1、1.2因動點產生的等腰三角形問題例1 2012年揚州市中考第27題如圖1,拋物線y=ax2+bx+c經過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的 對稱軸.(1)求拋物線的函數關系式；(2)設點P是直線l上的一個動點，當 PAC的周長最小時，求點 P的坐標；(3)在直線l上是否存在點 M,使 MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合 條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.思路點撥1 .第(2)題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時 PAC的周長最小.2 .第(3)題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性.滿分解答(1)因為拋物線與 x軸交于A(1,0)、B(

2、3, 0)兩點，設y=a(x+1)(x-3), 代入點C(0 ,3),得3a = 3.解得a=- 1.圖2所以拋物線的函數關系式是y= (x+ 1)(x 3) = -x2+2x+3.(2)如圖2,拋物線的對稱軸是直線 x= 1 .當點P落在線段BC上時，PA+PC最小， PAC的周長最小. 設拋物線的對稱軸與 x軸的交點為H .由 BH PH BO=CO,得 PH = BH=2.BO CO所以點P的坐標為(1,2).(3)點 m 的坐標為(1,1)、(1,76)、(1, V6)或(1,0).考點伸展第(3)題的解題過程是這樣的：設點M的坐標為(1,m).在 MAC 中，AC2=10, MC2=

3、1 + (m3)2, MA2=4+m2.如圖 3,當 MA=MC 時，MA2=MC2.解方程 4+m2= 1+(m3)2,得 m= 1.此時點M的坐標為(1, 1).如圖4,當AM = AC時，AM2=AC2.解方程4+m2=10,得m 品.此時點M的坐標為(1,番)或(1, J6).如圖 5,當 CM=CA 時，CM2=CA2.解方程 i +(m3)2=10,得 m= 0 或 6.當M(1,6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0).例2 2012年臨沂市中考第26題如圖1,點A在x軸上，OA=4,將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置.(1)求點

4、B的坐標；(2)求經過A、O、B的拋物線的解析式；(3)在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P,使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點 P的坐標；若不存在，請說明理由.圖1思路點撥1 .用代數法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據兩點間的 距離公式列方程；然后解方程并檢驗.2 .本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起.滿分解答(1)如圖2,過點B作BCy軸，垂足為 C.在 RtOBC 中，Z BOC = 30° , OB = 4,所以 BC = 2, OC 273.所以點B的坐標為(2, 243).(2)因為拋物線與x軸交于0、A(4

5、, 0),設拋物線的解析式為y=ax(x-4),代入點B( 2, 2肉，2串所以拋物線的解析式為y(3)拋物線的對稱軸是直線2a ( 6) .解得a 史.633 2 2/3x( x 4)x x .663x=2,設點P的坐標為(2, y).當 OP=OB=4 時，OP2 = 16.所以 4+y2=16.解得 y 2P.當P在(2, 2肉時，B、O、P三點共線(如圖 2).當 BP=BO=4 時，BP2=16.所以 42 (y 2廚 16 .解得 yi y2273.當 PB=P。時，PB2=PO2.所以 42 (y 273)2 22 y2.解得 y 2忌.綜合、，點 P的坐標為(2, 273),如

6、圖2所示.考點伸展如圖3,在本題中，設拋物線的頂點為D,那么 DOA與 OAB是兩個相似的等腰三D(2,哈角形.由y x(x 4) (x 2)2 ,得拋物線的頂點為 663因此 tan DOA 23 .所以/ DOA=30° , / ODA =120° 3例3 2011年湖州市中考第24題如圖1,已知正方形 OABC的邊長為2,頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是 BC的中點.P(0,m)是線段OC上一動點(C點除外)，直線PM交AB的延長線于點 D.(1)求點D而坐標(用含m的代數式表示)；(2)當 APD是等腰三角形時，求 m的值；(3)設過P、M、B三點的拋物線與

7、x軸正半軸交于點 E,過點O作直線ME的垂線， 垂足為H (如圖2).當點P從。向C運動時，點H也隨之運動.請直接寫出點H所經過的路長(不必寫解答過程)圖2思路點撥1 .用含m的代數式表示表示 APD的三邊長，為解等腰三角形做好準備.2 .探求 APD是等腰三角形，分三種情況列方程求解.3 .猜想點H的運動軌跡是一個難題.不變的是直角，會不會找到不變的線段長呢？Rt OHM的斜邊長OM是定值，以OM為直徑的圓過點 H、C.滿分解答(1)因為 PC/DB,所以 CP PM- MC 1.因此 PM = DM, CP = BD = 2m.所以 BD DM MBAD =4- m.于是彳#到點 D的坐標

8、為(2, 4m).(2)在 APD 中，AD2 (4 m)2 , AP2 m2 4, PD2 (2PM )2 4 4(2 m)2 .當AP = AD時，(4 m)2 m2 4 .解得m 9 (如圖3).2當PA=PD時，m2 4 4 4(2 m)2.解得m 4 (如圖4)或m 4 (不合題意，3 舍去).當DA = DP時，(4 m)2 4 4(2 m)2,解得m 2 (如圖5)或m 2 (不合題意，3 舍去).綜上所述，當 APD為等腰三角形時，m的值為3, 4或2.233圖3圖4圖5(3)點H所經過的路徑長為 由 .考點伸展第(2)題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計算更簡單：

