1、第二章 導數與微分講授內容： §2-1導數概念教學目的與要求：1、理解導數的定義以及它的幾何意義。 2、掌握函數連續與導數存在的關系，導數存在與左右導數存在的關系。 3、會利用導數的定義求一些基本初等函數的導數、求分段函數在分段點處的導數。教學重難點：重點導數的定義，導數存在與左右導數的關系.難點分段函數在分段點處導數的求法，用定義求抽象函數的導數.教學方法：講授法教學建議：借助速度和切線的實例引入導數的定義。教學學時：2學時教學過程： 上一章我們討論了函數的極限和連續，在此基礎上本章將更進一步的研究函數值的變化快慢，即函數的導數，它是討論函數特性的基本工具。一、 引例:1. 直線運

2、動的速度設某質點在數軸上的運動方程為s=f(t) (位置函數),則從時刻t0到時刻t的平均速度為:當tt0時,則有即時速度(瞬時速度)為v=.（A）2. 切線問題切線：設有曲線C及C上的一點M，在點M外另取C上的一點N，作割線MN. 當點N沿曲線C趨于點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨于極限位置MT，則直線MT稱為曲線C在點M處的切線，即：只要弦長|MN|趨于零，則NMT趨于零。設曲線C的方程為：y=f(x), M(x0, y0)為曲線C上的一點. 則y0=f (x0)。在曲線C上取點N(x, y)。則割線MN的斜率為:tan=當點NM時，xx0. 如果極限（B）存在，設為k, 則稱此極限為切

3、線的斜率。其中k=tan ,為切線MT的傾角.說明：兩個問題的共性：所求量為函數增量與自變量增量的比值極限，都是討論函數的變化率，類似的：加速度：速度增量與時間增量的比值的極限。角速度：轉角增量與時間增量的比值的極限。線密度：質量增量與長度增量的比值的極限問題：（A）（B）兩式對較復雜的函數求出一具體的值是很不方便，為尋求解決此類問題的簡便方法，給出如下導數的定義。二、 導數的定義:1. 導數的定義:定義：設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處取得增量x(點x0+x在該鄰域內)時，相應函數取得增量y=f(x+x0)-f(x0)；如果極限：=存在，則稱此極限為函數y=f

4、(x)在點x0處的導數。記為：.（）其它記號：，導數定義的其它形式： f(x0)=; 或 f(x0)=說明：1）比值是函數y=f(x)在以x0和x0+x為端點的區間上的平均變化率，導數即是函數的平均變化率的極限值。（瞬時變化率：點x0處的變化率）2）極限不存在時，稱函數在點x0處不可導。注意當此極限為時，當然是不可導，但我們仍然說函數在該此處的導數為。3）注意（）中左右兩端x0的一致性，分子分母中x的一致性。是左右兩側連續的趨向0，如換成不可。4）當函數y=f(x)在開區間I內的每一點都可導時，則對于任意，就有一確定的導數值，從而構成一個新的函數，稱此函數為原函數y=f(x)的導函數（簡稱導數

5、），記為：。5）。6）由引例知：，。7）因導數是用極限定義的，于是在利用導數的定義求導數時，求極限的所有方法在此均可以使用。2. 左右導數: f(x0)=(存在) 稱為函數f(x)在點x0處的左導數. f+(x0)=(存在) 稱為函數f(x)在點x0處的右導數.函數y=f(x)在x0處可導的充要條件為：左右導數存在并相等，即： f(x0) 存在 Ûf(x0) =f+(x0).函數f(x)在閉區間a,b內可導即指：在開區間(a,b)內可導，且f+(a)和f(b)都存在。三、 求導例子:用定義求函數的導數的步驟：1） 寫出函數的增量2） 寫出函數增量與自變量增量的比值3） 求比值的極限1

6、) (C)=0.2) (x)=x-1 (為常數).3) (sinx)=cosx4) (ax)=axlna. 特別有：(ex)=ex5）(lnx)=1/x或(logax)=1/xlna下面為分段函數在分段點處導數的求法的例子，須用結論： f(x0) 存在 Ûf(x0) =f+(x0).例2. 1）求函數f(x)=|x|在x=0處的導數.解：f+(0)=1f(0)=-=-1由于f+(0)f-(0) ,因此函數在f(x)=|x|在x=0處的導數不存在. 注：f(x)= x |x|在x=0處的可導性怎樣？2）已知f(x)=求f-(0)和f+(0).并確定f(0)是否存在?解： f+(0)=0

