1、等腰直角三角形中的常用模型一【知識精析】1、等腰直角三角形的特征：邊、角方面的特征：兩直角邊相等，兩銳角相等（都是45º）邊之間的關系：已知任意一邊長，可得到其它兩邊長。2、等腰直角三角形與全等三角形：以等腰直角三角形為背景的幾何問題中，常常包含全等三角形，發現并證明其中的全等三角形往往是解題的關鍵突破口。熟悉以下基本模型，對解決等腰直角三角形問題很有好處。模型一：一條直線（不與三角形的邊重合）過等腰直角三角形的直角頂點（1）以原等腰直角三角形的兩直角邊為對應斜邊，必定可以構造一對全等的直角三角形：例1如圖：RtABC中，BAC=90º，AB=AC，點D是BC上任意一點，過

2、B作BEAD于點E，過C作CFAD于點F。（1）求證：BE-CF=EF；（2）若D在BC的延長線上（如圖（2），（1）中的結論還成立嗎？若不成立，請寫出新的結論并證明。如圖1，等腰RtABC中，AB=CB，ABC=90º，點P在線段BC上（不與B、C重合），以AP為腰長作等腰直角PAQ，QEAB于，連CQ交AB于M。（1）求證：M為BE的中點（2）若PC=2PB，求的值（2）以原等腰直角三角形的兩直角邊為對應直角邊，必定可以構造一對全等的直角三角形：3、如圖：RtABC中，BAC=90º，AB=AC，點D是BC上任意一點，過B作BEAD于點E，交AC于點G，過C作CFAC交

3、AD的延長線與于點F。（1）求證：BG=AF；（2）若D在BC的延長線上（如圖（2），（1）中的結論還成立嗎？若不成立，請寫出新的結論并證明。變式1：如圖，在RABC中，ACB=45º，BAC=90º，AB=AC，點D是AB的中點，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延長線于E，求證：BC垂直且平分DE. 變式2：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90°，點D是AC的中點，AFBD于點E，交BC于點F，連接DF，求證：1=2。變式3：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90°，點D、E是AC上兩點且AD=CE，AFBD于點G，交BC于點F連接DF，

4、求證：1=2。模型二：等腰直角三角形與另一個直角三角形共斜邊等腰直角三角形與另一個直角三角形有公共斜邊，一定可以以兩腰為對應邊構造全等三角形例1：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90°，E是AC上一點，過C作CDBE于D，連接AD，求證：ADB45°。 變式1：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90°，E是AC上一點，點D為BE延長線上一點，且ADC135°求證：BDDC。變式2：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90°，BE平分ABC交AC于E，過C作CDBE于D，DMAB交BA的延長線于點M，（1）求的值；（2）求的值。模型三：兩個

5、等腰直角三角形共一個頂點（1）兩個等腰直角三角形共直角頂點，必定含一對全等三角形：例1、如圖1，ABC、BEF都是等腰直角三角形，ABC=BEF=90º，連接AF、CF，M是AF的中點，連ME，將BEF繞點B旋轉。猜想CF與EM的數量關系并證明；（2）兩個等腰直角三角形共銳角頂點且直角開口方向相同，必定含一對相似三角形：（3）兩個等腰直角三角形共銳角頂點且直角開口方向相反，必定可利用平移構造含一對全等三角形：如圖，ABC和EBD都是等腰直角三角形，BAC=BED=90º。把DE平移到CF，使E與C重合，連接AE、AF，則AEB與AFC全等（關鍵是利用平行證明ABE=ACF）

6、例.如圖：兩個直角三角形ABC、ADE的頂點A重合，P是線段BD的中點，連PC、PE。（1）如圖1，若BAC=DAE=45°，當A、C、D在同一直線上時，線段PC、PE的關系是 ；（2）如圖2、3，將BAC繞A旋轉度，（1）中的結論是否仍然成立？任意選擇一個證明你的結論。三【鞏固練習】AFBDEC1如圖，在中，,、為上兩點，為外一點，且,則下列結論：;,其中正確的是A、B、C、 D、2已知：RtABC中，AB=AC，BAC=90°，若O是BC的中點，以O為頂點作MON，交AB、AC于點M、N。（1）若MON=90°（如圖1），求證：OM=ON；BM2+CN2=MN

7、2；（2）若MON=45°（如圖2），求證：AM+MN=CN；3、如圖，在平面直角坐標系中，AOB為等腰直角三角形，A（4，4）。（1） 若C為x軸正半軸上一動點，以AC為直角邊作等腰直角ACD，ACD=90°，連OD，求AOD的度數；（2） 過A作y軸的垂線交y軸于E，F為x軸負半軸上一點，G在EF的延長線上，以EG為直角邊作等腰RtEGH，過A作x軸垂線交EH于點M，連FM，等式是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由。4.在ABC和DCE中，AB=AC，DC=DE,BAC=EDC=90°，點E在AB上，連AD，DFAC于點F。試探索AE、AF、AC的數量

8、關系；并求出DAC的度數。5如圖：等腰RtABC和等腰RtEDB，AC=BC，DE=BD，ACBEDB90°，E為AB是一點，P為AE的中點。連接PC，PD；則PC，PD的位置關系是 ；數量關系是 ；并證明你的結論。當E在線段AB上變化時，其它條件不變，作EFBC于F，連接PF，試判斷PCF的形狀；在點E運動過程中，PCF是否可為等邊三角形？若可以，試求ACB與EDB的兩直角邊之比。6（2013年湖南常德10分）已知兩個共一個頂點的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME（1）如圖1，當CB與CE在同一直線上時，求證：MBCF；（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；（3）如圖2，當BCE=45°時，求證：BM=ME7、如圖，在平面直角坐標系中，A (4，0)，B (0，4)。點N為OA上一點，OMBN于M，且ONB=45°+MON。（1） 求證：BN平分OBA；（2） 求的值；（3） 若點P為第四象限內一動點，且APO=135°，問AP與B