1、03_09_晶格振動模式密度 晶格振動與晶體的熱學性質03_09 晶格振動模式密度晶格振動模式密度晶體中同時可以存在不同頻率的簡諧振動晶體中同時可以存在不同頻率的簡諧振動 不同頻率的振動模對應不同的能量不同頻率的振動模對應不同的能量給定晶體給定晶體 總的振動模數目是一定的總的振動模數目是一定的按振動頻率分布按振動頻率分布 用用晶格振動模式密度來描述晶格振動模式密度來描述振動模式密度振動模式密度 研究晶體熱容、電學和光學性質研究晶體熱容、電學和光學性質晶格振動模式密度晶格振動模式密度0( )limng 01/12 單位頻率間隔單位頻率間隔 振動模式數目振動模式數目03_09_晶格振動模式密度 晶

2、格振動與晶體的熱學性質q空間空間 振動模是均勻分布的，狀態密度振動模是均勻分布的，狀態密度3(2 )V3(2 )Vndsdq 兩個等頻率面兩個等頻率面 和和 之間的振動模式數目之間的振動模式數目 頻率是頻率是q的連續函數的連續函數( )qq dq ( )qConstant根據根據做出一個等頻率面做出一個等頻率面03_09_晶格振動模式密度 晶格振動與晶體的熱學性質( )qdqq3(2 )( )qVndsq 3(2 )( )qVdsq3(2 )Vndsdq 3( )(2 )( )qVdsgq之間振動模式數目之間振動模式數目 0( )limng 03_09_晶格振動模式密度 晶格振動與晶體的熱學性

3、質簡單幾種情況下振動模式密度的表示簡單幾種情況下振動模式密度的表示 一維無限長單原子鏈一維無限長單原子鏈LNa 最大頻率最大頻率sin2maq4mm3( )(2 )( )qVdsgq4sin2aqm振動模式密度振動模式密度1( )2( )qLgq一維情況下一維情況下03_09_晶格振動模式密度 晶格振動與晶體的熱學性質考慮到一個頻率可以有考慮到一個頻率可以有 兩個值兩個值q1( )22( )qLgq( )cos22mqaaqq222ma2221( )mNg振動模式密度振動模式密度sin2maq05/1203_09_晶格振動模式密度 晶格振動與晶體的熱學性質 也可以直接由也可以直接由q空間的狀態

4、密度來計算空間的狀態密度來計算2L22Ldndq22L dqdndd( )L dqgd2221( )mNg狀態密度狀態密度sin2maq振動模式密度振動模式密度03_09_晶格振動模式密度 晶格振動與晶體的熱學性質 德拜近似下的振動模式密度德拜近似下的振動模式密度 振動頻率與波矢成正比振動頻率與波矢成正比cq( )qqc3( )(2 )( )qVdsgq231( )4(2 )Vgcc223( )2Vgc31(2 )Vdsc234(2 )Vqc03_09_晶格振動模式密度 晶格振動與晶體的熱學性質 色散關系色散關系 2cq24sq( )2qqcq3( )(2 )( )qVdsgq3(2 )2Vd

5、scq234( )(2 )2Vqgcq/qc23/2(2 )Vcq空間的等頻率面是一個球面，球面面積空間的等頻率面是一個球面，球面面積振動模式密度振動模式密度 三維情形三維情形03_09_晶格振動模式密度 晶格振動與晶體的熱學性質 二維情況，等頻率是一個圓二維情況，等頻率是一個圓2, 42dsdlqq2( )(2 )( )qSdlgq22( )(2 ) 2Sqgcq( )4Sgc振動模式密度振動模式密度( )2qqcq 色散關系色散關系 2cq2dlq03_09_晶格振動模式密度 晶格振動與晶體的熱學性質1( )22( )qLgq1( )2Lgcq( )2Lgc3( )(2 )( )qVdsgq振動模式密度振動模式密度 一維情況，等頻率是一維情況，等頻率是 色散關系色散關系 2cqq( )2qqcq10/1203_09_晶格振動模式密度 晶格振動與晶體的熱學性質如果色散關系如果色散關系2cq1/2( ) g0( ) g1/2( ) g三維情況振動模式密度三維情況振動模式密度二維情況振動模式密度二維情況振動模式密度一維情況振動模式密度一維情況振動模式密度3( )(2 )( )qVdsgq03_09_晶格振動模式密度 晶格振動與晶體的熱學性質在在 的一些點的一些點( )0qq( )cos()22mqaaqFor exampleqqa 奇點奇點范霍夫奇點范霍夫奇點 晶體中一