7、 f(0)=-=-1 因為 f+(0)f-(0) ,所以f(0)不存在.3）設f(x)=求f-(0)及 f+(0)并判斷 f(0)是否存在解： f+(0)= =0;f(0)=1因f+(0)f-(0)，所以f(0)不存在.4）設f(x)=求f-(1)及 f+(1)并判斷 f(1)是否存在 正解：用定義求得 f+(1)=2 f-(1)=，所以f(1)不存在。 錯解： 例3抽象函數的求導 1）設存在，求 2）設為偶函數，則為奇函數. 3）設，求. 4）下式成立的是，其中在點a的領域內有定義（A）（B）（C）（D）解：1） 一定要轉化成導數定義的那個嚴格的形式 原式 原式 2）要證，因這里是抽象函數，

8、所以只能用定義 3）還是只能用定義 4）正確答案是D因原式注：若將替換成怎樣，回答是：不成立.對（A）因，即是右側趨近。對（B） 即是右側極限，在說了又還是離散的。對（C）分子上就沒有定值，不合定義的要求，請看下例考慮處 事實知是不存在的。四、 導數的幾何意義函數y=f(x) 在點x0處的導數f(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(x0, f(x0)處的切線的斜率. 于是曲線在點(x0,f(x0) 處的切線方程為:yy0=f(x0)(xx0).法線方程為: yy0=(xx0). f(x0)0例4 1）求曲線y=1/x在點(1,1)處的切線方程和法線方程.解：由于f(1)=-1/x2|x=1

9、=-1，因此 切線方程為：y-1=-1(x-1)，即x+y-2=0; 法線方程為：y-1=x-1，即x-y=0.2）證明：曲線xy=a2上任一點處的切線與兩坐標軸構成的三角形的面積為常數.證：設(X,Y)為曲線上的任一點，則有XY=a2,y(X)=-a2/X2.切線方程為；y-Y=-a2/X2(x-X)切線在坐標軸上的截距為：x=X+X2Y/a2=2X; y=Y+a2/X=2Y,所求三角形的面積為：s=xy/2=2XY=2a2.五、 函數的可導性與連續性的關系:設函數在點x處可導，則函數在x處連續。證明：設函數y=f(x)在點x處可導，則有=f(x),于是有:=f(x)+ ,其中=0 .即 y

10、=f(x)x+x. 令x0，則有y0.因此函數在點x處連續.注：但函數在點x處連續，則在點x處不一定可導，即連續是可導的必要條件。如例5 1）討論函數y=在x=0處的連續性與可導性.解：顯然函數在x=0處連續.由于=不存在,因此函數在x=0處不可導.2）討論函數y=在x=0處的連續性與可導性.解：顯然函數在x=0處連續;由于=0,因此函數在x=0處連續可導.注：例6 設函數f(x)=，試確定a和b,使函數f(x)在x=1處連續且可導.解：由連續即有f(1+)=f(1-) 得 a+b=1;f+(1)=2;f-(1)=a由可導得: f+(1)= f-(1), 即a=2; 從而b=-1.設存在，且，

11、求.作業：高等數學C類練習冊習題第一節教學后記：教學參考書：高等數學典型題精解 陳蘭祥 學苑出版社.高等數學北京大學數學科學學院編（全真課堂）學苑出版社.復習思考題：設存在，且，求.講授內容： §2-2 函數的和、積、商的求導法則教學目的與要求：1、掌握函數的和、積、商的求導法則.2、 能熟練應用函數的和、積、商的求導法則求函數的導數.教學重難點：重點函數的和、積、商的求導法則. 難點應用函數的和、積、商的求導法則求函數的導數.教學方法：講授法教學建議：講清法則的推導過程，并引導學生反復練習.教學學時：2學時教學過程：一、 函數和的求導法則定理1 如果函數及都在點處可導，則函數也在點

12、處可導且其導數為證明 根據導數的定義，我們有故在點處可導，而且 由定理1，可得下面三個推論推論1如果函數及都在點處可導，則函數也在點處可導且推論2 如果函數及都在點處可導，則函數也在點處可導且推論3如果函數在點處可導，則函數也在點處可導，且注：1、各自可導則和可導，可導與不可導之和仍不可導2、和可導時，各自不一定可導.例1 1）,求y.2）f(x)=x3+4cosxsin/2,求f(x)及f (/2).解：1）y=6x2-10x+32）f(x)=3x2-4sinxf(/2)=32/4-4.二、函數積的求導法則定理2如果函數及都在點處可導，則函數也在點處可導且證明u(x)v(x)=+=例2 1）

