1、極值點偏移問題專題拐點偏移52例1已知函數fx2lnxxx,假設正實數Xi,X2滿足fXi+fX2=4,求證：x1x22。證明：注意到f1=2,fxi+fx2=2f1fx1+fx2=2f12fx=+2x10xfx=-222,f1=0,則1,2是fx圖像的拐點，假設拐點1,2也是fxx想到了 “極值點偏移”，想到了 “對稱化構造”，的對稱中心，則有x1x2=2，證明xx22則說明拐點發生了偏移，作圖如下類似地，不妨將此問題命名為“拐點偏移”，仍可用“對稱化構造”來處理.不妨設0x11x2,要證x1x22x22x11fx2f2x14fxif2%4fx1f2x1fxf2x,x0,1,則f2x2x 1

2、222x12x41x10,x2x得Fx在0,1上單增，有FxF12、極值點偏移PK拐點偏移常規套路1、極值點偏移f%0f x1f x22 f x0x22x0f K f x22f x0x22x0 x12xo極值點偏移問題專題1對稱化構造常規套路例12010天津已知函數f xxxe1求函數fx的單調區間和極值;2已知函數gx的圖像與fx的圖像關于直線x1對稱，證明：當x1時,3如果XiX2,且fXifX2,證明:x1x22.解回，得/（了）在上/，在上、值t無極小值；e（2）g（x）的圖像與F（x）的圖像關于直裝工二1對稱，則g的解析式為J=一工）,構造輔助圖數產（幻=兌卜式耳=/（力一2-工）r

3、（x）=r（x）+r（2-x）=門1）+尸1）=（憑_】）4_門當1時，x-L0ex-1-e-r0,則產（力10，得產在（1,一）上單增,司尸a尸（1）=0r即/）目（工）-（3）由的尸三）,結合力的單調性可設而clc修將均代入（2）中不等式得/（三）J（2-巧）t又（兩）二了（9，故門看），/（2-9）.又近G2一1.在（）上單塔，放園2一/rX+兩2.來源:微信公眾號中學數學研討部落點評：該題的三問由易到難，層層遞進，完整展現了處理極值點偏移問題的一般方法一一對稱化構造的全過程，直觀展示如下:例1是這樣一個極值點偏移問題：對于函數f x xe x,已知 f x1證明Kx22.再次審視解題過

4、程，發現以下三個關鍵點:1Xi ,X2的范圍0X11X2 ；2不等式fxf2xx1;3將X2代入2中不等式，結合fx的單調性獲證結論.把握以上三個關鍵點，就可輕松解決一些極值點偏移問題.例22016新課標I卷已知函數 f X2 ex2有兩個零點.1求a的取值范圍;2設 x1 ,x2是f x的兩個零點，證明:xix22.解：10,2由1,1上、，在1,x1可設x11x2.構造輔助函數fx2a2 x e2axexe1 時，x 1 00,得F x在,1，又F10,將x1代入上述不等式中得f x1f x22 x1，又 x2x11, f1, 上/,故 x12x1 x2 2.通過以上兩例，相信讀者對極值點

5、偏移問題以及對稱化構造的一般步驟有所了解.但極值點偏移問題的結論不一定總是xx22x0,也可以是x1x22x2,借鑒前面的解題經驗，我們就可給出類似的過程.求證:已知函數fxxlnx的圖像與直線ym交于不同的兩點A x1,必,b &,y2xx2-e證明:i f xm 一 ， 一 1ln x 1,得 f x 在 0,- e上/;當0 x 1時,0； f 10；當 x 1 時，f x 0 ；當 x 0 時，fx 0洛必達法則；當x時，f x1x2 1 .小結：用對稱化構造的方法解極佳點偏移問題大致分為以下三步:stepl :求導，獲彳導f x的單調性,極值情況，作出f x的圖像，由f x1f x2 得 x1,x2的取值范圍數形結合；step2:構造輔助函數對結論x1x22x0,構造Fxfxf2x0x；對