：1 理解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值的求法；2 了解駐點、極值點、極值等概念.了解可導函數(shù)極值存在的必要條件.知道極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系；3

36、 掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為主.二、重點（難點）：極值的求法二、 主要外語詞匯：The pole be worth，Halt to order,Be worth biggest,The worth smallest,The giggest value,Minimum value四、輔助教學情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）五、 參考教材（資料）：同濟大學高等數(shù)學第五版 一、函數(shù)的極值及其求法 極值的定義: 定義 設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內有定義, x0Î(a, b). 如果在x0的某一去心鄰域內有f(x)< f(x0), 則稱f(

37、x0)是函數(shù) f(x)的一個極大值; 如果在x0的某一去心鄰域內有f(x)>f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值. 設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義, 如果在去心鄰域U(x0)內有f(x)<f(x0) (或f(x)>f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個極大值(或極小值). 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. 函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值, 那只是就x0 附近的一個局部范圍來說, f(x0)是f(x)的一個最大值; 如果就f(x)的整個定義域來說

38、, f(x0)不一定是最大值. 關于極小值也類似. 極值與水平切線的關系: 在函數(shù)取得極值處, 曲線上的切線是水平的. 但曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定取得極值. 定理1 (必要條件)設函數(shù)f(x)在點x0 處可導, 且在x0 處取得極值, 那么這函數(shù)在x0 處的導數(shù)為零, 即f ¢(x0)=0. 證 為確定起見, 假定f(x0)是極大值(極小值的情形可類似地證明). 根據(jù)極大值的定義, 在x0 的某個去心鄰域內, 對于任何點x , f(x) < f(x0)均成立. 于是 當x < x0 時, 因此 f ¢(x0); 當x > x0 時, 因此 ;

39、從而得到 f ¢(x0) = 0 . 簡要證明: 假定f(x0)是極大值. 根據(jù)極大值的定義, 在x0的某個去心鄰域內有f(x)< f(x0). 于是 , 同時 ,從而得到f ¢(x0) = 0 . 駐點: 使導數(shù)為零的點(即方程f ¢(x) = 0的實根)叫函數(shù)f(x)的駐點. 定理就是說: 可導函數(shù)f(x)的極值點必定是函數(shù)的駐點. 但的過來, 函數(shù)f(x)的駐點卻不一定是極值點. 考察函數(shù)f(x)=x3在x=0處的情況. 定理(第一種充分條件)設函數(shù)f(x)在點x0的一個鄰域內連續(xù), 在x0的左右鄰域內可導. (1) 如果在x0的某一左鄰域內f

40、62;(x)>0, 在x0的某一右鄰域內f ¢(x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2) 如果在x0的某一左鄰域內f ¢(x)<0, 在x0的某一右鄰域內f ¢(x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在x0的某一鄰域內f ¢(x)不改變符號, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理¢ (第一種充分條件)設函數(shù)f(x)在含x0的區(qū)間(a, b)內連續(xù), 在(a, x0)及(x0, b)內可導. (1)如果在(a, x0)內f ¢(x)>0, 在(x0, b)內f &#

41、162;(x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(a, x0)內f ¢(x)<0, 在(x0, b)內f ¢(x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)內 f ¢(x)的符號相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2¢¢(第一充分條件)設函數(shù)f(x)在x0連續(xù), 且在x0的某去心鄰域(x0-d, x0)È(x0, x0+d)內可導. (1)如果在(x0-d, x0)內f ¢(x)>0, 在(x0, x0+d)內f

42、62;(x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(x0-d, x0)內f ¢(x)<0, 在(x0, x0+d)內f ¢(x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(x0-d, x0)及(x0, x0+d)內 f ¢(x)的符號相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2也可簡單地這樣說: 當x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過x0時, 如果f ¢(x)的符號由負變正, 那么f(x)在x0處取得極大值; 如果f ¢(x)的符號由正變負, 那么f(x)在x0處取得極小值; 如果f ¢

