1、2016年河北省唐山市高考數學一模試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求1設A，B是全集I=1，2，3，4的子集，A=l，2，則滿足AB的B的個數是（）A5B4C3D22復數的虛部為（）ABCD3已知向量，滿足（）=2，且|=1，|=2，則與的夾角為（）ABCD4（x2y）6的展開式中，x4y2的系數為（）A15B15C60D605A（，1）為拋物線x2=2py（p0）上一點，則A到其焦點F的距離為（）AB +C2D +16執行如圖的程序框圖，輸出S的值為（）Aln4Bln5Cln 5ln4Dln 4ln 37若x，y滿

2、足不等式組，則的最大值是（）AB1C2D38Sn為等比數列an的前n項和，滿足al=l，Sn+2=4Sn+3，則an的公比為（）A3B2C2或3D2或29己知A（x1，0），B（x2，1）在函數f（x）=2sin（x+）（0）的圖象上，|x1x2|的最小值，則=（）ABClD10某幾何體的三視圖如圖所示則其體積積為（）A8BC9D11F為雙曲線：=1（a0，b0）的右焦點，若上存在一點P使得OPF為等邊三角形（O為坐標原點），則的離心率e為（）ABCD212數列an的通項公式為an=，關于an有如下命題：an為先減后增數列；an為遞減數列；nN*，ane；nN*，ane其中正確命題的序號為（）

3、ABCD二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在題中橫線上13在等差數列an中，a4=2，且al+a2+a10=65，則公差d的值是141000名考生的某次成績近似服從正態分布N，則成績在630分以上的考生人數約為（注：正態總體N（，2）在區間（，+），（2，+），（3，+3）內取值的概率分別為0.683，0.954，0.997）15已知f（x）為奇函數，函數g（x）與f（x）的圖象關于直線y=x+1對稱若g（1）=4則f（3）=16一個幾何體由八個面圍成，每面都是正三角形，有四個頂點在同一平面內且為正方形，從該幾何體的12條棱所在直線中任取2條，所成角為60°

4、的直線共有對三、解答題：本大題共70分，其中（17）-（21）題為必考題，（22），（23），（24）題為選考題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17在如圖所示的四邊形ABCD中，BAD=90°，BCD=120°，BAC=60°，AC=2，記ABC=（）求用含的代數式表示DC；（）求BCD面積S的最小值18如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱長均為2，BAD=60°，M為BB1的中點，Ol為上底面對角線的交點（）求證：O1M平面ACM；（）求AD1與平面ADM所成角的正弦值19某商場舉行優惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優惠方案中選擇一種，方案

5、一：每滿200元減50元：方案二：每滿200元可抽獎一次具體規則是依次從裝有3個紅球、1個白球的甲箱，裝有2個紅球、2個白球的乙箱，以及裝有1個紅球、3個白球的丙箱中各隨機摸出1個球，所得結果和享受的優惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區別）紅球個數3210實際付款半價7折8折原價（）若兩個顧客都選擇方案二，各抽獎一次，求至少一個人獲得半價優惠的概率；（）若某顧客購物金額為320元，用所學概率知識比較哪一種方案更劃算？20在ABC中，A（1，0），B（1，0），若ABC的重心G和垂心H滿足GH平行于x軸（GH不重合），（I）求動點C的軌跡的方程；（II）已知O為坐標原點，若直線AC與以O為圓心，

6、以|OH|為半徑的圓相切，求此時直線AC的方程21函數f（x）=2xex+1（1）求f（x）的最大值；（2）已知x（0，1），af（x）tanx，求a的取值范圍四.請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做的第一個題目計分作答時用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑選修4-1：幾何證明選講22如圖，AB與圓O相切于點B，CD為圓O上兩點，延長AD交圓O于點E，BFCD且交ED于點F（I）證明：BCEFDB；（）若BE為圓O的直徑，EBF=CBD，BF=2，求ADED選修4-4：坐標系與參數方程23在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點

7、，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系半圓C（圓心為點C）的極坐標方程為=2sin，（，）（）求半圓C的參數方程；（）直線l與兩坐標軸的交點分別為A，B，其中A（0，2），點D在半圓C上，且直線CD的傾斜角是直線l傾斜角的2倍，若ABD的面積為4，求點D的直角坐標選修4-5：不等式選講24已知函數f（x）=|x+1|a|xl|（）當a=2時，解不等式f（x）5；（）若（x）a|x+3|，求a的最小值2016年河北省唐山市高考數學一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求1設A，B是全集I=1，2，3，4的子集

