1、3.2 簡正振動聲子簡正振動聲子上面討論的方法對于進一步的理論分析并不適用，如固上面討論的方法對于進一步的理論分析并不適用，如固體比熱問題，晶格散射問題。本節采用分析力學的方法處體比熱問題，晶格散射問題。本節采用分析力學的方法處理晶格振動問題。理晶格振動問題。基本方法：寫出晶格的動能和勢能，利用正則方程建立基本方法：寫出晶格的動能和勢能，利用正則方程建立一組新的方程。一組新的方程。特點：可以直接過渡到量子理論。特點：可以直接過渡到量子理論。如果晶體包含如果晶體包含N個原子，平衡位置分別為個原子，平衡位置分別為Rn，偏離，偏離平衡位置的位移為平衡位置的位移為，把位移矢量用分量表示，把位移矢量用分

2、量表示，N個個原子的位移矢量共有原子的位移矢量共有3N個分量，個分量，jNjiijiNiiiVVVV31,023100)(21)(NiiimT31221)3 , 2 , 1(Nii晶體的動能為晶體的動能為晶體的勢能為晶體的勢能為V0是平衡時的勢能，即晶體的結合能，第二項為零，略去高階項是平衡時的勢能，即晶體的結合能，第二項為零，略去高階項jNjiijiVV31,02)(21NQQQ321,體系的勢能函數只保留到體系的勢能函數只保留到的二次方項，稱為簡諧近似，的二次方項，稱為簡諧近似，但在一些問題中，需要考慮高階項的作用，稱為非諧作用。但在一些問題中，需要考慮高階項的作用，稱為非諧作用。上面給出

3、的上面給出的V 含有含有的交叉項，引入簡正坐標的交叉項，引入簡正坐標NjjijiiQam31變換關系為變換關系為iiiNjiiNjiQQLPVTLQVQT31223122121引入簡正坐標的目的是使系統的勢能函數和動能函數都引入簡正坐標的目的是使系統的勢能函數和動能函數都具有簡單的形式，即化為平方項之和，而無交叉項。具有簡單的形式，即化為平方項之和，而無交叉項。拉格朗日函數為拉格朗日函數為定義正則動量為定義正則動量為NiQQQHPQPHiiiiiNjiii3 , 2 , 10)(21231222 寫出哈密頓量寫出哈密頓量應用正則方程應用正則方程得：得：是是3N個彼此獨立的方程，表明簡正坐標描述

4、獨個彼此獨立的方程，表明簡正坐標描述獨立的簡諧振動。立的簡諧振動。每一個簡正坐標的解為每一個簡正坐標的解為)sin(tAQii表明：每個原子都參與所有簡正坐標的振動。表明：每個原子都參與所有簡正坐標的振動。如果只考察某一個如果只考察某一個Qi的振動時，的振動時，NjjijiiQam31而原子位移坐標為而原子位移坐標為)sin(1tAmaQamjiijjijii一個簡正振動并不是表示某一個原子的振動，而是表示一個簡正振動并不是表示某一個原子的振動，而是表示整個晶格所有原子都參與的振動，而且它們的振動頻率整個晶格所有原子都參與的振動，而且它們的振動頻率都相同。都相同。由簡正坐標所代表的，體系中所有

5、原子一起參由簡正坐標所代表的，體系中所有原子一起參與的共同振動稱為一個振動模。與的共同振動稱為一個振動模。),(),()(213213213122222NNNjiiiQQQEQQQQQiQi 把把Pi和和Qi看作量子中的正則共軛算符，把看作量子中的正則共軛算符，把Pi寫成寫成得到波動方程得到波動方程NiQQQQiiiiii3 , 2 , 1)()()(2122222方程表示一系列相互獨立的簡諧振子，對其中每一個簡方程表示一系列相互獨立的簡諧振子，對其中每一個簡正坐標有正坐標有NiiniNNiiiNiiiniiniiiQQQQnEQHQn3132131312)(),()21()()2exp()(