43、(x)的符號并不改變, 那么f(x)在x0處沒有極值 (注: 定理的敘述與教材有所不同) . 確定極值點和極值的步驟: (1)求出導數(shù)f ¢(x); (2)求出f(x)的全部駐點和不可導點; (3)列表判斷(考察f ¢(x)的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況, 以便確定該點是否是極值點, 如果是極值點, 還要按定理2確定對應的函數(shù)值是極大值還是極小值); (4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值. 例1求函數(shù)的極值. 解(1)f(x)在(-¥, +¥)內連續(xù), 除x=-1外處處可導, 且 ; (2)令f ¢(x)=0, 得駐點x=1; x=-

44、1為f(x)的不可導點; (3)列表判斷 x(-¥, -1)-1(-1, 1)1(1, +¥)f ¢(x)+不可導-0+f(x)0 (4)極大值為f(-1)=0, 極小值為. 定理3 (第二種充分條件) 設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)且f ¢(x0)=0, f ¢¢(x0)¹0, 那么 (1)當f ¢¢(x0)<0時, 函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (1)當f ¢¢(x0)>0時, 函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; 證明 在情形(1), 由于f ¢

45、62;(x0)<0, 按二階導數(shù)的定義有. 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性, 當x 在x0的足夠小的去心鄰域內時, . 但f ¢(x0)=0, 所以上式即. 從而知道, 對于這去心鄰域內的x來說, f ¢(x)與x-x0符號相反. 因此, 當x-x0<0即x<x0時, f ¢(x)>0; 當x-x0>0即x>x0時, f ¢(x)<0. 根據(jù)定理2, f(x)在點x0處取得極大值. 類似地可以證明情形(2). 簡要證明: 在情形(1), 由于f ¢¢(x0)<0, f ¢(x0)=0

46、, 按二階導數(shù)的定義有 .根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性, 在x0的某一去心鄰域內有 . 從而在該鄰域內, 當x<x0時, f ¢(x)>0; 當x>x0時, f ¢(x)<0. 根據(jù)定理2, f(x)在點x0處取得極大值. 定理3 表明, 如果函數(shù)f(x)在駐點x0處的二導數(shù)f ¢¢(x0) ¹0, 那么該點x0一定是極值點, 并且可以按二階導數(shù)f ¢¢(x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值. 但如果f ¢¢(x0)=0, 定理3就不能應用. 討論: 函數(shù)f (x)=-x4,

47、g(x)=x3在點x=0是否有極值？ 提示: f ¢(x)=4x 3, f ¢(0)=0; f ¢¢(x)=12x2, f ¢¢(0)=0. 但當x<0時f ¢(x)<0, 當x>0時f ¢(x)>0, 所以f(0) 為極小值. g ¢(x)=3x2, g ¢(0)=0; g ¢¢(x)=6x, g ¢¢(0)=0. 但g(0)不是極值 例2 求函數(shù)f(x)=(x2-1)3+1的極值. 解 (1)f ¢(x)=6x(x2-

48、1)2. (2)令f ¢(x)=0, 求得駐點x1=-1, x2=0, x3=1. (3)f ¢¢(x)=6(x2-1)(5x2-1). (4)因f ¢¢(0)=6>0, 所以f (x)在x=0處取得極小值, 極小值為f(0)=0. (5)因f ¢¢(-1)=f ¢¢(1)=0, 用定理3無法判別. 因為在-1的左右鄰域內f ¢(x)<0, 所以f(x)在-1處沒有極值; 同理, f(x)在1處也沒有極值. 二、最大值最小值問題 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術及科學實驗中, 常常會遇到這樣一

49、類問題: 在一定條件下, 怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題, 這類問題在數(shù)學上有時可歸結為求某一函數(shù)（通常稱為目標函數(shù)）的最大值或最小值問題. 極值與最值的關系: 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)的最大值和最小值一定存在. 函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點取得, 如果最大值不在區(qū)間的端點取得, 則必在開區(qū)間(a, b)內取得, 在這種情況下, 最大值一定是函數(shù)的極大值. 因此, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最大者. 同理, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點