8、，A=l，2，則滿足AB的B的個數是（）A5B4C3D2【考點】集合的包含關系判斷及應用【分析】由題意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出【解答】解：A，B是全集I=1，2，3，4的子集，A=l，2，則滿足AB的B為：1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4故選：B2復數的虛部為（）ABCD【考點】復數代數形式的乘除運算【分析】直接由復數代數形式的乘除運算化簡復數，則答案可求【解答】解：由=，則復數的虛部為：故選：A3已知向量，滿足（）=2，且|=1，|=2，則與的夾角為（）ABCD【考點】平面向量數量積的運算【分析】求出，代入向量的夾角公式即可【解答】解：（）=1cos=故選D4

9、（x2y）6的展開式中，x4y2的系數為（）A15B15C60D60【考點】二項式系數的性質【分析】根據二項式展開式的通項公式，利用展開式中x4y2，即可求出對應的系數【解答】解：（x2y）6展開式的通項公式為Tr+1=x6r（2y）r，令r=2，得T3=x4（2y）2=60x4y2，所以x4y2的系數為60故選：C5A（，1）為拋物線x2=2py（p0）上一點，則A到其焦點F的距離為（）AB +C2D +1【考點】拋物線的簡單性質【分析】把A代入拋物線方程解出p，得到拋物線的準線方程，則A到焦點的距離等于A到準線的距離【解答】解：把A（，1）代入拋物線方程得：2=2p，p=1拋物線的焦點為F

10、（0，）拋物線的準線方程為y=A到準線的距離為1+=AF=故選：A6執行如圖的程序框圖，輸出S的值為（）Aln4Bln5Cln 5ln4Dln 4ln 3【考點】程序框圖【分析】首先分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行，運行過程中各變量的值進行分析，不難得到輸出結果【解答】解：模擬執行程序框圖，可得i=1，S=0滿足條件i4，S=xdx=lnx|=ln2ln1，i=2滿足條件i4，S=ln2ln1+ln3ln2=ln3ln1，i=3滿足條件i4，S=ln3ln1+ln4ln3=ln4ln1=ln4，i=4不滿足

11、條件i4，退出循環，輸出S的值為：ln4故選：A7若x，y滿足不等式組，則的最大值是（）AB1C2D3【考點】簡單線性規劃【分析】由題意作平面區域，而的幾何意義是陰影內的點（x，y）與原點的連線的斜率，從而求得【解答】解：由題意作平面區域如下，的幾何意義是陰影內的點（x，y）與原點的連線的斜率，結合圖象可知，過點A（1，2）時有最大值，此時=2，故選：C8Sn為等比數列an的前n項和，滿足al=l，Sn+2=4Sn+3，則an的公比為（）A3B2C2或3D2或2【考點】等比數列的前n項和【分析】利用等比數列的前n項和公式得到S3=4a1+3，由此能求出an的公比【解答】解：Sn為等比數列an的

12、前n項和，滿足al=l，Sn+2=4Sn+3，S3=4a1+3，=4a1+3，即=7，q2+q6=0，解得q=2或q=3故選：C9己知A（x1，0），B（x2，1）在函數f（x）=2sin（x+）（0）的圖象上，|x1x2|的最小值，則=（）ABClD【考點】正弦函數的圖象【分析】根據題意得出函數f（x）的周期是T=12×，進而可得答案【解答】解：A（x1，0），B（x2，1）在函數f（x）=2sin（x+）（0）的圖象上，且|x1x2|的最小值為，故=，解得：T=3，又0，故=，故選：D10某幾何體的三視圖如圖所示則其體積積為（）A8BC9D【考點】由三視圖求面積、體積【分析】幾何

13、體為兩個尖頭圓柱的組合體它們可以組合成高為8的圓柱【解答】解：由三視圖可知幾何體為兩個尖頭圓柱的組合體，它們可以組成高為8的圓柱，圓柱的底面半徑為1，所以幾何體的體積為×12×8=8故選A11F為雙曲線：=1（a0，b0）的右焦點，若上存在一點P使得OPF為等邊三角形（O為坐標原點），則的離心率e為（）ABCD2【考點】雙曲線的簡單性質【分析】先確定等邊三角形的邊長和點P橫坐標，求出點P到右準線的距離d，利用雙曲線定義解出離心率e【解答】解：不妨設F為右焦點，OPF（O為坐標原點）為等邊三角形，故點P橫坐標為，點P到右準線的距離d=，OPF邊長為c，e=e1，e=+1，故選