6、)21(本征值本征值本征態為本征態為其中其中系統的本征態系統的本征態值和本征態分值和本征態分別為別為引入簡正坐標的關鍵是找到合適的引入簡正坐標的關鍵是找到合適的Qi，并求出，并求出aij，以，以一維單原子鏈為例。一維單原子鏈為例。前面得到了本征解前面得到了本征解)(tqnaiqnqqeA表示第表示第q個格波引起第個格波引起第n個原子的位移，而原子的總位移為個原子的位移，而原子的總位移為qiqnanqtqnaiqqnqneqQNmeAq)(1)(iqnanqqiqnantiqeNaqQeNmeANmqQq1)(1)(Q(q)是否是簡正坐標，需要證明經過變換后動能和是否是簡正坐標，需要證明經過變換

7、后動能和勢能都具有平方項和的形式。勢能都具有平方項和的形式。10)(1)()(*NnqqqqinaeNqQqQ)()(*)(*1*)(1)(1qQqQeqQNmeqQNmeqQNmqiqnanqiqnanqiqnan由于由于可以寫為可以寫為第第1式取復共軛得式取復共軛得因為位移為實數，所以因為位移為實數，所以兩個關系兩個關系qq10)(1NnqqqqinaeN2,Nahqsqq當當q=q時，每一項等于時，每一項等于1，共有，共有N項，顯然成立。項，顯然成立。當當0111111111)(11121010NeNeeNeeeNeNiasiasNahiNaNnNniasNiasniasisna等比級數

8、求和等比級數求和 qqqqqqqqqqnnaqqiqqqnaq inqiqnannqQqQqQqQqQqQqQeNqQqQeqQeqQNmmmT2,)(2)(21)(*)(21)()(21)()(211)()(21)( )(12121qqqiqaqiqaqqaq iqqiqannaqqiaq iqqiqaqaq inaq iqiqaiqnannnnqQqamqQqQeeqQqQmeeqQqQmeNeeqQqQmeeqQeeqQNmU22,)(21)(21)cos22(2)(*)()1 ( )1)()(2)1 ( )1)()(21)1 ( )1)()(2 )1 ()( )1 ()(121)(21

9、Q(q)確實是簡正坐標結論：由結論：由N個原子組成的一維單原子鏈，其振動模為個原子組成的一維單原子鏈，其振動模為N個個格波，在簡諧近似下，格波是相互獨立的，格波的振幅對格波，在簡諧近似下，格波是相互獨立的，格波的振幅對應著系統的簡正坐標；按量子理論每種簡正振動的能級是應著系統的簡正坐標；按量子理論每種簡正振動的能級是量子化的，能量的激發單元是。量子化的，能量的激發單元是。聲子：就是指格波的量子，它的能量等于，一個格聲子：就是指格波的量子，它的能量等于，一個格波稱為一種聲子；波稱為一種聲子；當振動模處于本征態時，稱為有個聲當振動模處于本征態時，稱為有個聲子，為聲子數；子，為聲子數；當電子（或光子

10、）與晶格振動相互作用時，交換能量以當電子（或光子）與晶格振動相互作用時，交換能量以為單元，若電子從晶格獲得能量，稱為吸收一個聲為單元，若電子從晶格獲得能量，稱為吸收一個聲子，當電子給晶格能量，稱為發射一個聲子。子，當電子給晶格能量，稱為發射一個聲子。qnqqn)21(qqqnqqq3.3 離子晶體的長光學波離子晶體的長光學波長聲學波可以認為是把晶體看成連續介質的長聲學波可以認為是把晶體看成連續介質的彈性波，彈性波滿足在彈性理論基礎上的建立彈性波，彈性波滿足在彈性理論基礎上的建立的宏觀運動方程，對于光學波，由于原胞內正的宏觀運動方程，對于光學波，由于原胞內正負離子離子做相對運動，不可能用彈性理論

