1、投籃命中率的數學模型 摘要隨著籃球運動的普及，籃球比賽中緊張、激烈的氣氛和更加具有攻擊性的防守等因素導致投籃命中率大大降低。根據研究顯示，影響投籃命中率有兩個關鍵因素：出手角度和出手速度。本文主要運用運動力學的知識，建立有效的籃球投射模型, 從籃球投射時球的出手角度、出手速度、出手高度和籃球球心與籃框中心的水平距離、籃球入射角之間的關系入手，分析各種因素對投籃命中率的影響，并作適當的假設，在合理估計出手點與籃框中心距離并保持出手速度穩(wěn)定的情況下, 確定投籃的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一個既能使投籃時不過多耗費體力又能提高投籃命中率的結論。首先，本文將三角函數、導數、微分等數學知識及運動學

2、、力學等物理知識相互結合，在罰球投籃這一具體問題的相應具體情境下對此進行了深入分析。其次，本文建立了與之相關的數學模型，通過不同投籃情況的圖表分析歸納出對應的公式，在多重公式的累加條件下最后整理得到滿足要求的最終條件范圍，得出模型的結果。在求解過程中，本文使用了MathType數學軟件對所用的數學符號作了系統(tǒng)的整理，借此列出了各組公式，同時給出了詳細的計算及分析過程，并得出最終結果。本文在第一問中所設定的不考慮球出手后自身的旋轉及球碰籃板或籃框的情況，即在只針對空心球的情況下又限制變量，分別討論籃框大小、籃球大小、空氣阻力及出手角度和速度的最大偏差這四個不同變量下命中率受到的的影響，給出公式，

3、計算出結果。最終，本文探討出提高罰球命中率的方法是控制投籃時的出手角度和出手速度，使之分別限制在一定的范圍內。出手角度和速度的過高或過低都會使罰球命中率不能保持在較高水平。在第二問中本文針對籃球擦板后進籃的情況，假定籃球在碰撞過程中沒有能量損耗的理想情況，討論出了分別在限制區(qū)邊線距籃框中心30度、45度、90度（罰球線）位置上這三種不同情境下出手角度、出手速度與投籃的命中率之間的關系。當運動員所站的位置改變時，即投籃出手點到籃框的距離改變時，出手角度和出手速度的增加或減少都影響了投籃的命中率。關鍵詞：命中率、出手角度、出手速度、投籃出手點、籃框中心、MathType數學軟件一、問題重述在激烈的

4、籃球比賽中，提高投籃命中率對于獲勝無疑起著決定性作用。而出手角度和出手速度是決定投籃能否命中的兩個關鍵因素。第一問，在各種投籃方式中，罰球投籃是最簡單也是很重要的投籃方式。這一問只考慮罰球投籃這一簡化模型，根據題目已給出的假設條件，假設罰球投籃不考慮球出手后球自身的旋轉及球碰籃板或籃框的情況，即只考慮空心球，在此情況下，站在罰球線上怎樣罰球才能使命中率高；第二問，考慮籃球擦板后進籃的情況，即籃球與籃板彈性碰撞的情況下，討論在限制區(qū)邊線上分別距籃框中心30度、45度、90度這三種不同（罰球線）位置上出手角度、出手速度與投籃的命中率之間的關系。二、問題分析籃球是一項技術綜合性較強的運動項目，需要隊

5、員們的共同努力與協(xié)作。但是，個人的投籃得分也十分重要。就罰球投籃而言，這是最簡單但也很重要的投籃方式。投籃的關鍵是向上舉球和起跳動作協(xié)調一致，同時保持籃球在空中最高點被迅速穩(wěn)定地投出。投球的過程可以認為是一個拋物的過程，球飛行的弧線可看作是一條拋物線。據科學和實踐證明，球的出手角度影響著球的飛行路線，球的飛行路線一般有低弧線、中弧線和高弧線三種，一般以中弧線為最佳。過去的種種實驗表明，若投籃的拋物線過高，那么球飛行的時間會過長，路程也大，受空氣的阻力和風力的影響就大，這樣不宜控制球的飛行方向，從而影響到投籃的命中率。若籃球飛行的拋物線太低，那么球的入射角較小，在這種情況下也難將籃球投中。為了在

6、比賽中更好地取勝，就必須有效地提高投籃命中率，而影響投籃命中率的兩個最為關鍵的因素就是投球時的出手角度和出手速度。因此，考慮合適的出手角度和出手速度是解決問題的最大關鍵。在這里，本文根據題目要求依次研究如下問題：第一問:在不考慮球出手后球自身的旋轉及球碰籃板或籃框的情況，根據以下分類具體研究如何提高罰球命中率1.只考慮籃框的大小，忽略空氣阻力的影響；2.考慮籃球和籃框的大小，同樣忽略空氣阻力的影響；3.考慮出手角度和出手速度的最大偏差；4.考慮有空氣阻力影響的情況。第二問:考慮籃球擦板后進籃的情況,此時忽略碰撞時的能量損耗，分別討論以下三種情況時出手角度、出手速度與投籃的命中率之間的關系1.在

