1、學習必備歡迎下載等腰三角形典型例題練習選擇題（共2小題）1 .如圖，/ C=90°, AD平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm ,則點 D到AB的距離為(A. 5cmB. 3cmC. 2cmD.不能確定2 .如圖，已知 C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側作等邊 ACD 和等邊ABCE,連接AE交CD于M,連接BD交CE于N.給出以下三個結論： AE=BD CN=CM MN / AB其中正確結論的個數是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二.填空題（共1小題）3 .如圖，在正三角形 ABC中，D, E, F分別是 BC,

2、AC, AB上的點，DEAC, EFXAB , FDXBC,貝U DEF 的面積與4ABC的面積之比等于.三.解答題（共15小題）4 .在4ABC中，AD是/ BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且/ EDF+/ EAF=180 °,求證5 .在4ABC中，/ ABC、/ ACB的平分線相交于點 O,過點。作DE / BC,分別交 AB、AC于點D、E.請說明 DE=BD+EC .學習必備歡迎下載BC6 . 已知：如圖，D是4ABC的BC邊上的中點，DEAB, DFXAC ,垂足分別為 E, F,且DE=DF .請判斷4ABC 是什么三角形？并說明理由.7 .如圖，4ABC

3、是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長 BC至E,使CE=CD .連接DE.(1) / E等于多少度？(2) ADBE是什么三角形？為什么？8 .如圖，在 4ABC 中，/ ACB=90 °, CD 是 AB 邊上的高，/ A=30°.求證：AB=4BD . CD B9 .如圖，4ABC中，AB=AC，點D、E分別在 AB、AC的延長線上，且 BD=CE , DE與BC相交于點F.求證: DF=EF .10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜邊./ B的角平分線交 AC于D,過C作CE與BD垂直且交BD延長線 于E, 求證：BD=2CE .11 . (2012?牡丹

4、江)如圖 ，4ABC中.AB=AC , P為底邊BC上一點，PE± AB , PF± AC, CH LAB ,垂足分 別為E、F、H.易證PE+PF=CH .證明過程如下：如圖，連接AP. PEXAB , PF± AC, CH LAB, Saabp=-AB ?PE, Saacp=-AC?PF, Saabc=-AB?CH .222又 saabp+Saacp=Saabc， 工AB ?PE+aAC ?PF=-1aB ?CH .222 AB=AC ,PE+PF=CH .(1)如圖，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并

5、加以證明：(2)填空：若/ A=30 °, AABC的面積為49,點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF,當PF=3時，則 AB邊上的高 CH=.點P到AB邊的距離 PE=.AA圖 圖12 .數學課上，李老師出示了如下的題目：在等邊三角形 ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且 ED=EC ,如圖，試確定線段 AE與DB的大小 關系，并說明理由小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：(1)特殊情況，探索結論當點E為AB的中點時，如圖1,確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AE DB (填 法”,之”或=").(2)特例啟發，解答題目解：題目中，AE

6、與DB的大小關系是：AE DB (填 法"，之"或=").理由如下：如圖2,過點E作EF/ BC,交AC于點F.(請你完成以下解答過程)(3)拓展結論，設計新題學習必備歡迎下載在等邊三角形 ABC中，點E在直線 AB ±, D D <5S BC工，H ED=EC .若4ABC的邊長為1, AE=2 ,求CD的長(請你直接寫出結果).圖1圖213 .已知：如圖， AF平分/ BAC, BCLAF于點E,點D在AF上，ED=EA ,點P在CF上，連接PB交AF于點 M .若/ BAC=2/MPC,請你判斷/ F與/ MCD的數量關系，并說明理由.14

7、.如圖，已知 4ABC是等邊三角形，點 D、E分別在BC、AC邊上，且 AE=CD , AD與BE相交于點F.(1)線段AD與BE有什么關系？試證明你的結論.(2)求/ BFD的度數.15 .如圖，在 4ABC中，AB=BC , / ABC=90 °, F為AB延長線上一點，點 E在BC上，BE=BF ,連接 AE、EF 和CF, 求證：AE=CF .B F16 .已知：如圖，在 4OAB 中，/ AOB=90 °, OA=OB ,在 EOF 中，/ EOF=90 °, OE=OF,連接 AE、BF.問線 段AE與BF之間有什么關系？請說明理由.學習必備歡迎下載1