11、處負離子離子做相對運動，不可能用彈性理論處理，理，黃昆首先提出長光學波也可以在宏觀理論黃昆首先提出長光學波也可以在宏觀理論的基礎上進行討論的基礎上進行討論。以立方晶體為例，設每個原胞內只含有一對以立方晶體為例，設每個原胞內只含有一對離子，質量分別為，黃昆選擇了離子，質量分別為，黃昆選擇了W W 做為描述長光學波運動的宏觀量。做為描述長光學波運動的宏觀量。一、黃昆方程一、黃昆方程MM ,EbWbPEbWbW22211211 )()(21MWMMMMM,為約化質量，為正、負離子的為約化質量，為正、負離子的位移。建立了下面一對宏觀的方程。位移。建立了下面一對宏觀的方程。黃昆方程黃昆方程0W EP,E

12、bbW1112分別是宏觀極化強度和宏觀電場。分別是宏觀極化強度和宏觀電場。第一個方程是決定離子相對運動的動力學方程，不僅與第一個方程是決定離子相對運動的動力學方程，不僅與回復力有關，還與電場有關；第二個方程表明宏觀極化回復力有關，還與電場有關；第二個方程表明宏觀極化強度除去正、負離子相對位移產生極化，還要考慮宏觀強度除去正、負離子相對位移產生極化，還要考慮宏觀電場存在時的附加極化。電場存在時的附加極化。上述唯象方程中的系數可以上述唯象方程中的系數可以通過實驗來確定通過實驗來確定。（）存在靜電場時，正、負離子發生相對位移（）存在靜電場時，正、負離子發生相對位移W，令，令得：得：EbbbEbWbP

13、)(2211212222111212220000 1)0( 1)0()0(bbbEPEPED高頻情況，假設電場的頻率遠高于晶格振動的高頻情況，假設電場的頻率遠高于晶格振動的頻率，晶格位移跟不上電場的變化，有頻率，晶格位移跟不上電場的變化，有W=02011112120220022)()0( 1)( 1)(,bbbbEPEbP下面將證明下面將證明02102121120222011)()0( 1)(bbbb二、長光學波的橫波頻率和縱波頻率二、長光學波的橫波頻率和縱波頻率在考慮有帶電粒子的晶格振動時，必須考慮它們的電磁在考慮有帶電粒子的晶格振動時，必須考慮它們的電磁相互作用，對于長光學波，用上述方程求

14、解晶格振動，相互作用，對于長光學波，用上述方程求解晶格振動，如果把靜電學方程與唯象方程結合起來，就相當于考慮如果把靜電學方程與唯象方程結合起來，就相當于考慮了電荷之間的庫侖作用。了電荷之間的庫侖作用。在立方晶體中，長光學波有橫波和縱波，有在立方晶體中，長光學波有橫波和縱波，有0, 0)(0, 00, 00EPEDWWWWWWWTLLTLT1120201122121122)()(bWbdtWdEbWWbdtWWdTTTLTLT對對取旋度EbWbW1211 固有頻率固有頻率EbWbW1211 EbWbWEbWbWLL12111211 EbWbdtWdLL121122得得(1)LLWbbEEbbWE

15、EbWbP220212122002221,LLLLLWdtWdWWbbbdtWd222002022202112200012)()0() 1)()()0()(對對(2)式取散度并利用式取散度并利用D的性質的性質所以所以將將E代入代入(1)式得：式得：210022)()0()()0(00TLLLST(Lyddano-Sachs-Teller)關系關系三、長光學波振動的原子理論三、長光學波振動的原子理論離子晶體的極化有兩方面的貢獻，一方面是離子晶體的極化有兩方面的貢獻，一方面是原胞中正、負離子的相對位移，有電偶極矩原胞中正、負離子的相對位移，有電偶極矩)(*qq*表示有效電荷，由于討論的是長光學波，在一個相表示有效電荷，由于討論的是長光學波，在一個相當大的范圍內，正負離子的位移各原胞中是相同的，宏當大的范圍內，正負離子的位移各原胞中是相同的，宏觀極化強度為觀極化強度為)(*1qP位移在外電場中，正、負離子本身由于電子云的在外電場中，正、負離子本身由于電子云的畸變也會發生極化，畸變也會發生極化，)(1)()(efefEEP極化PEEef031位移極化PPP而而將以上將以上3式代入得：式代入得：)()(*3111)31)(1)