1、等離子體的動(dòng)力論和流體描述 等離子體既然是與電磁場(chǎng)做相互作用，首先看電磁場(chǎng)對(duì)等離子體的影響。我們對(duì)帶電粒子的單粒子運(yùn)動(dòng)的理論已經(jīng)有了一些認(rèn)識(shí)，但對(duì)于等離子體是如何影響電磁場(chǎng)的，還需要有所了解。從Maxwell方程組可以看到，主要是電荷分布和電流分布（以及邊界條件）決定了電磁場(chǎng)。而電荷分布與等離子體各個(gè)帶電成分的密度分布有關(guān)。如果沒(méi)有新的復(fù)合和電離過(guò)程，密度分布滿足連續(xù)性方程。對(duì)流體進(jìn)行描述，考察各個(gè)物理量隨著時(shí)間的變化，常用的是歐拉法，即考察固定的地點(diǎn)上物理量隨時(shí)間的變化，另外一種方法是拉格朗日法，是考察固定的物質(zhì)上的物理量隨時(shí)間的變化。因?yàn)槲镔|(zhì)是移動(dòng)的，因此不但隨時(shí)間變化，也隨空間變化。我們

2、分別就這兩種方法，考察等離子體的連續(xù)性方程。連續(xù)性方程 假設(shè)等離子體沒(méi)有產(chǎn)生（電離）、沒(méi)有消失（復(fù)合），一塊等離子體的數(shù)量會(huì)保持不變。這里是隨體微分，即拉格朗日法描述流體。為了了解體積元的變化，先看看流體中一段長(zhǎng)度元的變化。經(jīng)過(guò)時(shí)間之后，新的位置為r1即，應(yīng)用這個(gè)結(jié)果，考察一個(gè)小體積元，因而，取x分量，因此， 電流分布不但與等離子體各個(gè)帶電成分的密度分布有關(guān)，而且與它們的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)。動(dòng)力論的描述使用分布函數(shù)f(t, x, v)，不但包含密度信息，也包含了帶電粒子的速度信息。這是在相空間中的密度分布，類似于普通的密度分布，不過(guò)空間變?yōu)?維。為了便于想象，我們考慮一維的運(yùn)動(dòng)，這樣，分布函數(shù)的相空

3、間就是2維的（x，v），可以直觀的畫(huà)出。 分布函數(shù)描述等離子體的狀態(tài)，其中分別看作獨(dú)立的變量。 從分布函數(shù)可以求出密度分布，即將所考察區(qū)域內(nèi)的所有速度的粒子統(tǒng)計(jì)得到。其他宏觀物理量也可以用類似方法求得。 一般來(lái)說(shuō)，宏觀物理量可以通過(guò)計(jì)算速度的加權(quán)平均獲得：最常見(jiàn)的分布是Maxwllian分布：動(dòng)力論方程 相空間的連續(xù)性方程是動(dòng)力論方程。如果等離子體中的帶電粒子沒(méi)有新生或者復(fù)合，其數(shù)量在相空間中守恒，即得關(guān)于分布函數(shù)f在6維相空間中的守恒型方程： 結(jié)合具體的等離子體粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，有實(shí)際的關(guān)系 考慮到分別看作獨(dú)立的變量，且上式的加速度中，雖然含有速度，但仍有，因此方程化為其中方程右端代表碰撞引起

4、的等離子體分布函數(shù)的變化。由于碰撞是帶電粒子相互靠近時(shí)發(fā)生的，上式左邊的電磁場(chǎng)如果使用較大尺度的平均的量，就要將代表等離子體粒子附近的電磁場(chǎng)引起的碰撞效應(yīng)歸結(jié)到方程右端的碰撞項(xiàng)中。矩方程由動(dòng)力論方程，可以推導(dǎo)宏觀物理量所滿足的方程。設(shè)僅是速度的函數(shù)，對(duì)方程做積分，得其中用到在無(wú)窮遠(yuǎn)處分布函數(shù)為0的假設(shè)。（1）取，得連續(xù)性方程因?yàn)榕鲎睬昂箅m然速度改變，但位置不變，因此全速度空間積分之后，碰撞項(xiàng)的積分貢獻(xiàn)為0。（2）取，得種類為的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程：這里，是流體速度，是壓力張量，是碰撞頻率，是約化質(zhì)量，計(jì)算碰撞項(xiàng)的積分時(shí)，考慮每次碰撞引起的動(dòng)量變化相當(dāng)于質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，速度（va-vb）方向（q）

