1、一、正項級數及其審斂法二、交錯級數及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂11.2 常數項級數的審斂法上頁下頁鈴結束返回首頁上頁下頁鈴結束返回首頁一、正項級數及其審斂法 正項級數收斂的充分必要條件它的部分和數列有界. v正項級數 各項都是正數或零的級數稱為正項級數. 這是因為正項級數的部分和數列sn是單調增加的, 而單調有界數列是有極限. 下頁v定理1(正項級數收斂的充要條件) 上頁下頁鈴結束返回首頁v定理2(比較審斂法) 設1nnu和1nnv都是正項級數, 且 unvn (n1, 2, ). 推論 設1nnu和1nnv都是正項級數, 且 unkvn(k0, nN). 若1nnv收斂, 則1nnu收斂

2、 若1nnu發散, 則1nnv發散. 若1nnv收斂, 則1nnu收斂 若1nnu發散, 則1nnv發散. 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 解 下頁v定理2(比較審斂法) 例 1 討論 p級數) 0( 11pnpn的收斂性. 解 當 p1 時, nnp11, 而級數所以級數pnn11也發散. nnp11, 而級數11nn發散, 設un和vn都是正項級數, 且unkvn(k0, nN). 若級數vn收斂, 則級數un收斂 若級數un發散, 則級數vn發散. 上頁下頁鈴結束返回首頁, 1p因為當nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強級數112

3、1) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強級數收斂 , 由比較審斂法知 p 級數收斂 .時,1) 1(11pn12) 若上頁下頁鈴結束返回首頁 證 因為11) 1(1) 1(12nnnn, 設un和vn都是正項級數, 且unkvn(k0, nN). 若級數vn收斂, 則級數un收斂 若級數un發散, 則級數vn發散. vp級數的收斂性 證 下頁v定理2(比較審斂法) p級數pnn11當 p1 時收斂, 當 p1 時發散. 例 2 證明級數1) 1(1nnn是發散的. 而級數111nn發散, 故級數發散, 故級數1) 1(1nnn也發散. 上頁下頁鈴結束返回首頁調和級數

4、與 p 級數是兩個常用的比較級數.若存在,ZN對一切,Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發散則nnu上頁下頁鈴結束返回首頁v定理3(比較審斂法的極限形式) 設1nnu和1nnv都是正項級數, (1)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv收斂, 則1nnu收斂 (2)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv發散, 則1nnu發散. 下頁 例 3 判別級數11sinnn的收斂性. 解 因為111sinlim nnn, 而級數 解 所以級數11sinnn也發散. 111sinlim nnn, 而級數11nn發散, 上頁下頁鈴結束返回首頁 下頁 例 4

5、判別級數12)11ln(nn的收斂性. 解 解 因為11)11ln(lim 22nnn, 而級數11)11ln(lim 22nnn, 而級數211nn收斂, 所以級數12)11ln(nn也收斂. v定理3(比較審斂法的極限形式) 設1nnu和1nnv都是正項級數, (1)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv收斂, 則1nnu收斂 (2)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv發散, 則1nnu發散. 上頁下頁鈴結束返回首頁 解 因為101lim 321) 1( 321lim lim 1 nnnuunnnnn下頁收斂 當1(或)時級數發散 當1時級數可能收斂也可能發散. 設1nnu為

6、正項級數, 如果nnnuu1lim, 則當1時級數 v定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法) 解 所以, 根據比值審斂法可知所給級數收斂. 例5 證明級數 ) 1( 3211 3211211111 n 是收斂的. 101lim 321) 1( 321lim lim 1 nnnuunnnnn101lim 321) 1( 321lim lim 1 nnnuunnnnn, 上頁下頁鈴結束返回首頁所以, 根據比值審斂法可知所給級數發散. 下頁 例 6 判別級數 10! 10321102110132 nn的收斂性. 解 解 因為101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnn

7、n101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn, 收斂 當1(或)時級數發散 當1時級數可能收斂也可能發散. 設1nnu為正項級數, 如果nnnuu1lim, 則當1時級數 v定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法) 上頁下頁鈴結束返回首頁 例 7 判別級數nnn2) 12(1的收斂性. 提示:1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn所以, 根據比值審斂法可知所給級數收斂. 1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn1) 2

8、2() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn, 1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn, 比值審斂法失效. 下頁 解 解 因為212) 12(1nnn212) 12(1nnn, 而級數212) 12(1nnn, 而級數211nn收斂, 收斂 當1(或)時級數發散 當1時級數可能收斂也可能發散. 設1nnu為正項級數, 如果nnnuu1lim, 則當1時級數 v定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法) 上頁下頁鈴結束返回首頁 limn討論級數)0(11xxnnn的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據定理4可知:,1

9、0時當 x級數收斂 ;,1時當 x級數發散 ;.1發散級數nn,1時當 x上頁下頁鈴結束返回首頁下頁v定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設1nnu為正項級數, 如果nnnulim, 則當1 時級數 收斂 當1(或)時級數發散 當1時級數可能收斂也可能發散. 例 8 證明級數 1 3121132 nn是收斂的. 01lim 1lim lim nnunnnnnnn所以, 根據根值審斂法可知所給級數收斂. 因為 解 01lim 1lim lim nnunnnnnnn01lim 1lim lim nnunnnnnnn, 上頁下頁鈴結束返回首頁v定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設1nnu為正項級數