8、7 . （2006?郴州）如圖，在 4ABC中，AB=AC , D是BC上任意一點，過 D分別向AB , AC引垂線，垂足分別為 巳F, CG是AB邊上的高.（1） DE, DF, CG的長之間存在著怎樣的等量關系？并加以證明；（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關系？請說明理由.18.如圖甲所示，在 4ABC中，AB=AC ,在底邊BC上有任意一點P,則P點到兩腰的距離之和等于定長（腰上 的高），即PD+PE=CF,若P點在BC的延長線上，那么請你猜想 PD、PE和CF之間存在怎樣的等式關系？寫出你 的猜想并加以證明.I）等腰三角形典型例題練習參考答案與

9、試題解析一 .選擇題（共2小題）1.如圖，/ 0=90°, AD平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm ,則點 D到AB的距離為（A . 5cmB . 3cmC. 2cmD.不能確定考點：角平分線的性質.分析：由已知條件進行思考，結合利用角平分線的性質可得點D到AB的距離等于D到AC的距離即CD的長，問題可解.解答：解：C=90°, AD平分/ BAC交BC于D. D到AB的距離即為 CD長CD=5 - 3=2故選C.2 .如圖，已知 C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側作等邊 ACD 和等邊BCE,連接AE交CD

10、于M,連接BD交CE于N,給出以下三個結論：AE=BDCN=CMMN / AB其中正確結論的個數是（）AC BA . 0B . 1C. 2"|D. 3考點：平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.1分析：由4ACD和ABCE是等邊三角形，根據 SAS易證得ACEA DCB ,即可得 正確；由 ACEADCB ,可得/ EAC=/NDC,又由/ ACD= Z MCN=60 °,利用 ASA ,可證得 ACMDCN ,即可得 正確；又可證得 4CMN是等邊三角形，即可證得 正確.解答：解：. ACD 和 ABCE 是等邊三角形，./ ACD= Z BCE=

11、60 °, AC=DC , EC=BC , . / ACD+ / DCE= / DCE+/ ECB ,即/ACE=/DCB, /. ACEA DCB (SAS), .AE=BD ,故正確；/ EAC= / NDC , / ACD= / BCE=60 °,/ DCE=60 °,/ ACD= / MCN=60 °,. AC=DC ,ACMDCN (ASA),CM=CN ,故正確；又/ MCN=180 - / MCA - / NCB=180 - 60 - 60 =60°,CMN是等邊三角形，NMC= ZACD=60 °,MN /AB ,故

12、正確.故選 D.二.填空題（共1小題）3 .如圖，在正三角形 ABC中，D, E, F分別是 BC, AC, AB上的點，DEAC, EFXAB , FDXBC,貝U DEF 的面積與4ABC的面積之比等于1: 3 .考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.分析：首先根據題意求得：/ DFE=Z FED=Z EDF=60 °,即可證得 DEF是正三角形，又由直角三角形中，30。所對的直角邊是斜邊的一半，得到邊的關系，即可求得 DF: AB=1 :低,又由相似三角形的面 積比等于相似比的平方，即可求得結果.解答:解：. ABC 是正三角形，B=/C=/A

13、=60°, . DEXAC , EFXAB , FDXBC, . / AFE= / CED= / BDF=90 °, ./ BFD= / CDE=/AEF=30 °, . . / DFE= Z FED= Z EDF=60 °, 坦 J, .DEF 是正三角形，BD : DF=1 : 夷,BD: AB=1 : 3 ,ADEFA ABC ,+，鋰=#1,，DF: AB=1 : V3, DEF的面積與ABC的面積之比等于 1: 3.Dr故答案為：1: 3.三.解答題（共15小題）4.在4ABC中，AD是/ BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且/ E

14、DF+/ EAF=180 °,求證DE=DF . &考點：全等三角形的判定與性質；角平分線的定義.分析：過D作DM ±AB，于M , DN ±AC于N ,根據角平分線性質求出 DN=DM ,根據四邊形的內角和定理和平角定義求出/ AED= ZCFD,根據全等三角形的判定 AAS推出EMDA FND即可.解答:證明：過D作DM ±AB，于M , DN ±AC于N,即/ EMD= / FND=90 °,. AD 平分/ BAC , DM ±AB , DN ±AC,DM=DN （角平分線性質），/ DME= /

15、DNF=90 °,. / EAF+/ EDF=180 °, . . / MED+ Z AFD=360 °- 180 =180 °,. /AFD+ /NFD=180 °, . . / MED= / NFD ,在 EMD和4FND中'/MED =/DFN* /DME=NDNF， EMDA FND , . DE=DF .旬M5.在ABC中，/ ABC、Z ACB的平分線相交于點 O,過點O作DE / BC,分別交 AB、AC于點D、E.請說明 DE=BD+EC .考點：等腰三角形的判定與性質；平行線的性質.分析：根據OB和OC分別平分/ AB