9、如圖3 ,當 AP = AD時，AM垂直平分PD ,那么 PCM s mba ,所以PCCMMB113.因此pc一，m一.BA222如圖4,當PA=PD時，P在AD的垂直平分線上.所以DA=2PO.因此4 m 2m.解 4 仔m 3第(2)題的思路是這樣的：如圖6,在RtAOHM中，斜邊OM為定值，因此以 OM為直徑的。G經過點H,也就 是說點H在圓弧上運動.運動過的圓心'角怎么確定呢？如圖7, P與。重合時，是點 H運動的起點，/ COH = 45° , /CGH = 90° .圖6圖7例4 2011年鹽城市中考第28題如圖1,已知一次函數y=-x+7與正比仞函數

10、y 4x的圖象交于點A,且與x軸交于 3點B.(1)求點A和點B的坐標；(2)過點A作ACy軸于點C,過點B作直線l/y軸.動 點P從點O出發，以每秒1個單位長的速度，沿 OC A 的路線向點 A運動；同時直線l從點B出發，以相同速度 向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R,交線段BA 或線段AO于點Q.當點P到達點A時，點P和直線l都 停止運動.在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒.當t為何值時，以 A、P、R為頂點的三角形的面積 為8是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？ 若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.思路點撥1 .把圖1復制若干個，在每一個圖形中解決一個問題.2

11、 .求 APR的面積等于8,按照點P的位置分兩種情況討論.事實上，P在CA上運動時，高是定值 4,最大面積為6,因此不存在面積為 8的可能.3 .討論等腰三角形 APQ,按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況.滿分解答y x 7, x 3(1)解方程組4 得 ，所以點A的坐標是(3, 4).y 3x,y 4.令y x7 0-Hx7.所以點B的坐標是(7, 0).(2)如圖2,當P在OC上運動時，0<t<4.由S3PRS弟形“RASAacpSApor8,得:(3+7 t) 4 1 4 (4 t) 1 t(7 t) 8 整理，得 t2 8t 12 0.解得 t=

12、2 或 t= 6(舍去).如圖3,當P在CA上運動時， APR的最大面積為6.因此，當t=2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為 8.我們先討論P在OC上運動時的情形，0W tv 4.如圖 1,在 AOB 中，/ B=45° , / AOB>45° , OB =7, AB 472 ,所以 OB>AB.因 此/ OAB>Z AOB>Z B.如圖4,點P由。向C運動的過程中， OP=BR= RQ,所以PQ/X軸.因此/ AQP = 45°保持不變，/ PAQ越來越大，所以只存在/ APQ=Z AQP的情況. 此時點A在PQ的垂直平分線上， O

13、R=2CA= 6.所以BR= 1, t= 1.我們再來討論P在CA上運動時的情形，在4APQ中， 8s A 3為定值，AP5如圖5,當AP = AQ時，解方程7 t 5t3如圖6,當QP = QA時，點Q在PA7 t 2(7 t) (t 4),得 t 5.如7,當PA = PQ時，那么8s A5 203 2226t 2(7 t)，仔 t335434<t<7.55 207 t , AQ OA OQ OA -OR -t .33 32041，倚t 38的垂直平分線上， AP=2(OR-OP).解方程-2一 .因此AQ 2AP cos A 解方程 AP綜上所述，t= 1或41或5或226時

14、， APQ是等腰三角形. 843考點伸展當P在CA上，QP = QA時，也可以用 AP 2AQ cos A來求解.例5 2010 年上海市閘北區中考模擬第 25題如圖1,在直角坐標平面內有點 A(6, 0), B(0, 8), C(4, 0),點M、N分別為線段 AC 和射線AB上的動點，點 M以2個單位長度/秒的速度自C向A方向作勻速運動，點 N以5 個單位長度/秒的速度自A向B方向作勻速運動，MN交OB于點P.(1)求證：MN : NP為定值；(2)若4 BNP與 MNA相似，求 CM的長；(3)若4 BNP是等腰三角形，求 CM的長.思路點撥1 .第(1)題求證MN : NP的值要根據點

15、 N的位置分兩種情況.這個結論為后面的計 算提供了方便.2 .第(2)題探求相似的兩個三角形有一組鄰補角，通過說理知道這兩個三角形是直角三角形時才可能相似.3 .第(3)題探求等腰三角形，要兩級(兩層)分類，先按照點N的位置分類，再按照頂角的頂點分類.注意當N在AB的延長線上時，鈍角等腰三角形只有一種情況.4.探求等腰三角形 BNP, N在AB上時，/ B是確定的，把夾/ B的兩邊的長先表示出 來，再分類計算.滿分解答(1)如圖2,圖3,作NQx軸，垂足為 Q.設點M、N的運動時間為t秒.在 RtAANQ 中，AN = 5t, NQ=4t , AQ = 3t.在圖 2 中，QO = 6-3t,