7、限制區(qū)邊線上距籃框中心30度位置；2.在限制區(qū)邊線上距籃框中心45度位置；3.在限制區(qū)邊線上距籃框中心90度位置。三、模型假設假設一：運動員有良好的心理素質，防守隊員的防守不影響投籃的命中率；假設二：運動員掌握熟練的投籃技術，并能根據實際需要控制球的出手角度與相應出手速度，準確判斷出手點與籃框中心的水平距離；假設三: 投球的運動曲線和籃圈中心在同一平面內；假設四：在考慮籃球擦板進籃時，籃球與球板的碰撞是完全彈性碰撞，沒有能量損失；假設五：出手后，籃球在空中的旋轉不影響投籃效果；假設六：在第一問中不考慮球碰籃板或籃框的情況；假設七：在第二問中忽略空氣阻力的影響。四、符號說明s0:投籃出手點到籃框

8、中心水平距離,單位為米（m），這里s0=4.600mH0:籃框的高度, 單位為米（m），這里H0=3.050mR:籃框半徑, 單位為米（m），這里R=0.225mD:籃框直徑,單位為米（m），這里D=0.450md:籃球直徑,單位為米（m）h0:籃球運動員出手的高度, 單位為米（m）v:投籃出手速度, 單位為米/秒（m/s）g：重力加速度，單位為米/秒2，這里取g=9.8m/s2:投籃出手角度,單位為度(°)b:籃球入框時的入射角,單位為度(°)Dx：球入籃框時球心可以偏離（前后）的最大距離，單位為米（m）A()：入籃籃球空中運行軌跡位于圖中兩曲線之間區(qū)域，單位為平方米（）

9、L：限制區(qū)底邊邊長的一半，單位為米（m），這里L=3.000mhiqu五、模型建立與求解對問題一的模型求解：1.只考慮籃框的大小,忽略空氣阻力的影響如圖，設P1P2為籃框橫截面，籃框高為H0，半徑為R投籃出手點到籃框中心水平距離為s0，出手高度為h0投籃出手角度為，速度為v，入籃籃球空中運行軌跡位于圖中兩曲線之間區(qū)域，其面積為A()建立相應的數學模型及求解：顯然，投球入籃與否與距離s0、出手角度、出手速度v、籃框高、半徑等因素有關，為了綜合考慮這些因素，我們用入籃籃球的空中運行區(qū)域的大小來刻畫投籃的命中程度。于是，該問題轉化為求一個角度0(h0, s0)，能使運行區(qū)域面積A()最大，即 V P

10、1 P2圖1O h0 H0S0第一步：由運動學知弧、的方程為斜上拋運動軌跡方程，方程式為： 由于過點，則有：則的方程為同理，得方程為 另外，直線P1P2的方程為第二步，求運動區(qū)域面積A()運用定積分求面積，得第三步，求A()得極值點：由A()的表達式可以看出，當tan越大（即越大，<900），A()越大。但事實上由于投籃出速度只可能在某一范圍內變化，所以tan只可能在某一范圍內變化。為求tan在所給定的范圍內使A()達到最大，我們把A化為初速度v的函數來求極大值。回到運動方程 設曲線過點，代入方程得：從而有這是關于tan的一元二次方程，取其最小的根：其中，滿足 又因為所以，tan是的減函

11、數，當達到極小時，tan達到極大，由于解得 則有其中從上式可以看出，是s的減函數，由于所以由題已知H0=3.050（米），R=0.225（米），s0=4.600（米），假定h0=2.100(米)把H0、s0、R的數據代入計算，得角度、速度的范圍： 2.考慮籃球和籃框的大小，同樣忽略空氣阻力的影響圖2OA D B 由于考慮了籃球的大小，則籃球入射角b受到籃球直徑d大小的影響，如果入射角b太小，則球會碰到籃框導致球不能入框（見圖2）。利用三角函數關系容易得出球心命中框心且球入框的條件為 即 在本題給定的籃球直徑d和籃框直徑D數據下，容易算出球心命中框心且球入框的入射角b>33.1°

12、 。此外，通過簡單的計算，可以得出球心前后偏離框心的最大距離Dx滿足 由已知籃框直徑D=0.450（米），得3.考慮出手角度和出手速度的最大偏差A B圖3D記出手角度和出手速度的允許的最大偏差的為Da和Dv，因為出手角度和出手速度的最大偏差可以看作當罰球點到籃框的水平方向距離L變?yōu)長±Dx引起的偏差，此時籃框的高度是不發(fā)生變化的，于是式（2）可以用方程 （*）代替。在式（*）中假設出手速度v不變，a可以看作是x的函數，將式（*）對x求微分，并令x=L代入，有用Da和Dx代替da和dx,得到出手角度允許的最大偏差Da與Dx的關系類似地，將式（*）中的出手速度v只看成是x的函數，將式（*