13、y=ex(sinx+cosx).求y.2）y=x2lnxcosx.求y解:1）y= ex(sinx+cosx)+ ex(cosx-sinx)=2excosx.2）y=2xlnxcosx+xcosx-x2lnxsinx例3設，求y（5）解方法1：方法2：三、商的求導法則定理3如果函數及都在點處可導且，則函數也在點處可導且(v0)證明從略例4 1）y=tanx,求y.解y=sec2x同樣：(cotx)=-csc2x; (secx)=secxtanx;(cscx)=-cscxcotx;2）.求y.解y=作業：高等數學C類練習冊第二節教學后記：教學參考書：高等數學典型題精解 陳蘭祥 學苑出版社.高等數

14、學北京大學數學科學學院編（全真課堂）學苑出版社.復習思考題：設求講授內容 §2-3 反函數和復合函數的求導法則教學目的與要求：1、掌握反函數和復合函數的求導法則.2、 能熟練應用反函數和復合函數的求導法則求函數的導數.教學重難點：重點復合函數的求導法則.難點應用反函數和復合函數的求導法則求函數的導數.教學方法：講授法教學建議：講清法則的推導過程，并引導學生反復應用.教學學時：2學時教學過程：一、 反函數的導數定理若函數x=f(y)在區間Iy內單調、可導且f(y)0,則其反函數y=f -1(x)在對應區間Ix=x|x=f(y),yÎIy內可導,且有: f-1(x)=或證明由于

15、x=f(y)在區間Iy內單調可導(從而連續),因此其反函數在對應區間Ix=x|x=f(y),yIy內單調且連續.任取xIx,給x增量x (x0,x+xIx)由y=f1(x)單調性可知:y=f(x+x)-f(x)0.于是:=.由于y=f -1(x)連續,從而當x0時,有y0.又f(y)0,所以:f-1(x)=.例1求y=arcsinx的導數.解y=arcsinx的直接函數為:x=siny,在區間(-/2,/2)內單調,可導,且:(siny)=cosy>0所以:y=arcsinx在對應區間(-1,1)內有:(arcsinx)=同理:(arccosx)=-.例2 求y=arctanx的導數.解

16、y=arctanx的直接函數為:x=tany,在區間(-/2,/2)內單調,可導,且:(tany)=sec2y0,所以:y=arcsinx在對應區間(-,+)內有:(arctanx)=同理:(arccotx)=-.例3 求y=log ax (a>0,a0)的導數.解y=log ax (a>0,a0)的直接函數為:x=ay,在區間(-,+)內單調,可導,且:(ay)=aylna0,所以:y=log ax在對應區間(0,+)內有:(log ax)=.基本初等函數的求導公式:1)(C)=0;2)(x)=x-1;3)(sinx)=cosx;4)(cosx)=-sinx;5)(tanx)=s

17、ecxtanx;6)(cotx)=-cscxcotx;7)(secx)=secxtanx;8)(cscx)=-cscxcotx;9)(ax)=axlna;10)(ex)=ex;11)(log ax)=12)(lnx)=;13)(arcsinx)=;14)(arccosx)=-;15)(arctanx)=;16) (arccotx)=-.二、復合函數的求導法則定理如果u=g(x)在點x可導,而y=f(u)在點u=g(x)可導,則復合函數y=fg(x)在點x處可導,且有:=f(u)·g(x)或=證明因為y=f(u)在點u處可導,所以=f(u).即有:=f(u)+ 其中=0,且u0.當u=

18、0時,規定=0 此時函數=f(u)-= (u)在u=0處連續.于是:y=f(u)u+·u從而有:=f(u)+·于是:= f(u)+·又當x0時,u0,從而:=0又u=g(x)在x處可導,因此=g(x).所以:= f(u) ·即:=f(u)g(x).注： 1）復合函數的求導關鍵在于搞清復合函數的結構，并由外向內逐層求導.2）公式可以推廣到多層復合的情形.3）記號表示對求導，即，如就表示對求導，而不是對求導.如下例：例4求下列函數的導數:a) y=lnsinx解y=(lnsinx)=cotxb) y=;解y=()=(1-2x2)=c) y=lncos(ex)