50、的函數(shù)值中最小者. 最大值和最小值的求法: 設f(x)在(a, b)內的駐點和不可導點(它們是可能的極值點)為x1, x2, × × × , xn, 則比較 f(a), f(x 1), × × × , f(x n), f(b)的大小, 其中最大的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最大值, 最小的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最小值. 例3求函數(shù)f(x)=|x2-3x+2|在-3, 4上的最大值與最小值. 解 , 在(-3, 4)內, f(x)的駐點為; 不可導點為x=1和x=2. 由于f(-3)=20, f(1)=0, f(2)=0, f

51、(4)=6, 比較可得f(x)在x=-3處取得它在-3, 4上的最大值20, 在x=1和x=2處取它在-3, 4上的最小值0. 例4 工廠鐵路線上AB段的距離為100km. 工廠C距A處為20km, AC垂直于AB. 為了運輸需要, 要在AB線上選定一點D向工廠修筑一條公路. 已知鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比3:5. 為了使貨物從供應站B運到工廠C的運費最省, 問D點應選在何處？ 解 設AD=x (km), 則 DB=100-x , . 設從B點到C點需要的總運費為y, 那么 y=5k×CD+3k×DB (k是某個正數(shù)), 即 +3k(100-x) (0

52、£x£100). 現(xiàn)在, 問題就歸結為: x 在0, 100內取何值時目標函數(shù)y的值最小. 先求y對x的導數(shù): . 解方程y¢=0, 得x=15(km). 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當AD=x=15km時, 總運費為最省. 例2¢ 工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km, A點到火車站B的距離為100km. 欲修一條從工廠到鐵路的公路CD. 已知鐵路與公路每公里運費之比為3:5. 為了使火車站B與工廠C間的運費最省, 問D點應選在何處？ 解 設AD=x (km), B與C間的運費為y,

53、 則 y=5k×CD+3k×DB (0£x£100), 其中k是某一正數(shù). 由=0, 得x=15. 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當AD=x=15km時, 總運費為最省. 注意: f(x)在一個區(qū)間(有限或無限, 開或閉)內可導且只有一個駐點x0 , 并且這個駐點x0 是函數(shù)f(x)的極值點, 那么, 當f(x0)是極大值時, f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值; 當f(x0)是極小值時, f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值. f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x )

54、 y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y 應當指出, 實際問題中, 往往根據(jù)問題的性質就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值, 而且一定在定義區(qū)間內部取得. 這時如果f(x)在定義區(qū)間內部只有一個駐點x0, 那么不必討論f(x0)是否是極值, 就可以斷定f(x0)是最大值或最小值. 例6 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁. 問矩形截面的高h和寬b應如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W ()最大?d hb 解 b 與h 有下面的關系: h 2=d 2-b 2, 因而 (0<b<d). 這樣, W就是自變量b的函數(shù), b的變化范圍是(0, d). 現(xiàn)在, 問題

55、化為: b等于多少時目標函數(shù)W 取最大值？為此, 求W對b 的導數(shù): . 解方程W ¢=0得駐點. 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在, 而且在(0, d)內部取得; 現(xiàn)在, 函數(shù)在(0, d)內只有一個駐點, 所以當時, W 的值最大. 這時, , 即 . . 解: 把W表示成b的函數(shù): (0<b<d). 由, 得駐點. 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在, 而且在(0, d)內部取得; 現(xiàn)在函數(shù)W在(0, d)內只有一個駐點, 所以當時, 抗彎截面模量W最大, 這時. §3. 6 函數(shù)圖形的描繪一、 教學目的與要求：1會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線.2會利用導數(shù)描繪函數(shù)圖形。二、 重點（難點）：利用導數(shù)分區(qū)間討論函數(shù)的圖形的性質。三、 主要外語詞匯：sketch，Descript