16、C和/ ACB ,和DE / BC ,利用兩直線平行，內錯角相等和等量代換,求證出DB=DO , OE=EC .然后即可得出答案.解答：解：二.在 4ABC中，OB和OC分別平分/ ABC和/ACB,/ DBO= / OBC , / ECO= / OCB , . DE / BC ,/ DOB= / OBC= / DBO , / EOC= / OCB= / ECO ,.DB=DO , OE=EC , . DE=DO+OE ,DE=BD+EC .6 . 已知：如圖，D是4ABC的BC邊上的中點，DE LAB, DFXAC ,垂足分別為 E, F,且DE=DF .請判斷ABC 是什么三角形？并說明理

17、由.考點：當腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質.1分析：用（HL）證明EBD0FCD,從而得出/ EBD= Z FCD ,即可證明 ABC是等腰三角形.解答：4ABC是等腰三角形.證明：連接 AD , DEXAB , DFXAC , . / BED= / CFD=90 °,且 DE=DF , ,. D是4ABC的BC邊上的中點，. BD=DC ,RtA EBDRtAFCD (HL), . / EBD= / FCD , .ABC 是等腰三角形.7 .如圖，4ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長 BC至E,使CE=CD .連接DE.學習必備歡迎下載(1) /E等于多少度？ (

18、 2) ADBE學習必備歡迎下載是什么三角形？為什么？考點： 分析：等邊三角形的性質；等腰三角形的判定.(1)由題意可推出/ ACB=60 °,/E=/CDE,然后根據三角形外角的性質可知：/ ACB= / E+/ CDE ,即可推出/ E的度數；(2)根據等邊三角形的性質可知，BD不但為AC邊上的高，也是/ ABC的角平分線，即得：Z DBC=30 °,然后再結合(1)中求得的結論，即可推出 4DBE是等腰三角形.解答:解：(1) ABC 是等邊三角形ACB=60 °,. CD=CE, ./ E=/CDE,/ ACB= ZE+ZCDE,ZEZACBX 60&qu

19、ot;二30" ，(2) ABC 是等邊三角形，BDXAC, . / ABC=60 °, ZDBC=-ZABC=30"2,. Z E=30°,，/DBC=/E,. DBE 是等腰三角形.8 .如圖，在 ABC 中，/ ACB=90 °, CD 是 AB 邊上的高，/ A=30°.求證：AB=4BD .考點：含30度角的直角三角形.分析：由4ABC中，/ ACB=90 °, / A=30 °可以推出AB=2BC ,同理可得 BC=2BD ,則結論即可證明.解答：解：. / ACB=90 °, /A=30 &

20、#176;, AB=2BC , /B=60°.又 CDAB, DCB=30 °, . . BC=2BD . . . AB=2BC=4BD .9 .如圖，ABC中，AB=AC，點D、E分別在 AB、AC的延長線上，且 BD=CE , DE與BC相交于點F.求證: DF=EF .考點：金等三角形的判定與性質;等腰三角形的性質.1分析：過D點作DG / AE交BC于G點，由平行線的性質得/ 1 = 72, / 4=73,再根據等腰三角形的性 質可得/ B=/2,則/ B=/1,于是有DB=DG ,根據全等三角形的判定易得 DFGEFC,即可 得到結論.解答：證明：過D點作DG /

21、 AE交BC于G點，如圖，1 = 7 2, /4=/3,. AB=AC , . B=/2, . B=/1, DB=DG ,而 BD=CE , . . DG=CE ,在 DFG和4EFC中rZ4=Z3,/DFG = NEFC，DFGAEFC, DF=EF .QGXEE10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜邊./ B的角平分線交 AC于D,過C作CE與BD垂直且交BD延長線 于E,求證：BD=2CE .考點：全等三角形的判定與性質.分析:解答:延長CE, BA交于一點F,由已知條件可證得 4BFE全0 BEC,所以FE=EC ,即CF=2CE ,再通 過證明4ADB叁' FAC可

22、得FC=BD ,所以BD=2CE .證明：如圖，分別延長 CE, BA交于一點F. BE XEC, ./ FEB= ZCEB=90 °, BE 平分/ ABC , . / FBE= Z CBE ,又,.BE=BE, BFEA BCE (ASA). . FE=CE . . CF=2CE .AB=AC , / BAC=90 °, / ABD+ / ADB=90 °, / ADB= / EDC, . / ABD+ Z EDC=90 °.又. / DEC=90 °, / EDC+ / ECD=90 °, . . / FCA= / DBC= /