19、;解y=lncos(ex)=cos(ex)=-sin(ex)ex=-extan(ex).d) y=;解y=()=()=()=-例51）y=f(sin2x)+f(cos2x);f(x)可導.解y=f(sin2x)+f(cos2x)= f(sin2x)(sin2x)+f(cos2x)(cos2x)=2） y=arcsin;解y=()=()=3） 設，求解作業:高等數學C類練習冊第三節教學后記：教學參考書：高等數學典型題精解 陳蘭祥 學苑出版社.高等數學北京大學數學科學學院編（全真課堂）學苑出版社.復習思考題：已知，求.講授內容 §2-4 高階導數教學目的與要求：1、理解高階導數的概念.

20、2、熟練掌握二階導數的求法以及那些比較特殊的函數的高階導數的求法.教學重難點:重點初等函數二階導數的求法及那些比較特殊的函數的高階導數的求法. 難點抽象函數及分段函數求高階導數.教學方法：講授法教學建議：主要引導學生求二階導數.教學學時：2學時 教學過程： 一、 高階導數的定義定義函數的導數是的函數,稱的導數為的二階導數.記作:或.即: 或=一般地,n階導數的定義為:=y(n)=當n2時,n階導數稱為高階導數.例1 求下列函數的二階導數:1) y=ln(x+ );解y=(1+)=y=-(2x)=2) y=tanf(x);其中f(x)存在.解y=;y=3) y=f(x2)解y=2xf(x2)y=

21、2f(x2)+2x f(x2)2x=2f(x2)+4x2 f(x2). 注：求二階導數即為在一階導數的基礎上再求一次導數。例2 求下列函數的n階導數4) y=ex解 (ex)(n)=ex.5) y=sinx解y=cosx=sin(x+)y=cos(x+)=sin(x+)=sin(x+2·);y=cos(x+2·)=sin(x+3·)一般地：(sinx)(n)=sin(x+n·).同理：(cosx)(n)=cos(x+n·).6) y=ln(1+x)解y=;y=-;y=;一般地：y(n)= .即有，ln(1+x)(n)= .7) y=x (為常數

22、)解y=x-1;y=(-1)x-2;,y(n)=(-1)(-2)(-n+1)x-n.當=n時,(xn)(n)=n!;(xn)(n+1)=0.注：以上求出的ex、sinx、cosx、x的n階導數公式要記住。5）設，求解二、 函數和、差、積的高階導數公式1) (u±v)(n)=u(n)±v(n);2) 萊布尼茨(Leibniz)公式:(uv)(n)=u(n)v+nu(n-1)v+u(n-2)v+u(n-k)v(k)+uv(n)=u(n-k)v(k).例3 設y=x2sin2x,求y(50)解由于u=sin2x,v=x2,所以u(k)=(sin2x)(k)=2ksin(2x+k&

23、#183;);v=2x,v=2,v(k)=0 (k=3,4,50).從而有，(x2sin2x)(50)=250sin(2x+50·)·x2+50·249sin(2x+49·)·2x+248sin(2x+48·)·2=250-x2sin2x+50xcos2x+sin2x.例4設求解由有由萊布尼茨(Leibniz)公式，有令得：令得：令得：因此有：例5 設求解例6試從=導出:1) =-;2)= .解此題為反函數的高階導數1)=()=-;2)= (-)=-=作業:：高等數學C類練習冊第四節教學后記：教學參考書：高等數學典型題精解

24、陳蘭祥 學苑出版社.高等數學北京大學數學科學學院編（全真課堂）學苑出版社復習思考題：設，其中具有二階導數，求講授內容 §2-5 隱函數及由參數方程所確定的函數的導數教學目的與要求：1、熟練掌握隱函數的一階求導以及由參數方程所確定的函數的一階求導.2、掌握隱函數、由參數方程所確定的函數的二階求導.教學重難點：重點隱函數以及由參數方程所確定的函數的一階求導. 難點隱函數以及由參數方程所確定的函數的二階導數的求法，相關變化率.教學建議：對隱函數及由參數方程所確定的函數的導數講清思路和方法.教學方法：講授法教學學時：2學時教學過程：一、 隱函數的導數1. 隱函數的導數隱函數:如果在方程F(x

