1、一問題重述核反應堆屏蔽層是用一定厚度的鉛把反應堆四周包圍起來，用以阻檔或減弱反應堆發出的各種射線。在各種射線中，中子對人體傷害極大，因此，屏蔽設計，主要是了解中子穿透屏蔽的百分比(或概率)，這對反應堆的安全運行是至關重要的。首先考慮一個中子進入屏蔽層后運動的物理過程：中子以初速度v0和方向角射入屏蔽層內，運動一段距離后，在x0處與鉛核碰撞之后，中子獲得新的速度及方向(v1,1)，再運動一段距離后，與鉛核第二次碰撞，并獲得新的狀態(v2,2)等等，經若干次碰撞后，發生以下情況之一則終止運動過程：(1)彈回反應堆；(2)穿誘屏蔽層；(3)第i次碰撞后，中子被屏蔽層吸收。要求用數學建模方法解決中子穿

2、透屏蔽層百分比問題，并對如何防護穿透屏蔽層的中子提出自己的建議。本文需解決的問題有：1 .假設屏蔽層D=3d,在大數定理的意義下，中子穿透屏蔽層的百分比多少2 .在實際應用中，要求中子穿誘屏蔽層的概率極小，數量級為1061010，即穿入屏蔽層的中子若為幾百萬個，也只能有幾個中子穿過屏蔽層。問題是多厚的屏蔽層才能使它被穿的概率小于1063 .根據上述估計，并查閱相關文獻，嘗試為日本福島核泄漏事件的核危機善后工作提出約2000字的建議。二問題分析此題研究的是中子穿透核反應堆屏蔽層的問題。一般情況下核反應堆是一個圓柱型建筑，屏蔽層里面充滿介質，以防護放射性物質泄漏。在本題中我們認為防護層里面均勻分布

3、著的介質只有一種物質，也就是鉛層。而且把問題簡化為中子穿透的是理想的鉛制平板。中子在屏蔽層的運動到有明顯的隨機性，所以種子的運動過程是一個隨機過程。中子的運動規律是根據大量中子的運動狀況總結出來的，是一種統計規律。蒙特卡羅模擬，實際上就是模擬相當數量的粒子在介質中的運動狀況，是粒子的統計規律得以重現。不過，這種模擬是利用隨機數實現的。對于問題一：為了求得在大數定理意義下，中子穿透屏蔽層的百分比，在這里我們采用蒙特卡洛方法來解決此問題，在模擬的過程中，主要是分析中子在任意兩相鄰碰撞時刻的位置旋轉角度及能量的變化，首先確定中子的初始狀態，及分析中子下一次碰撞點的位置服從指數分布，其平均值為d,這樣

4、可以根據位移與屏蔽層D的大小關系判斷中子是被彈回吸收和繼續發生碰撞；然后確定碰撞類型，若為彈性碰撞且碰撞次數沒有超過10次則繼續下一次的碰撞，超過10次則直接被吸收，最后確定碰撞后的能量與運動方向，從而可得到一個中子的隨機游動的序列參數。在借助計算機程序進行仿真模擬之前我們還可對中子的透射率進行估計。對于問題二：為了求得多厚的屏蔽層才能使它被穿的概率小于106，要求們考慮到實際情況在穿透率已知的情況下求解屏蔽層的厚度。我們可以考慮在問題一的基礎上來解決此問題。我們考慮到實際情況，要求透率小于106時，求解鉛屏蔽墻的厚度。由于每次碰撞中子的速度都會將低，從而引起能量的減小，從問題一中我們可得在大

5、數定理下通過大量模擬實驗，中子的對屏蔽層D的穿透量趨向一穩定的值，即為我們所要求的概率值，在這里我們可將中子穿過厚度為D的屏蔽層看做一次獨立事件，假設所要求的屏蔽墻的厚度記為mD,通過計算多個獨立事件同時發生的概率便可以求出m的值，進而可求出屏蔽層的厚度。三模型假設1 .假設中子在兩次碰撞之間按直線運動而且粒子之間無相互作用。2 .假設屏蔽層是理想均勻的平板。3 .假設離子間的碰撞是彈性的。4 .假設中子在屏蔽層內相繼兩次碰撞之間游動的距離服從指數分布，d為兩次碰撞之間中子的平均游動距離。5 .假設在第10次碰撞后，中子速度下降到某一很小的數值而終止運動（被吸收）。四參數設置及說明符號符號說明

6、mEm中子被第m個鉛原子的反彈截面mEam中子被第m個鉛原子的吸收截面m單位體積鉛原子的數量xm中子的第m次碰撞Em中子第m次碰撞后的能量sm中子第m次碰撞后的位置m中子第m次碰撞散射角A是鉛原子核質量與中子質量之比c質心系散射角p中子穿透鉛層的概率方位角五模型建立及求解5.1 在大數定理的意義下，中子穿透屏蔽層的百分比用蒙特卡洛法模擬中子在鉛層的運動情況蒙特卡洛法是基于粒子輸運過程的隨機統計特性的考慮，我們認為物理上的可觀測量就是大量粒子的行為共同貢獻的統計結果。因此，該方法就是考慮一個一個粒子的傳輸，模擬它們在物質中隨機運動的歷史，記錄其在運動中對感興趣的物理模擬量的貢獻。在對單個粒子運動