10、, 如果nnnulim, 則當1 時級數 收斂 當1(或)時級數發散 當1時級數可能收斂也可能發散. 例 9 判定級數12) 1(2nnn的收斂性. 所以, 根據根值審斂法可知所給級數收斂. 因為 解 21) 1(221limlimnnnnnnu21) 1(221limlimnnnnnnu21) 1(221limlimnnnnnnu, 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁時 , 級數可能收斂也可能發散 .1例如 , p 級數 :11pnnpnnnnu1)(1n說明說明 :,1pnnu 但, 1p級數收斂 ;, 1p級數發散 .上頁下頁鈴結束返回首頁證明級數11nnn收斂于S ,似代替和 S 時所產生的誤

11、差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知該級數收斂 .令,nnSSr則所求誤差為21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估計以部分和 Sn 近 上頁下頁鈴結束返回首頁v定理6(極限審斂法) 設1nnu為正項級數, (1)如果)lim(0limnnnnnulnu或, 則級數1nnu發散 (2)如果 p1, 而)0( limllunnpn, 則級數1nnu收斂. 例 10 判定級數12)11ln(nn的收斂性. 因為 解 1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun根據極限審斂法

12、, 知所給級數收斂. 1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun, 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁v定理6(極限審斂法) 設1nnu為正項級數, (1)如果)lim(0limnnnnnulnu或, 則級數1nnu發散 (2)如果 p1, 而)0( limllunnpn, 則級數1nnu收斂. 例 11 判定級數)cos1 ( 11nnn的收斂性. 222232321)(211lim)cos1 (1limlimnnnnnnnunnnnn222232321)(211lim)cos1 (1limli

13、mnnnnnnnunnnnn, 因為 解 根據極限審斂法, 知所給級數收斂. 首頁上頁下頁鈴結束返回首頁設正項級數1nnu收斂, 能否推出12nnu收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收斂 ,11nn發散 .上頁下頁鈴結束返回首頁;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判別級數的斂散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn發散 , 故原級數發散 .(2)nlimnnn1lim111nn發散 , 故原級數發散 .nnn1n1上頁下頁鈴結束返回首頁二、交錯級數及其審

14、斂法v交錯級數 交錯級數是這樣的級數, 它的各項是正負交錯的. 下頁 交錯級數的一般形式為11) 1(nnnu, 其中0nu. 1) 1(11nnn是交錯級數, 11cos1) 1(nnnn不是交錯級數. 例如, 上頁下頁鈴結束返回首頁二、交錯級數及其審斂法v交錯級數 交錯級數是這樣的級數, 它的各項是正負交錯的. 交錯級數的一般形式為11) 1(nnnu, 其中0nu. v定理7(萊布尼茨定理) 如果交錯級數11) 1(nnnu滿足條件: (1)unun1(n1, 2, 3, ) (2)0limnnu, 則級數收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un1. 下頁上頁下頁鈴結束返回

15、首頁(1)1111nnunnu(n1, 2, ), (2)這是一個交錯級數. 解 由萊布尼茨定理, 級數是收斂的, 且其和su11,余項11|1nurnn. 首頁則級數收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un1. 如果交錯級數11) 1(nnnu滿足條件: v定理7(萊布尼茨定理) (1)unun1(n1, 2, 3, ) (2)0limnnu, 因為此級數滿足 (n1, 2, ), (2)01limlimnunnn, 例 10 證明級數 1) 1(11nnn收斂, 并估計和及余項. 例12 上頁下頁鈴結束返回首頁收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!3

16、1!211)21nn用Leibnitz 判別法判別法判別下列級數的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級數各項取絕對值后所成的級數是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發散收斂收斂上頁下頁鈴結束返回首頁 三、絕對收斂與條件收斂v絕對收斂與條件收斂 下頁 若級數1|nnu收斂, 則稱級數1nnu絕對收斂 若級數1nnu 收斂, 而級數1|nnu發散, 則稱級1nnu條件收斂. 例如, 級數1211) 1(nnn是絕對收斂的, 級數111) 1(nnn是條件收斂的. 上頁下頁鈴結束返回首頁 三、絕對收斂與條件收斂v絕對收斂與條件收斂 若級數

17、1|nnu收斂, 則稱級數1nnu絕對收斂 若級數1nnu 收斂, 而級數1|nnu發散, 則稱級1nnu條件收斂. 如果級數1nnu絕對收斂, 則級數1nnu必定收斂. v定理8(絕對收斂與收斂的關系) 應注意的問題: 如果級數1|nnu發散, 我們不能斷定級數1nnu也發散. 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 解 因為|221|sinnnna, 而級數 解 下頁 如果級數1nnu絕對收斂, 則級數1nnu必定收斂. v定理8(絕對收斂與收斂的關系) 12|sin|nnna也收斂, 從而級數221|sinnnna, 而級數211nn是收斂的, 所以級數 是收斂的, 所以級數 , 從而級數12sin

18、nnna絕對收斂. 例 11 判別級數12sinnnna的收斂性. 例13 上頁下頁鈴結束返回首頁例例14. 證明級數絕對收斂 :.) 1(12nnnen令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂,絕對收斂.上頁下頁鈴結束返回首頁結束 如果級數1nnu絕對收斂, 則級數1nnu必定收斂. v定理8(絕對收斂與收斂的關系) 解 由2)11 (21|nnnnu, 有 解 121)11 (lim21|limenunnnnn可知0limnnu, 因此級數121)11 (lim21|limenunnnnn121)11 (lim21|