25、,y)=0中，當x取某區間內的任一值時，相應地總有滿足此方程的唯一的y值存在，則稱方程F(x,y)=0在該區間內確定了一個函數，此函數稱為隱函數.顯函數：由方程y=f(x)表示的函數稱為顯函數.特點為：左端為因變量，右端為自變量.將一個隱函數化成顯函數，稱為隱函數的顯化.關于隱函數的求導這里只給出具體的做法。下冊將再給出隱函數的一、二階求導公式.例1. 求由方程y5+2y-x-3x7=0所確定的隱函數y在x=0處的導數y(0).解要注意到，y是x的函數已是事實兩邊對x求導時一定要注意到，y是x的函數這一事實得，5y4y+2y-1-21x6=0, 令x=0得y=0.得，y(0)=1/2注：例2.

26、 求由方程ey+xy-e=0所確定的隱函數y的導數.解兩邊對x求導，得:eyy+y+xy=0, （1）所以y=-y/(x+ey). （2）將代入得再將（1）對x求導得將代入得注：也可將（2）式兩端對x求導例3. 求曲線在點(a,a)的切線方程和法線方程.解兩邊對x求導得: +y=0,y=于是:y(a)=1切線方程為：y-a=x-a,即:x-y-=0.法線方程為：y-a=-(x-a),即:x+y-a=0.例4. ，求解分析：此題既是隱函數，也是復合函數兩端對x求導：所以2. 對數求導法:例5. 求y=xsinx(x>0)的導數.思路：冪指函數的求導我們沒有現成的公式，我們只能借助于對數將冪

27、指函數轉化為乘積方可求導，這是因為對數具有降低運算級別的作用.解：兩邊取對數lny=sinxlnx.兩邊求導y=cosxlnx+,所以有 y=xsinx (cosxlnx+).一般地，冪指函數的一般形式為：y=uv (u>0,u和v是x的函數)的導數為:1） 取對數：lny=vlnu,2） 兩邊求導：y=vlnu+u3） 解出所以(uv)=uv(vlnu+u). 例6. 求y=的導數.思路：這個函數可以利用復合函數的求導法則來進行，但是過程很復雜，而取對數可以降低運算級別，因而可以用對數求導法。解當x>4時，取對數得，lny=ln(x-1)+ ln(x-2)- ln(x-3)- l

28、n(x-4).求導y=(+-)y=(+-)當x<1時，y=；當2<x<3時，y=同理可求出y的導數.例7. 1），2）解1）2）注：此例告知，解題時要充分利用對數的性質.例8. 求思路：此題首先是隱函數，同時是抽象的復合函數，且又是冪函數，為此先完成冪指函數的求導解記下將原式兩端對x求導解得，二、 由參數方程所確定的函數的導數定義：由參數方程(t為參數)確定y是x的函數.此函數關系表示的函數為由參數方程所確定的函數.設y=(t)可導，x=(t)單調連續可導，且(t)0，則有:=·=上式是參數方程(t為參數)表示的函數.當x=(t)和y=(t)二階可導時，則有:=()

29、=()·=·即=例9. 求橢圓在對應t=/4處的切線方程.解當t=/4時，對應橢圓上的點M0的坐標為x0=a,y0=b曲線在M0處的切線斜率為：|x=/4=|x=/4=-切線方程為：yb=(xa).例10. 計算由擺線的參數方程所確定的函數y=y(x)的二階導數.圖中:x=OP=弧QM-線段QM=at-asint;y=PM=a-acost解=()·=-·=-(t2n,nÎN)例11. 設，求解此題為參數方程，但參數方程中第二個方程確定了隱函數將第一個方程對t求導得，將第二個方程對t求導得，于是得：作業:：高等數學C類練習冊第五節教學后記：教學參

30、考書：高等數學典型題精解 陳蘭祥 學苑出版社.高等數學北京大學數學科學學院編（全真課堂）學苑出版社復習思考題：設求.講授內容§2-6變化率問題舉例及相關變化率教學目的與要求：了解函數的相關變化率并會用函數的相關變化率解實際問題教學重難點：重點函數的相關變化率難點.用函數的相關變化率解實際問題教學方法：講授法 教學建議：通過實例使學生會解變化率及相關變化率問題教學學時：2學時教學過程：一、 變化率問題舉例在第一節中我們已經看到，函數的導數可以解釋為關于的變化率.在這一節中，我們將通過具體的實例說明在自然科學和其它不科中經常遇到的一些變化率問題及導數在這些問題中的應用例1如果表示質點沿數

