1、空間向量在立體幾何中的應用：(1)直線的方向向量與平面的法向量：如圖，l為經過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，對空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使得，其中向量a叫做直線的方向向量由此可知，空間任意直線由空間一點及直線的方向向量惟一確定如果直線l平面a ，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面a 的法向量由此可知，給定一點A及一個向量a，那么經過點A以向量a為法向量的平面惟一確定(2)用空間向量刻畫空間中平行與垂直的位置關系：設直線l，m的方向向量分別是a，b，平面a ，b 的法向量分別是u，v，則lmabakb，kR；lmaba·b0；la aua

2、3;u0；la auaku，kR；a uvukv，kR；a b uvu·v0(3)用空間向量解決線線、線面、面面的夾角問題：異面直線所成的角：設a，b是兩條異面直線，過空間任意一點O作直線aa，bb，則a與b所夾的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角設異面直線a與b的方向向量分別是v1，v2，a與b的夾角為q ，顯然則直線和平面所成的角：直線和平面所成的角是指直線與它在這個平面內的射影所成的角設直線a的方向向量是u，平面a 的法向量是v，直線a與平面a 的夾角為q ，顯然，則二面角及其度量：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角記作a lb 在二面角的棱上任取一點O，在兩個

3、半平面內分別作射線OAl，OBl，則AOB叫做二面角a lb 的平面角利用向量求二面角的平面角有兩種方法：方法一：如圖，若AB，CD分別是二面角a lb 的兩個面內與棱l垂直的異面直線，則二面角a lb 的大小就是向量的夾角的大小方法二：如圖，m1，m2分別是二面角的兩個半平面a ，b 的法向量，則m1，m2與該二面角的大小相等或互補(4)根據題目特點，同學們可以靈活選擇運用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題【例題分析】例1 如圖，在長方體OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，點P在棱AA1上，且AP2PA1，點S在棱BB1上，且B1S2SB，點Q，R分別是O1B1

4、，AE的中點，求證：PQRS 【分析】建立空間直角坐標系，設法證明存在實數k，使得解：如圖建立空間直角坐標系，則O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)AP2PA1， 同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)，又RPQ，PQRS【評述】1、證明線線平行的步驟：(1)證明兩向量共線；(2)證明其中一個向量所在直線上一點不在另一個向量所在的直線上即可2、本體還可采用綜合法證明，連接PR，QS，證明PQRS是平行四邊形即可，請完成這個證明例2 已知正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分別是棱A1

5、D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點，求證：平面AMN平面EFBD【分析】要證明面面平行，可以通過線線平行來證明，也可以證明這兩個平面的法向量平行解法一：設正方體的棱長為4，如圖建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)取MN的中點K，EF的中點G，BD的中點O，則O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)(2，2，0)，(2，2，0)，(1，1，4)，(1，1，4)，MN/EF，AK/OG，MN平面EFBD，AK平面EFBD，平面AMN平面EFBD解法二：設平面AMN的法向量

6、是a(a1，a2，a3)，平面EFBD的法向量是b(b1，b2，b3)由得取a31，得a(2，2，1)由得取b31，得b(2，2，1)ab，平面AMN平面EFBD注：本題還可以不建立空間直角坐標系，通過綜合法加以證明，請試一試例3 在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中點，求異面直線AM和CN所成角的余弦值解法一：設正方體的棱長為2，如圖建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1)設和所成的角為q ，則異面直線AM和CN所成角的余弦值是解法二：取AB的中點P，CC1的中點Q，連接B1P，B1Q，PQ，

7、PC易證明：B1PMA，B1QNC，PB1Q是異面直線AM和CN所成的角設正方體的棱長為2，易知異面直線AM和CN所成角的余弦值是【評述】空間兩條直線所成的角是不超過90°的角，因此按向量的夾角公式計算時，分子的數量積如果是負數，則應取其絕對值，使之成為正數，這樣才能得到異面直線所成的角(銳角)例4 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a，側棱長為，求直線AC1與平面ABB1A1所成角的大小【分析】利用正三棱柱的性質，適當建立空間直角坐標系，寫出有關點的坐標求角時有兩種思路：一是由定義找出線面角，再用向量方法計算；二是利用平面ABB1A1的法向量求解解法一：如圖建立空間直角坐