14、：C12數列an的通項公式為an=，關于an有如下命題：an為先減后增數列；an為遞減數列；nN*，ane；nN*，ane其中正確命題的序號為（）ABCD【考點】數列的函數特性【分析】數列an的通項公式為an=，可得此數列為單調遞減有下界e數列，即可得出【解答】解：數列an的通項公式為an=，an0， =，可得：a1a2a3關于an有如下命題：an為先減后增數列，不正確；an為遞減數列，正確；由于an=e，nN*，ane，正確；nN*，ane，不正確故正確答案為：故選：C二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在題中橫線上13在等差數列an中，a4=2，且al+a2+a10

15、=65，則公差d的值是【考點】等差數列的通項公式【分析】利用等差數列的通項公式及其前n項和公式即可得出【解答】解：在等差數列an中，a4=2，且al+a2+a10=65，a1+3d=2，10a1+d=65，解得d=故答案為：141000名考生的某次成績近似服從正態分布N，則成績在630分以上的考生人數約為23（注：正態總體N（，2）在區間（，+），（2，+），（3，+3）內取值的概率分別為0.683，0.954，0.997）【考點】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義【分析】根據正態分布，求出=530，=50，在區間的概率為0.954，由此可求成績在630分以上的考生人數【解答】解：由題意，=

16、530，=50，在區間的概率為0.954成績在630分以上的概率為=0.023成績在120分以上的考生人數約為1000×0.023=23故答案為：2315已知f（x）為奇函數，函數g（x）與f（x）的圖象關于直線y=x+1對稱若g（1）=4則f（3）=2【考點】函數奇偶性的性質【分析】求出（1，4）關于直線y=x+1的對稱點，代入f（x），利用f（x）的奇偶性得出【解答】解：設A（1，4），A關于直線y=x+1的對稱點為A'（a，b）則，解得函數g（x）與f（x）的圖象關于直線y=x+1對稱，g（1）=4，f（3）=2，f（x）為奇函數，f（3）=2故答案為216一個幾何體由

17、八個面圍成，每面都是正三角形，有四個頂點在同一平面內且為正方形，從該幾何體的12條棱所在直線中任取2條，所成角為60°的直線共有48對【考點】計數原理的應用【分析】作出圖形，即可得出結論【解答】解：如圖所示，由題意，AB與AE，BE，BC，AC，CF，CD，ED，EF所成角為60°，共8對，每條棱有八對，12條棱共有：12乘以8再除以2=48對，故答案為：48三、解答題：本大題共70分，其中（17）-（21）題為必考題，（22），（23），（24）題為選考題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17在如圖所示的四邊形ABCD中，BAD=90°，BCD=120

18、76;，BAC=60°，AC=2，記ABC=（）求用含的代數式表示DC；（）求BCD面積S的最小值【考點】正弦定理；余弦定理【分析】（I）在ADC中，使用正弦定理解出DC；（II）在ABC中，使用正弦定理解出BC，代入三角形的面積公式計算【解答】解：（）在ADC中，ADC=360°90°120°=150°，由正弦定理可得=，即=，于是：DC=（）在ABC中，由正弦定理得=，即BC=，由（）知：DC=，S=故=75°時，S取得最小值6318如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱長均為2，BAD=60°，M為BB1的中點，O

19、l為上底面對角線的交點（）求證：O1M平面ACM；（）求AD1與平面ADM所成角的正弦值【考點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定【分析】（1）計算AM，AO1，MO1，CM，CO1，根據勾股定理的逆定理得出AMO1M，CMO1M，于是O1M平面ACM；（2）連結BD交AC于點O，連接OO1，以O為坐標原點建立空間直角坐標系，求出和平面ADM的法向量，則|cos，|即為所求【解答】證明：（）連接AO1，CO1，直四棱柱所有棱長均為2，BAD=60°，M為BB1的中點，O1B1=1，B1M=BM=1，O1A1=，O1M2=O1B12+B1M2=2，AM2=AB2+BM2=5，O1

20、A2=O1A12+A1A2=7，O1M2+AM2=O1A2，O1MAM同理：O1MCM，又CMAM=M，AM平面ACM，CM平面ACM，O1M平面ACM（）連結BD交AC于點O，連接OO1，以O為坐標原點，OA，OB，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Oxyz，則A（，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，2），M（0，1，1），=（，1，2），=（，1，0），=（0，2，1），設平面ADM的一個法向量=（x，y，z），則，令x=1，得=（1，2）， =4，|=4，|=2，cos，=，AD1與平面ADM所成角的正弦值為19某商場舉行優惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優惠