16、 MQ = 10-5t,所以 MN : NP=MQ : QO = 5 ： 3.在圖 3 中，QO = 3t-6, MQ=5t-10,所以 MN : NP=MQ : QO = 5 : 3.(2)因為 BNP與 MNA有一組鄰補角，因此這兩個三角形要么是一個銳角三角形和一 個鈍角三角形，要么是兩個直角三角形.只有當這兩個三角形都是直角三角形時才可能相似.，一. AN 3 5t 330如圖 4, BNPs MNA,在RtAMN中， 3 所以一5士.解得 t 30此AM 510 2t531時 CM 6031CM。ACAB如圖5,圖6,圖7中,OPQNMP.MNOP4tOP8t. 5當N在AB上時，在

17、BNP中,/ B是確定的,BP 8BN10(I )如圖5,當BP=BN時,解方程85t,10一.此時17CM2017(n )如圖6,當NB= NP時,4 BE -BN58t 5410 5t5，得t45時CM -2（出）當PB=PN 時，1BN24 BP .解方程1 10 5t8t ，得t的值為負數,5因此不存在如圖PB = PN的情況.7,當點N在線段AB的延長線上時，/ B是鈍角，只存在 BP=BN的可能，此時 BN 5t810.解方程8 8t5-30,5t 10,得t 一.此時 1160CM 一11圖5考點伸展如圖6,當NB=NP時，ANMA是等腰三角形,1 4-BN -BP,這樣計算簡便

18、一些.25例6 2010年南通市中考第27題如圖1,在矩形ABCD中，AB=m （ m是大于0的常數），BC = 8, E為線段BC上的動點（不與B、C重合）.連結DE,作EFXDE, EF與射線BA交于點F,設CE=x, BF=y. （1）求y關于x的函數關系式；(3)若 y（2）若m = 8,求x為何值時，y的值最大，最大值是多少?一，要使 DEF為等腰三角形，m的值應為多少? m思路點撥1 .證明 DCEs ebf,根據相似三角形的對應邊成比例可以得到y關于x的函數關系式.2 .第（2）題的本質是先代入，再配方求二次函數的最值.3 .第（3）題頭緒復雜，計算簡單，分三段表達.一段是說理，

19、如果DEF為等腰三角形，那么得到x=y;一段是計算，化簡消去m,得到關于x的一元二次方程，解出x的值; 第三段是把前兩段結合，代入求出對應的 m的值.滿分解答（1）因為/ EDC與/ FEB都是/ DEC的余角，所以/EDC = /FEB.又因為/ C=/B= 90° ,所以 DCEsEBF.因此DEEB ,即m 8x .整理，得y關于x的函數BF x y關系為y x2 x .m m(2)如圖2,當m= 8時,值為2.若y ,那么m m1 212y x x (x 4)2.因此當x= 4時，y取得最大88128AL 2. r ,x2 x.整理，得 x2 8x 12 0.解得 x= 2或

20、*= 6.要 m m使DEF為等腰三角形，只存在 ED=EF的情況.因為 DCEsEBF,所以CE=BF,即12x=y.將 x= y = 2代入 y ，得 m=6 (如圖 3);將 x= y1212 ,得 m=2 (如 m考點伸展本題中蘊涵著一般性與特殊性的辯證關系，例如：1 2 81212 16由第（1）題彳#到y x28x（x28x）（x 4）2-6,mmmmm那么不論m為何值，當x= 4時，y都取得最大值.對應的幾何意義是，不論 AB邊為 多長，當E是BC的中點時，BF都取得最大值.第（2）題m = 8是第（1）題一般性結論 的一個特殊性.再如，不論m為小于8的任何值， DEF都可以成為

21、等腰三角形，這是因為方程1 2 8 入、c，一口“、人，人，人一，x x x總有一個根x 8 m的.第（3）題是這個一般性結論的一個特殊性. m m例7 2009年重慶市中考第26題已知：如圖1,在平面直角坐標系 xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC 在x軸的正半軸上，OA = 2, OC=3,過原點。作/AOC的平分線交 AB于點D,連結DC, 過點D作DE，DC ,交OA于點E.（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；（2）將/ EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與y軸的正半軸交于點 F,另一邊與線段OC交于點G.如果DF與（1）中的拋物線交于另一點 M,點M的橫坐標為-,5那么EF = 2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）對于（2）中的點 G,在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q,使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的 PCG是等腰三角形？若存在，請求出點 Q的坐標； 若不存在成立，請說明理由.思路點撥1 .用待定系數法求拋物線的解析式，這個解析式在第（2）、（3）題的計算中要用到.2 .過點M作MNLAB,根據對應線段成比例可以求 FA的長.3 .將/ EDC繞點D旋轉的過程中， DCG與 DEF保持全等.4 .第（3）題反客為主，分三種情況討論PCG為等腰