7、歷史進行大量的重復模擬之后,我們就可以對物理模擬量進行統計平均，得到所需要的物理結果。中子與鉛層作用后，一部分會被吸收，另一部分經過多次反彈后會穿透鉛層彈射出去。中子與鉛層作用后可能會產生次級粒子，我們不考慮這些次級粒子的遷移。如果中子和鉛層中第m個鉛原子作用的全截面為mE.mEmEtm=smammEm和mEm分別表示中子被第m個鉛原子的反彈和吸收截面。如果單位體積鉛原子的數量記為m,則中子作用在單位體積內第m個鉛原子上的總截面為mEtmEtmtm假如材料中有多種元素，該中子與材料作用的總截面為：m在本文中，鉛是屏蔽層中的唯一元素，假定中子與某一個鉛原子反彈后的角分布表示為dE/d，當散射角分

8、布對方位角是各向同性時，方位角可被積掉，得到微分反彈截面dE/dcos。無論微分截面dE/d或者dE/dcos，我們都可以得到相應的理論公式。設在o點有一個能量為E0的中子垂直入射到鉛層中。我們記錄這時該中子的狀態位形為s0x00,E0,cos01，經過第一次碰撞后反彈到位置s1x1,E1,cos1，再經過第二次碰撞后反彈到位置s2x2,E2,cos2，如此我們依次記下該中子在鉛層中運動歷史上的位置的軌跡：s0s1s2sm或者用x0x1xmE0E1Emcos0cos1cosm來表示。直到在Sm狀態，該中子被鉛層吸收，射出或彈回，或者在Sm處該中子的能量Em低于某一閾值，則程序就停止跟蹤。我們假

9、設在第10次碰撞后，中子速度下降到某一很小的數值而終止運動（被吸收），因此中子在鉛層中至多碰撞十次。我們用程序具體模擬跟蹤中子的運動歷程初始位置已經給出，假定為S0x00,E0,coS01。現在要由位置Sm1xm1,Em1,coSm1確定下一個狀態位形Smxm,Em,coSm。我們采用下面的步驟來確定狀態Si的各個參數：首先確定坐標參數xm。中子到達Sm狀態點以前，經歷過第m1次碰撞后做勻速直線運動。其自由程y滿足分布密度函數fymEm1expytEm1我們可以采用直接抽樣法得到自由程的抽樣值Jn t Em1則x由下式給出xm xm 1ycosxm 1ln j t Em1確定碰撞的性質是吸收還

10、是反彈。中子與鉛原子發生放射的幾率為/ m 1 mEm 1 pm,s st Emi同樣可以采用離散型隨機變量的直接法抽取。若抽樣結果為吸收，則停止跟蹤回到So狀態，開始對下一個中子進行跟蹤；若抽樣結果為反彈，則進入下確定中子散射角m和能量Emo由于理論上一般給出的是質心系中的分截面公式dEm1/dcosm1,因此我們需要首先按照質心系的微分截面抽取反彈角余弦cosm,cosm滿足的分布密度函數為,dEm1,1dEm1“fcosc/dcosmdcosc1dcosmc理論上，反彈后的中子能量Em由下式計算得到L1L/Em二Em11r1rcosm22A1_._其中rU,A是鉛原子核質量與中子質量之比

11、。質心系散射角A1以用下面公式換算為對應的實驗室系的放射角cosl1Acosc/.1A22Acosc再根據下面的球面三角公式，通過實驗室系散射角l來確定cosicosi1coslsini1sinlcos其中為方位角。由于我們考慮的中子散射過程是各向同性的，方位角通過抽樣2確定抽樣值。用計算機模擬中子在鉛層里的運動情況按照上面的計算步驟，我們就完成了從si 1到si狀態的跟蹤。重復上述中子跟蹤計算過程，直到中子在鉛層中運動歷程的終點我們分別模擬了10000個中子的運動過程，并用matlab軟件進行編程模擬10000個中子在鉛層的運動情況，為求得穩定數據我們重復了十次實驗，得出數據如下表碰撞次數中

12、子被屏蔽層彈回白分比（）中子被屏蔽層吸收百分比（）中子穿透屏蔽層百分比（%）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次第九次第十次平均其中第十次的穿透率與其他值相比偏差太大，我們把它舍去。求得中子穿透鉛層百分比的平均值為p111.71119f1x91其方差為2S119 f1X 9 12P1為了使我們求得的數據更加接近實際情況，我們再對20000個中子進行同樣方法的模擬，得到下面數據碰撞次數中子被屏蔽層彈回白分比（）中子被屏蔽層吸收百分比（）中子穿透屏蔽層百分比（）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次第九次第十次平均其平均值為P210f2 x其方差為一 2P211021S2f2

13、X101通過對兩次模擬得出的數據，我們也如下計算公式得出更加接近實際情況的的百分比122P二P1P2GS22通過對大量中子運動過程的跟蹤，我們也很容易求出透射中子的能量和角分布。只要將能量E和極角分成若干個小區間，如：E0E1E2Emin0012M/2將透射中子的能量E和極角記入圖中對應區間，統計落入各個能量區間或角度區間的中子數，并畫出直方圖。這樣我們就得到相應的反射中子的能量分布或角分布圖形。求傳透率小于106時，屏蔽墻的厚度問題二要求我們考慮到實際情況，要求透率小于106時，求解鉛屏蔽墻的厚度。由于每次碰撞中子的速度都會將低，從而引起能量的減小，從問題一中我們可得在大數定理下通過大量模擬實驗，中子的對屏蔽層D的穿透量趨向一穩定的值，即為我們所要求的概率值，在這里我們可將中子穿過厚度為D的屏蔽層看做一次獨立事件，假設所要求的屏蔽墻的