21、方案中選擇一種，方案一：每滿200元減50元：方案二：每滿200元可抽獎一次具體規則是依次從裝有3個紅球、1個白球的甲箱，裝有2個紅球、2個白球的乙箱，以及裝有1個紅球、3個白球的丙箱中各隨機摸出1個球，所得結果和享受的優惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區別）紅球個數3210實際付款半價7折8折原價（）若兩個顧客都選擇方案二，各抽獎一次，求至少一個人獲得半價優惠的概率；（）若某顧客購物金額為320元，用所學概率知識比較哪一種方案更劃算？【考點】相互獨立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式【分析】（）先求出顧客獲得半價優惠的概率，由此利用對立事件概率計算公式能求出兩個顧客至少一個人獲得半價

22、優惠的概率（）分別求出方案一和方案二和付款金額，由此能比較哪一種方案更劃算【解答】解：（）記顧客獲得半價優惠為事件A，則P（A）=，兩個顧客至少一個人獲得半價優惠的概率：P=1P（）P（）=1（1）2=（）若選擇方案一，則付款金額為32050=270元若選擇方案二，記付款金額為X元，則X可取160，224，256，320P（X=160）=，P（X=224）=，P（X=256）=，P（X=320）=，則E（X）=160×+224×+256×+320×=240270240，第二種方案比較劃算20在ABC中，A（1，0），B（1，0），若ABC的重心G和垂心H

23、滿足GH平行于x軸（GH不重合），（I）求動點C的軌跡的方程；（II）已知O為坐標原點，若直線AC與以O為圓心，以|OH|為半徑的圓相切，求此時直線AC的方程【考點】軌跡方程【分析】（）由題意可設C（x，y），則G（），H（x，），求出，的坐標，再由=0整理得答案；（）設方程AC為y=k（x+1），C（x0，y0）聯立直線方程和橢圓方程，求出H的坐標，由點到直線的距離公式求得原點O到直線AC的距離，結合題意得到關于k的等式，求出k值后可得直線AC的方程【解答】解：（）由題意可設C（x，y），則G（），H（x，）=（x1，），=（x+1，y），H為垂心，=x21+=0，整理可得x2+=1，即動點

24、C的軌跡的方程為x2+=1（xy0）；（）顯然直線AC的斜率存在，設方程AC為y=k（x+1），C（x0，y0）將y=k（x+1）代入x2+=1得（3+k2）x2+2k2x+k23=0，解得x0=，y0=，則H（，）原點O到直線AC的距離d=，依題意可得，即7k4+2k29=0，解得k2=1，即k=1或1，故所求直線AC的方程為y=x+1或y=x121函數f（x）=2xex+1（1）求f（x）的最大值；（2）已知x（0，1），af（x）tanx，求a的取值范圍【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程【分析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區

25、間，從而求出函數的最大值；（2）求出f（x）在（0，1）為正，a0時，符合題意，a0時，通過討論0a1，a1時的情況，結合函數的單調性求出a的具體范圍即可【解答】解：（1）f（x）=2xex+1，f（x）=2ex，令f（x）0，解得：xln2，令f（x）0，解得：xln2，f（x）在（，ln2）遞增，在（ln2，+）遞減，f（x）的最大值是f（ln2）=2ln21；（2）x（0，1）時，f（x）在（0，ln2）遞增，在（ln2，1）遞減，且f（0）=0，f（1）=3e0，f（x）0，tanx0，a0時，af（x）0tanx；a0時，令g（x）=tanxaf（x），則g（x）=+a（ex2），g

26、（x）在（0，1）遞增且g（0）=1a，0a1時，g（0）0，g（x）0，g（x）在（0，1）遞增，又g（0）=0，此時g（x）0，即af（x）tanx成立，a1時，g（0）0，g（1）0，x0（0，1），使得g（x0）=0，即x（0，x0）時，g（x）0，g（x）遞減，又g（0）=0，g（x）0與af（x）tanx矛盾，綜上：a1四.請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做的第一個題目計分作答時用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑選修4-1：幾何證明選講22如圖，AB與圓O相切于點B，CD為圓O上兩點，延長AD交圓O于點E，BF

27、CD且交ED于點F（I）證明：BCEFDB；（）若BE為圓O的直徑，EBF=CBD，BF=2，求ADED【考點】與圓有關的比例線段；相似三角形的判定【分析】（）根據BFCD便有EDC=BFD，再根據同一條弦所對的圓周角相等即可得出EBC=BFD，BCE=BDF，這樣即可得出：BCE與FDB相似；（）根據條件便可得出EBC=FBD，再由上面即可得出FBD=BFD，這樣即可得出FDB為等腰直角三角形，從而可求出BD=，根據射影定理即可求出ADED的值【解答】解：（）證明：BFCD；EDC=BFD，又EBC=EDC，EBC=BFD，又BCE=BDF，BCEFDB（）因為EBF=CBD，所以EBC=FBD，由（）得EBC=BFD，所以FBD=BFD，又因為