23、 ABD .ADBA AFC. FC=DB ,BD=2EC .11 . (2012?牡丹江)如圖 ，4ABC中.AB=AC , P為底邊BC上一點，PE±AB , PF±AC , CH LAB ,垂足分別為E、F、H.易證PE+PF=CH .證明過程如下：如圖，連接AP., PEXAB , PF± AC , CHAB, . Szxabp=】AB?PE, Saacp=AC?PF, Sa abc=】AB ?CH . 222又SAabp+Saacp=Saabc， JaB?PE+AC?PF=JaB?CH. www AB=AC , PE+PF=CH .學習必備歡迎下載(1)

24、如圖，P為BC延長線上的點時，無它條標不變，PE、PF、CH文有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：(2)填空：若/ A=30 °, AABC的面積為49,點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF,當PF=3時，則 AB邊上的高 CH= 7 ,點P到AB邊的距離 PE= 4或10 .圖 圖考點：等腰三角形的性質;三角形的面積.分析：(1)連接AP .先根據一角形的面積公式分力1J表示出S/xABP , Saacp, Saabc ,再由SAABP=SAACP+SAABC 即可得出 PE=PF+PH ；(2)先根據直角三角形的性質得出 AC=2CH ,再由4ABC的面積為49

25、,求出CH=7 ,由于CH>PF, 則可分兩種情況進行討論： P為底邊BC上一點，運用結論 PE+PF=CH;P為BC延長線上的 點時，運用結論 PE=PF+CH .解答：解：(1)如圖,PE=PF+CH .證明如下： PEXAB , PFXAC , CHXAB, Saabp=-AB ?PE, Saacp=-AC?PF, Saabc=4AB?CH ,222,SaABP=SaACP+SaaBC，-AB?PE=1aC?PF+1aB?CH,又 AB=AC , ，PE=PF+CH;一一222(2) .在 AACH 中，/ A=30 °, AC=2CH .0ABe亨B?CH，AB=AC，

26、.勺CH?CH=49，CH=7.分兩種情況：P為底邊BC上一點，如圖. PE+PF=CH , .1. PE=CH - PF=7 - 3=4;P為BC延長線上的點時，如圖.PE=PF+CH,PE=3+7=10 .故答7; 4 或 10.AAA A.圖 閨12.數學課上，李老師出示了如下的題目：在等邊三角形 ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且 ED=EC ,如圖，試確定線段 AE與DB的大小關系，并說明理由小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：(1)特殊情況，探索結論學習必備歡迎下載當點E為AB的中點時，如圖1,確定線段AEmDB而1小至家，請森而寫出結論：AE = DB （填 法”

27、，之（2）特例啟發，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE = DB （填 冬"，之"或="）.理由如下：如圖2,過點E作EF/ BC , 交AC于點F.（請你完成以下解答過程）AE=2 ,求 CD或="）.（3）拓展結論，設計新題 在等邊三角形ABC中，點考點：等邊三角形的判定與性質；三角形的外角性質；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質.分析：（1）根據等邊三角形性質和等腰三角形的性質求出/D=/ ECB=30 °,求出/ DEB=30 °,求出BD=BE即可；（2）過E作EF/ BC交AC于F,求出等邊三角形 AE

28、F ,證4DEB和 ECF全等，求出BD=EF即 可；（3）當D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時， 由（2）求出CD=3 ,當E在BA的延長線上， D在BC的延長線上時，求出 CD=1 .解答：解：（1）故答案為：=.(2)過 E 作 EF/ BC 交 AC 于 F,.等邊三角形 ABC ,ABC= Z ACB= Z A=60 °, AB=AC=BC ,/ AEF= / ABC=60 °, / AFE= / ACB=60，即/ AEF= / AFE= / A=60 °,.AEF是等邊三角形，AE=EF=AF ,/ ABC= / ACB= / AFE=60 &

29、#176;, . . / DBE= / EFC=120 °, / D+ / BED= / FCE+ / ECD=60 °,. DE=EC,D= /ECD, . / BED= Z ECF,在 DEB和AECF中'/DEB:/ECFZDBE=ZEFC ,DEB ECF, BD=EF=AE ,即 AE=BD ,故答 E：=.lDE=CE(3)解：CD=1 或 3, AA理由是：分為兩種情況：如圖1E 圄1過 A 作 AM，BC 于 M ,過 E 作 EN，BC 于 N ,則 AM / EM ,.ABC 是等邊三角形，AB=BC=AC=1 , AM ±BC, BM