5、轉(zhuǎn)變了90，但由于碰撞轉(zhuǎn)向的經(jīng)度角（j）是隨機(jī)的，大量事例統(tǒng)計(jì)平均之后平均速度為0，得到式中的動(dòng)量變化。上式可以簡(jiǎn)化為（3）取，為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，忽略碰撞項(xiàng)，得到壓力滿足的方程為（這里 c = v - u，在絕熱近似下可以忽略熱運(yùn)動(dòng)3次項(xiàng)的平均）對(duì)于i = j情況并對(duì)三維進(jìn)行求和，可得能量方程（其中磁場(chǎng)效應(yīng)為0：），化簡(jiǎn)之后的形式為回過(guò)來(lái)考慮一般情況下的壓力變化，則利用受力方程簡(jiǎn)化消去，可得 一般不考慮磁場(chǎng)對(duì)垂直方向壓力項(xiàng)的均勻化作用影響，可忽略上式左邊最后一項(xiàng)。特殊情況下，不考慮磁場(chǎng)的影響（磁場(chǎng)作用是使垂直方向上壓力均勻化），壓力張量的交叉項(xiàng)取為0，則對(duì)角項(xiàng)或 在各向同性的D維情況下，則因而 在

6、考慮3維情況，有平行方向壓力和兩個(gè)相同的垂直方向壓力，這時(shí)加上垂直方向有（磁矩是絕熱不變量）構(gòu)成雙絕熱方程。結(jié)合這兩個(gè)方程，可以單獨(dú)求出關(guān)于平行方向壓力的方程為這個(gè)方程可以從凍結(jié)方程取平行分量，即，帶入也可得上式。單一成分的帶電粒子流體的方程組（包括雙流體模型） 連續(xù)性方程 受力方程或等價(jià)地寫(xiě)為守恒型的動(dòng)量方程為 能量方程在絕熱情況下，用絕熱方程（其中D是維數(shù)）在有磁場(chǎng)且平行和垂直方向上壓力不同的時(shí)候，用雙絕熱方程，磁流體力學(xué)方程組將等離子體中的各個(gè)成分寫(xiě)出的流體方程相加，得到對(duì)等離子體整體描述的磁流體力學(xué)方程組。連續(xù)性方程受力方程（其中用了準(zhǔn)中性條件）這里我們假設(shè)各成分的速度都一樣，且碰撞的

7、動(dòng)量交換都相互消去。能量方程其中e是單位體積中的熱能。簡(jiǎn)化的情況下或可用絕熱方程代替此能量方程。電場(chǎng)、磁場(chǎng)、電流等還要Maxwell方程組，由于我們處理的空間等離子體常是處于緩變的環(huán)境，位移電流可以忽略。另外，我們常使用準(zhǔn)中性假設(shè)，這時(shí)，凈電荷rq=0。計(jì)算電場(chǎng)時(shí)，需要用廣義歐姆定律代替泊松方程：這里h是電阻率，通常是很小的量，可以忽略。由此我們得到最簡(jiǎn)化情況下的等離子體磁流體運(yùn)動(dòng)方程組：這個(gè)方程組是封閉的，方程的個(gè)數(shù)與變量的個(gè)數(shù)一樣。加上初始條件和邊界條件即可求解。壓力張量我們定義了壓力張量為其中u是宏觀平均速度，v是相空間速度變量，在速度空間作平均得到壓力張量。對(duì)于普通的Maxwellia

8、n分布，P = pI= nTII是單位張量。若平行和垂直方向的溫度不同，b是磁場(chǎng)方向的單位向量。對(duì)于流體力學(xué)中有粘滯情況，壓力張量的非對(duì)角項(xiàng)不為0，相關(guān)的理論給出：h為粘滯系數(shù)，h為體積粘滯系數(shù)，是與流體可壓縮性有關(guān)。非對(duì)角項(xiàng)Pij代表了一個(gè)小體積元的第i軸的橫截面上所受到的第j方向上的壓強(qiáng)。如（Pxx，Pyx，Pzx）構(gòu)成了在小體積元上的yz面（x軸的橫截面）上所受到的壓力。事實(shí)上，設(shè)想如果在流體中有一個(gè)小體積元的物體存在，在經(jīng)過(guò)t時(shí)刻之后，撞擊到y(tǒng)z面的、相對(duì)速度為v-u的粒子的個(gè)數(shù)有(vx-ux)tyzfdvx，相對(duì)的動(dòng)量為 m(v-u)，如果設(shè)想這些動(dòng)量都會(huì)因撞擊小體積元而消失，則會(huì)在