8、標系，則A(0，0，0)，B(0，a，0)，取A1B1的中點D，則，連接AD，C1D則DC1平面ABB1A1，C1AD是直線AC1與平面ABB1A1所或的角，直線AC1與平面ABB1A1所成角的大小是30°解法二：如圖建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，)，從而設平面ABB1A1的法向量是a(p，q，r)，由得取p1，得a(1，0，0)設直線AC1與平面ABB1A1所成的角為【評述】充分利用幾何體的特征建立適當的坐標系，再利用向量的知識求解線面角；解法二給出了一般的方法，即先求平面的法向量與斜線的夾角，再利用兩角互余轉換例5 如圖，三棱錐PABC中

9、，PA底面ABC，ACBC，PAAC1，求二面角APBC的平面角的余弦值 解法二圖解法一：取PB的中點D，連接CD，作AEPB于EPAAC1，PAAC，PCBC，CDPBEAPB， 向量和夾角的大小就是二面角APBC的大小如圖建立空間直角坐標系，則C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，0)，P(1，0，1)，由D是PB的中點，得D由得E是PD的中點，從而 即二面角APBC的平面角的余弦值是解法二：如圖建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，設平面PAB的法向量是a(a1，a2，a3)，平面PBC的法向量是b(b1，b2，b3)由得取a11，得由得取b3

10、1，得b(0，1，1)二面角APBC為銳二面角，二面角APBC的平面角的余弦值是【評述】1、求二面角的大小，可以在兩個半平面內作出垂直于棱的兩個向量，轉化為這兩個向量的夾角；應注意兩個向量的始點應在二面角的棱上2、當用法向量的方法求二面角時，有時不易判斷兩個平面法向量的夾角是二面角的平面角還是其補角，但我們可以借助觀察圖形而得到結論，這是因為二面角是銳二面角還是鈍二面角一般是明顯的練習一、選擇題：1在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中點，則二面角EA1D1D的平面角的正切值是( )(A)(B)2(C)(D)2正方體ABCDA1B1C1D1中，直線AD1與平面A1ACC1所成角的大

11、小是( )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°3已知三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于( )(A)(B)(C)(D)4如圖，a b ，a b l，Aa ，Bb ，A，B到l的距離分別是a和b，AB與a ，b 所成的角分別是q 和，AB在a ，b 內的射影分別是m和n，若ab，則下列結論正確的是( )(A)q ，mn(B)q ，mn(C)q ，mn(D)q ，mn 二、填空題：5在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分別為AA1，AB，BB1

12、，B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成角的大小是_6已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于_7如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為_ 4題圖 7題圖 9題圖8四棱錐PABCD的底面是直角梯形，BAD90°，ADBC，PA底面ABCD，PD與底面ABCD所成的角是30°設AE與CD所成的角為q ，則cosq _三、解答題：9如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，點E在CC1上，且C1E3EC()證明：A1C平面BED；()求二面角A1DEB平面角的余

13、弦值10如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點，N為BC的中點()證明：直線MN平面OCD；()求異面直線AB與MD所成角的大小11如圖，已知直二面角a PQb ，APQ，Ba ，Cb ，CACB，BAP45°，直線CA和平面a 所成的角為30°()證明：BCPQ；()求二面角BACP平面角的余弦值練習答案一、選擇題：1B 2A 3B 4D二、填空題：560° 62 7 8三、解答題： 9題圖 10題圖 11題圖9以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系Dxyz依題設，B(2，2，0

14、)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)()A1CBD，A1CDE又DBDED，A1C平面DBE()設向量n(x，y，z)是平面DA1E的法向量，則令y1，得n(4，1，2)二面角A1DEB平面角的余弦值為10作APCD于點P如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標系則A(0，0，0)，B(1，0，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，()設平面OCD的法向量為n(x，y，z)，則即取，得MN平面OCD()設AB與MD所成的角為q ，即直線AB與MD所成角的大小為11()證明：在平面b 內過點C作COPQ于點O，連結OBa b ，a b PQ，COa 又CACB，OAOBBAO45°，ABO45°，AOB90°，BOPQ，又COPQ，PQ平面