30、=CM= -BC=-, DE=CE , ENXBC, 二 CD=2CN , 22的長（請你直接寫出結果）學習必備歡迎下載. AM /EN, . AMB ENB , .迪=!, ，_=BE BN 2-1 BN.BN= 1,CN=1 + 1=J?, . . CD=2CN=3 ;22 2E.晝里AE MN1. AM / EN ,如圖2,作AM，BC于M ,過E作EN，BC于N , 貝U AM / EM ,.ABC 是等邊三角形，AB=BC=AC=1 ,-. AM ±BC,BM=CM= 1BC=1, DE=CE , ENXBC,CD=2CN ,2211 91 1-=_£, . MN

31、=1 , . CN=1 1,CD=2CN=12 MN2 213.已知：如圖， AF平分/ BAC, BCAF于點E,點D在AF上，ED=EA ,點P在CF上，連接PB交AF于點 M ,若/ BAC=2/MPC,請你判斷/ F與/ MCD的數量關系，并說明理由.考點：全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質.分析：根據全等三角形的性質和判定和線段垂直平分線性質求出AB=AC=CD ,推出/ CDA= / CAD= / CPM ,求出 / MPF= / CDM , / PMF= / BMA= / CMD ,在 DCM 和 PMF 中 根據三角形的內角和定理求出即可.解答：解：/ F=/MCD ,理

32、由是： AF 平分/ BAC , BCXAF , . / CAE= / BAE , Z AEC= ZAEB=90 °, 在 ACE AABE 中'/AEC =/AEB . AE=AE , ACEA ABE (ASA) . AB=AC , IZCAE=ZBAE . / CAE= /CDE，AM 是 BC 的垂直平分線，CM=BM , CE=BE , . . / CMA= Z BMA ,. AE=ED , CEXAD , . AC=CD , . . / CAD= / CDA , / BAC=2 / MPC ,又,：乙 BAC=2 / CAD , . / MPC= / CAD ,

33、./ MPC=/CDA, . / MPF= / CDM ,，/MPF=/CDM (等角的補角相等)， / DCM+ / CMD+ / CDM=180 °, / F+/ MPF+ / PMF=180 °,又. / PMF= / BMA= / CMD ,/ MCD= / F.14 .如圖，已知 4ABC是等邊三角形，點 D、E分別在BC、AC邊上，且 AE=CD , AD與BE相交于點F.(1)線段AD與BE有什么關系？試證明你的結論.(2)求/ BFD的度數.考點：等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性質.1分析：(1)根據等邊三角形的性質可知/BAC= / C=60

34、6;, AB=CA ,結合AE=CD ,可證明ABEA CAD ,從而證得結論；(2)根據/ BFD= / ABE+ / BAD , / ABE= / CAD，可知/ BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 °.解答：(1)證明：. ABC 為等邊三角形，/ BAC=/C=60°, AB=CA .在 ABE和ACAD中，rAB=AC，ZBAE=ZC 1- ABE CAD AD=BE .kAE=CD(2)解：. / BFD= ZABE+ Z BAD ,又. ABECAD , ./ ABE= Z CAD . . . / BFD= / CAD+ / BAD= /

35、BAC=60 °.15 .如圖，在 4ABC中，AB=BC , / ABC=90 °, F為AB延長線上一點，點 E在BC上，BE=BF ,連接 AE、EF 和CF, 求證：AE=CF .考點：全等三角形的判定與性質.分析：根據已知利用SAS即可判定 ABEA CBF,根據全等三角形的對應邊相等即可得到AE=CF .解答：證明：. / ABC=90 °, ./ ABE= ZCBF=90 °,又. AB=BC, BE=BF , /.A ABE ACBF (SAS). . . AE=CF .16 .已知：如圖，在 4OAB 中，/ AOB=90 °, OA=OB ,在 EOF 中，/ EOF=90 °, OE=OF,連接 AE、BF.問線 段AE與BF之間有什么關系？請說明理由.考點：全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形.分析：可以把要證明相等的線段 AE, CF放到AEO, BFO中考慮全等的條件，由兩個等腰直角三角形得AO=BO , OE=OF,再找夾角相等，這兩個夾角都是直角減去/BOE的結果，當然相等了，由此可以證明 AEOBFO;延長BF交AE于D,交OA于C,可證明/ BDA= / AOB=90。，則AEBF.解答：解：AE與BF相等且垂直，理由：在AEO與ABFO中，. RtOAB 與 Rt