9、yz面上產(chǎn)生力。單位面積上產(chǎn)生的力為是我們定義的壓力張量。廣義歐姆定律如果對(duì)等離子體進(jìn)行磁流體的描述，就要假設(shè)等離子體是電中性的。但是，對(duì)于電中性的等離子體，凈電荷為0，就無(wú)法使用泊松方程求解電場(chǎng)，這時(shí)我們需要用廣義歐姆定律來(lái)替代。廣義歐姆定律來(lái)自電子的運(yùn)動(dòng)方程： 由于有電中性假設(shè)，ne=ni=n，而ui是所有離子的速度加權(quán)平均：因?yàn)殡x子占整個(gè)等離子體質(zhì)量的絕大多數(shù)，因而這個(gè)速度通常被看作是等離子體的整體速度，而電子的速度卻是間接得到的：由此，可從電子的運(yùn)動(dòng)方程中解出電場(chǎng)：其中，是電阻率。電場(chǎng)表達(dá)式的右邊各項(xiàng)分別是：流動(dòng)項(xiàng)（對(duì)應(yīng)磁場(chǎng)的凍結(jié)項(xiàng)）電阻項(xiàng)（對(duì)應(yīng)磁場(chǎng)的擴(kuò)散項(xiàng)）電子壓力梯度項(xiàng)霍爾（Hal

10、l）效應(yīng)項(xiàng)電子慣性項(xiàng)從量值上分析，流動(dòng)項(xiàng)其實(shí)對(duì)應(yīng)了坐標(biāo)變換感應(yīng)的電場(chǎng)，如果以等離子體的運(yùn)動(dòng)速度為新坐標(biāo)系的速度，在新坐標(biāo)系中就沒(méi)有這個(gè)電場(chǎng)的存在?；魻栃?yīng)項(xiàng)與電流有關(guān)，在電子與離子的速度差不大的情況下作用有限。除了這兩項(xiàng)之外，其余三項(xiàng)（電阻項(xiàng)，電子熱壓力梯度項(xiàng)，電子慣性項(xiàng)）的量值從微觀上看均與me成正比，都應(yīng)該較小。從廣義歐姆定律看，這三項(xiàng)也提供了電場(chǎng)的平行分量，但通常，電場(chǎng)是垂直于磁場(chǎng)的，因而他們也不可能很大，提供的平行電場(chǎng)也很小。磁場(chǎng)的凍結(jié)：在只有磁場(chǎng)存在時(shí)，帶電粒子圍繞磁力線做回旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，并不離開(kāi)。一般來(lái)說(shuō)，帶電粒子直接很難橫跨磁力線運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明等離子體是和磁場(chǎng)凍結(jié)于一體的。同時(shí)存在垂直方

11、向的電場(chǎng)時(shí)，帶電粒子的回旋引導(dǎo)中心產(chǎn)生了一個(gè)與帶電粒子種類無(wú)關(guān)的速度漂移vD。如果我們用這個(gè)漂移速度建立新的坐標(biāo)系，在新坐標(biāo)系中電場(chǎng)就變?yōu)镋 = E + vDxB = 0，因此這個(gè)漂移速度可以看作是等離子體攜帶磁場(chǎng)整體運(yùn)動(dòng)的速度。這同樣說(shuō)明等離子體是和磁場(chǎng)凍結(jié)在一起的。反過(guò)來(lái)看，這個(gè)電場(chǎng)E = -vDxB 也可看作是廣義歐姆定律中的流動(dòng)項(xiàng)，在計(jì)算磁場(chǎng)變化的磁感應(yīng)方程中對(duì)應(yīng)了磁場(chǎng)的凍結(jié)效應(yīng)。只考慮流動(dòng)項(xiàng)的磁感應(yīng)方程為：從下面的推算過(guò)程，我們可以看到這個(gè)方程顯示了磁場(chǎng)的凍結(jié)效應(yīng)：化為利用連續(xù)性方程代換成這與流體中的線段元所滿足的方程在形式上是一樣的，這表示初始時(shí)平行于磁場(chǎng)的等離子體線段元在以后的運(yùn)

