1、一、 事件與概率1、一批按同一標準設計的小型水庫，建成后能正常運行30年的概率為0.95，能正常運行40年的概率為0.80，問現在已正常運行了30年的水庫能正常運行到40年的概率是多少？ 解：設A表示“建成后能正常運行30年”的事件，B表示“能正常運行40年”的事件，則所求概率為 2、某地區D位于甲乙兩河匯合處，假設其中任一河流泛濫都導致該地區淹沒，如果每年甲河泛濫的概率為0.2，乙河泛濫的概率為0.4，當甲河泛濫導致乙河泛濫的概率為0.3，求：1、任一年甲乙兩河都泛濫的概率；2、該地區被淹沒的概率；3、由乙河泛濫導致甲河泛濫的概率。解：令A表示事件“甲河泛濫”，B表示事件“乙河泛濫”，C表示

2、事件“地區D被淹沒”，則AB為事件“兩河都泛濫”，則： 3、某防汛部門有甲乙兩人各自獨立開展洪水預報。甲報準的概率P(A)=0.88, 乙報準的概率P(B)=0.92，求在一次預報中，甲乙兩人中至少有1人報準的概率。解：設C表示事件“至少有11人報準”，則C=A+B，由于A與B相互獨立，故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 0.920.994、統計浙江浦陽江甲乙兩地在1964-1966年3年內6月份90天中降雨的日數。甲地下雨46天，乙地下雨45天，兩地同時下雨42天。假定兩地6月份任一天為雨日的頻率穩定，試問：1、6月份兩地降雨是否相互獨立？1、6月份任一天至少有一地降雨

3、的概率為多少？解：設A,B分別表示6月份任一天甲乙兩地降雨的時間，則P(A)=46/90;P(B)=45/90,1) 1、根據假定降雨頻率穩定，所以以頻率作為概率的近似值。P(A/B)=P(AB)/P(B)=(42/90)/(45/90)=42/45=0.93而 P(A)=46/90=0.51則P(A/B)與P(A)不等，故不是相互獨立事件2、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =46/90+45/90-42/90=0.545、一批水文數據由A1，A2，A3三人抄錄，各人抄錄的數據分別為數據總量的0.5，0.25，0.25。各人的抄錯率分別為2%，1%，0.5%，現從這批數據中任取一

4、個，求該數據恰為錯誤數據的概率。解：Ai表示事件“該數為Ai所抄錄”。i=1,2,3 ，B表示事件“所取數據為錯誤數據”。 P(B)=P(A1)*P(B/A1)+P(A2)*P(B/A2)+P(A3)*P(B/A3) =0.5 *2%+ 0.25* 1% +0.25* 0.5% =0.013756、一批水文數據由A1，A2，A3三人抄錄，各人抄錄的數據分別為數據總量的0.5，0.25，0.25。各人的抄錯率分別為2%，1%，0.5%，現從這批數據中任取一個，該數據為錯誤的，試問該錯誤數據是由A1抄錄的概率是多少？解：P(A1)=0.5，P(B/A1)=2%，P(B)=0.01375由貝葉斯公式

5、得：P(A1/B)=(P(A1)*P(B/A1)/P(B)=0.5*2%/0.01375=0.727二、 隨機變量及其分布1、 有一批產品共100件，其中有5件次品，今從中任取2件，我們可用X來表示任取的2件產品中次品的件數。解：用“X=0”表示“沒有取到次品”；“X=1”表示“取到1件次品”；“X=2”表示“取到2件次品有關隨機變量幾個概念總體：在統計數學中，把某種隨機變量所取數值的全體，稱為總體。水文特征值如年徑流量的總體數是無窮的樣本：從總體中不帶主觀成分任意抽取的一部分，稱為樣本。樣本所包含的項數，稱為樣本容量離散型隨機變量的概率分布設隨機變量X為離散型隨機變量，則X的取值可以一一列舉

6、出來。若X的所有可能取值為xi(i =1,2），X取xi的概率為Pi，即P(Xxi)Pi ,i1,2則上式稱為隨機變量X的概率函數。 將X的所有可能取值xi以及與其相應的概率Pi列成表，此表稱為隨機變量X的分布列離散型隨機變量的分布函數為：概率函數的性質性質1：Pi=0,i=1,2,3,性質2：L1、一批含有13只正品、2只次品的產品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，求抽得次品數X的分布列及分布函數。解：從含有2只次品的15只產品中抽取3只，抽得的次品數的可能取值為0,1,2。X的分布列為： X012P(X=xi)22/3512/351/35X的分布函數為：F(X)=2、 3、例：一座小型水

7、庫，每年出現超標洪水的概率為1/50，假定各年是否出現超標洪水是相互獨立的，求在建成后20年內恰有2年出現超標洪水的概率和出現超標洪水的年數在4年以上的概率。解：將每年觀測該年的最大洪水看成一次試驗，按題意為20次獨立重復試驗。令x表示出現超標洪水的年數，則xB(20,1/50)于是，所求概率為4、例：據統計，上海夏季5-9月任一天出現暴雨的概率（實為頻率）為0.019，假定各日是否出現暴雨相互獨立，求任一年夏季恰有4個暴雨日的概率。解：5-9月共有153天，把觀測每天是否出現暴雨看成一次試驗，因假定各日是否出現暴雨相互獨立，所以這是伯努利試驗。令X表示出現超標洪水的日數，則XB(153，0.019)5、6、據氣象部門預測，某號臺風即將在我國東南