31、軸作直線運動時的位移函數，由前面可知其導數代表在時刻時的瞬時速度.現設質點的位移函數為，其中的單位分別用s和m.（1） 求速度的表達式，并分別求2(s)和4(s)時的速度；（2） 何時質點靜止不動？（3） 何時質點沿數軸正方向運動？（4） 求出前5(s)質點經過的路程. 解 （1）速度函數是位移函數的導數.由于，所以速度從而2(s)、4(s)時的速度分別為(m/s)(m/s) （2）質點靜止不動也就是，即于是得(s)和(s)時，質點靜止不動.（3）當時，質點沿數軸正方向運動.由得到對應的時間區間為以及(4)質點從(s)到(s)經過的路程(m)從(s)到(s)經過的路程(m)從(s)到(s)經過

32、的路程(m)所以質點在前5(s)經經過的總路程為28(m)二、相關變化率設函數和為可導函數,而變量x和y之間存在某種關系，從而變化率和間存在關系，這兩個相互依賴的變化率稱為相關變化率.相關變化率的求法：1） 求出變量x和y的關系，而此關系式中的x,y均是另一個變量t的函數2） 對t求導得到變化率和之間的關系3） 求出未知的相關變化率例2水入深8m上頂直徑8m的正圓錐形容器中，其速率為4m3/min. 當水深為5m時，其表面上升的速率為多少?解 設在時刻t時容器中水深為h(t)，水面半徑為r，水的容積為V(t)，則由r/4=h/8得r=h/2. 從而：V(t)=r2·h=h3;V(t)

33、=h(t).代入V(t)=4，h=5，則得：h(t)=(m/min).作業：高等數學C類練習冊第六節教學后記：教學參考書：高等數學典型題精解 陳蘭祥 學苑出版社.高等數學北京大學數學科學學院編（全真課堂）學苑出版社復習思考題：溶液自深為18cm、直徑為12cm的正圓錐形漏斗中漏入一直徑為10cm的圓柱形筒中，開始時漏斗中盛滿了溶液.已知當溶液在漏斗中深為12cm時，其表面下降的速率為1cm/min.問此時圓柱形筒中溶液表面上升的速率為多少？講授內容§2-7函數的微分教學目的與要求：1、理解微分的定義. 2、了解微分的幾何意義. 3、掌握函數可微的充要條件. 4、熟練掌握基本初等函數的

34、微分公式、函數的微分法則、微分的形式不變性，會熟練利用這些知識求函數的微分。教學重難點：重點微分的定義，函數可微的條件，函數的微分法則，微分的形式不變性. 難點微分的定義，微分的幾何意義，微分的形式不變性.教學方法：講授法教學建議：通過實例幫助學生理解微分的定義.教學學時：2學時教學過程：一、 微分的定義1. 引例一塊正方形金屬薄片受溫度的影響,其邊長由x0變到x0+x,問此薄片的面積改變了多少?解：設邊長為x，面積為S(x)，則有S(x)=x2，邊長由x0變到x0+x，薄片面積的改變量為：S=(x0+x)2-x02=2x0x+(x)2.當x0時，(x)2是x的高階無窮小.即有：(x)2=o(

35、x).注：此例告知：函數的增量由兩部分構成.主要項：x的一次項，剩下是x的高階無窮小，即S=Ax+ o(x).問：是否其它函數也是這樣呢？什么樣的函數才會這樣呢？2. 微分的定義:定義：設函數y=f(x)在某區間內有定義，x0及x0+x在這區間內，如果函數的增量y=f(x0+x)-f(x0)可表示為:y=Ax+o(x),其中A是不依賴于x的常數，而o(x)是比x高階的無窮小，那么稱函數y=f(x)在點x0是可微的，而Ax叫做函數y=f(x)在點x0相應于自變量增量x的微分，記作dy，即dy=Ax.當函數y=f(x)在開區間I內每一點都可微時，稱函數是區間I內的可微函數.3. 可微的充分必要條件

36、定理：函數y=f(x)在點x0處可微Û函數y=f(x)在點x0處可導.證明：設函數y=f(x)在x0處可微,則由定義有:y=f(x0+x)-f(x0)=A·x+o(x),于是:= =A+令x0,則有:A=f(x0).反之,若函數y=f(x)在點x0處可導,則有=f(x0).從而: =f(x0)+,其中=0.于是:y=f(x0)x+x.由于x=o(x),f(x0)是不依賴x的常數,從而函數在點x0處可微.注：1) 當函數y=f(x)在點x0處可微時,有dy=f(x0)x.2) 當f(x0)0時,因為:=1.因此當x0時,ydy,從而有:y=dy+o(dy).稱dy是y的主部.