12、動(dòng)中，也始終平行于磁場(chǎng)，即磁場(chǎng)凍結(jié)在等離子體中。另外，可以從磁通不變的角度看，S是小體積元的橫截面，L是沿著磁場(chǎng)的長(zhǎng)度，m是體積元中等離子體的質(zhì)量（為常數(shù)），F(xiàn)是磁通。只有磁通為常數(shù)時(shí)，B/r的行為才與線段元L的行為一致。磁通的守恒可以直接驗(yàn)證：uABCBdl由于磁通A是反向面計(jì)算的，因此它實(shí)際上與新的磁通B相同。這也驗(yàn)證了磁通的凍結(jié)效應(yīng)。磁場(chǎng)的擴(kuò)散如果電場(chǎng)的表達(dá)式中只有電阻項(xiàng)，同時(shí)則有此感應(yīng)方程中只有擴(kuò)散項(xiàng)這是拋物線型偏微分方程。簡(jiǎn)單的1維形式為假設(shè)初始時(shí)，磁場(chǎng)只在x=0點(diǎn)存在，但磁通量是1。初始條件可以描述為方程經(jīng)Fourior變換可解出而初始條件的Fourior變換為應(yīng)用這個(gè)初始條件，可

13、以通過(guò)反Fourior變換的方法，求出其磁通量保持常數(shù)：而磁場(chǎng)分布的寬度隨時(shí)間的1/2次方增加。這說(shuō)明擴(kuò)散項(xiàng)導(dǎo)致磁場(chǎng)從一個(gè)點(diǎn)逐漸擴(kuò)散，破壞了磁場(chǎng)的凍結(jié)。綜合說(shuō)來(lái)，磁場(chǎng)的凍結(jié)效應(yīng)是占主要的，而由于有限的小電阻存在，磁場(chǎng)并不能理想地一直保持與等離子體凍結(jié)在一起。磁場(chǎng)會(huì)逐漸擴(kuò)散開(kāi)來(lái)。磁場(chǎng)的凍結(jié)和擴(kuò)散效應(yīng)之比是一個(gè)無(wú)量綱的數(shù)值，稱為磁雷諾數(shù)。這個(gè)數(shù)和電阻成反比，在空間等離子體中通常是很大的數(shù)值。因此，空間物理中經(jīng)常只考慮凍結(jié)項(xiàng)，而忽略擴(kuò)散項(xiàng)。磁流體的洛倫茲力考察磁流體所受到的電磁力。由于采用了電中性假設(shè)，與電場(chǎng)作用的凈電荷為0，因而只有磁場(chǎng)與電流的作用力：而電流也能用磁場(chǎng)表述。進(jìn)一步，可得這里我們運(yùn)用

14、了矢量運(yùn)算式并取p = q = B來(lái)替換。這樣，式中我們看到，磁場(chǎng)能形成一個(gè)與普通熱壓力張量起相同作用的磁壓力項(xiàng)：磁場(chǎng)引起的等離子體受力的另外一項(xiàng)可化為兩項(xiàng)： 其中k是曲率。右邊第一項(xiàng)可看作是沿著磁力線方向的磁張力所造成的。由于磁張力欲使磁力線被拉平直，形成了垂直于磁力線的、沿磁力線的曲率方向的合力，其大小與磁場(chǎng)力和曲率成正比。第二項(xiàng)是抵消平行方向上的磁壓力梯度力的。因?yàn)榭偟目磥?lái)，磁場(chǎng)力為jxB，其中并沒(méi)有平行磁場(chǎng)的分量，這部分的力必須抵消為0。經(jīng)過(guò)以上的變換，磁場(chǎng)對(duì)等離子體的作用力等效為磁壓力的梯度力的垂直分量，以及磁張力對(duì)彎曲磁力線的回復(fù)力。 曲率可以由曲率半徑表示。這樣，磁場(chǎng)彎曲所引起的回復(fù)力可寫(xiě)為，這里是曲率半徑。RbbbbjB等離子體的平衡 由得知，平衡時(shí)，電流和磁場(chǎng)都在