37、當f(x0)0時,由于dy=f(x0)x是x的線性函數,故稱dy是y的線性主部.由于=0,所以=0.稱為以dy代替y時的相對誤差.顯然,當|x|很小時,有dyy.3) 函數y=f(x)在任意點的微分稱為函數的微分.記作dy或df(x).即:dy=df(x)=f(x)x.通常將自變量的增量x稱為自變量的微分,記作dx,即:dx=x.于是: dy=df(x)=f(x)dx 從而:=f(x).即導數是微商.例1. 求函數y=x2在x=1和x=3處的微分.解y=x2在x=1處的微分:dy=(x2)|x=1x=2x;y=x2在x=3處的微分:dy=(x2)|x=3x=6x;例2. 求函數y=x3當x=2

38、,x=0.02時的微分.解：函數y=x3在任意點的微分為:dy=(x3)x=3x2x.當x=2,x=0.02時的微分為:dy=3·22·0.02=0.24.二、 微分的幾何意義微分的幾何意義是：當y是曲線y=f(x)上的點的縱坐標的增量時,dy是曲線上的切線上點的縱坐標的相應增量.即當|x|很小時,|y-dy|比|x|小得多.從而在點M的附近,可以用切線段MP來近似代替曲線段MN三、 基本初等函數的微分公式與微分運算法則.1. 基本初等函數的微分公式:1)dC=0;2)dx=x-1dx;3)dsinx=cosx dx;4)dcosx=-sinx dx;5)dtanx=sec

39、xtanx dx;6)dcotx=-cscxcotx dx;7)dsecx=secxtanx dx;8)dcscx=-cscxcotx dx;9)dax=axlna dx;10)dex=ex dx;11)dlog ax=dx12)dlnx=dx;13)darcsinx=dx;14)darccosx=-dx;15)darctanx=dx;16) darccotx=-dx.2. 函數和差積商的微分1）d(u±v)=du±dv2)d(Cu)=Cdu3)d(uv)=vdu+udv4)d(v0)3. 復合函數的求導法則:(一階微分的形式不變性)設y=f(u)和u=(x)可導,則復合函

40、數y=f(x)的微分為: dy=yxdx=f(u)(x)dx.由于(x)dx=du,所以復合函數的微分公式也寫成:dy=f(u)du或dy=yudu此性質稱為微分形式不變性.例3. 求下列函數的微分1) y=sin(2x+1);解：dy=2cos(2x+1)dx2) y=e1-3xcosx2;解：dy=d( e1-3x)cosx2+ e1-3xd(cosx2)= -e1-3x (3cosx2+2xsinx2)dx.3) y=ln(1-x)2;解：dy=2ln(1-x)dln(1-x)= -2ln(1-x)dx4）已知，求解：兩邊求微分：得，5）設，確定函數，求解：兩邊求微分：由得，代入得：例4

41、. 填空：1）2) 3) 作業: 高等數學C類練習冊第七節教學后記：教學參考書：高等數學典型題精解 陳蘭祥 學苑出版社.高等數學北京大學數學科學學院編（全真課堂）學苑出版社.復習思考題：已知，求講授內容§2-8微分的應用教學目的與要求：了解微分在近似計算中的應用教學重難點：重點利用微分進行近似計算的原理. 難點利用微分進行近似計算.教學方法：講授法教學建議：講清利用微分進行近似計算的原理. 教學學時：2學時教學過程：如果y=f(x)在點x0處的導數f(x0)0且|x|很小時,有:ydy=f(x0)x.即y=f(x0+x)-f(x0)dy=f(x0)x.或f(x0+x)f(x0)+f(x0)x令x0+x=x，則f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)特別當x0=0時,有: f(x)f(0)+f(0)x當|x|很小時，有常用近似計算公式：1) 1+x;2) sinxx;3) tanxx;4) ex1+x;5) ln(1+x)x.例5. 計算:sin30°30解：設f(x)=sinx,則f(x)=cosx.取x0=/6,則sin30°30=sin(/6+/360)sin(/6)+cos(/6)(/360)0.5076.例6. 計