13、）對x求微分，并令x=L代入，有得到出手速度的允許的最大偏差D v與Dx的關系4. 考慮有空氣阻力影響的情況這里只考慮水平方向的阻力，不考慮垂直方向的阻力，因為投籃時對球運動的阻力主要體現在水平方向上。通常水平方向的阻力與速度成正比，如果設比例系數為k, 則籃球在水平方向上的運動可以由如下微分方程描述：這是常系數線性微分方程，用高等數學中的特征方程法可以求出它的解于是得到如下球的運動參數方程：注意到通常罰球時阻力并不大（阻力系數一般不超過0.05秒-1），而罰球后球的運動時間也很短（大約1秒左右），因此，我們可以把運動方程（16）中的e kt在t=0處做泰勒展開并略去t的二次冪以上的項，就可以

14、得到更為簡潔的運動方程 將此式與式（1）相比，可以看到阻力對x(t)的影響因子為(1-kt/2),因為k=0.05,t»1，因此有阻力對命中率的影響約為0.05/2£3%。此外，如果不考慮籃球和籃框的大小，就有球心命中框心的條件為 5.計算結果與分析51 以出手點高=2.9m為例,籃球運動員投空心籃時,利用公式(26),可以求得在不同的落球點的相應出手角度范圍如下：投空心籃時落球點與出手角度的情況統(tǒng)計表8256255254253252 以出手點高為=2.5m,運動員投空心籃時,可以利用公式(26)在不同的落球點的相應出手角度范圍如下:投空心籃時落球點與出手角度的情況統(tǒng)計表8

15、2562552542532因此，從表中可以看出，當投籃的出手點高=2.5m，在罰線線投球的最佳出手角度是，這與現實中的投籃結果差異很小。對問題二的求解：1針對在限制區(qū)邊線上距籃框中心90度（罰球線）位置上的投籃現在假設與籃球板背面的那邊也有一個“籃框”，這時根據假設，補出籃板背面的部分，籃球運動的曲線也構成一條拋物線，這種情況考慮為這條拋物線也通過籃板后面的那個籃框。但這時球員要正確估計球出手點到虛擬籃框圈心的水平距離，這時投籃的情況轉化為投空心籃的情況給予考慮，（原變?yōu)?0.750，計算機程序如附錄），如圖4： y圖4 xo2針對在限制區(qū)邊線上距籃框中心30度（罰球線）位置上的投籃同樣假設與

16、籃球板背面的那邊也有一個“籃框”，這時根據假設，補出籃板背面的部分，籃球運動的曲線也構成一條拋物線，這種情況考慮為這條拋物線也通過籃板后面的那個籃框。但這時球員要正確估計球出手點到虛擬籃框圈心的距離，這時投籃的情況轉化為投空心籃的情況給予考慮，（原變?yōu)椋﹫D5如圖所示，A為籃框中心正下面，B，C，D為限制區(qū)邊線，E為人所站的在限制區(qū)邊線上距籃框中心30度的位置。HGFECDAB先求出AE的長度，再進而算出。在如圖所示中，有RtCHERtCGB，又BG=L-R，CG=，設AE=S，則EH=SCOS-R，求得又CH+AF=，即+=EAM解得 又在圖中，由余弦定理得，即從而可解得3針對在限制區(qū)邊線上距

17、籃框中心45度（罰球線）位置上的投籃同樣假設與籃球板背面的那邊也有一個“籃框”，這時根據假設，補出籃板背面的部分，籃球運動的曲線也構成一條拋物線，這種情況考慮為這條拋物線也通過籃板后面的那個籃框。但這時球員要正確估計球出手點到虛擬籃框圈心的距離，這時投籃的情況轉化為投空心籃的情況給予考慮，（原變?yōu)椋﹫D6如圖所示，A為籃框中心正下面，B，C，D為限制區(qū)邊線，N為人所站的在限制區(qū)邊線上距籃框中心45度的位置。BGHNCDFA先求出AN的長度，再進而算出。在如圖所示中，有RtCHNRtCGB，又BG=L-R，CG=，設AN=k，則NH=kCOS-R，求得又CH+AF=，即+=NAM解得 又在圖中，由

18、余弦定理得即從而可解得4結果分析當出手高度為=2.5m投碰板籃,運動員投碰板籃時, 可以利用公式(26)在不同的落球點的相應出手角度范圍如下:投碰板籃時落球點與出手角度范圍的情況統(tǒng)計表82562552542532六、模型評價與推廣本文所用的模型是建立在罰球投籃的基礎上，通過對具體投籃問題中具體情況的詳細分析，給出了滿足不同情況下有效提高投籃命中率對出手角度和出手速度的要求。本模型用數學語言即數字、圖表以及公式符號等來表達出罰球投籃這一實際問題，更科學具體地分析了投球過程中影響命中率的兩個條件對命中率的具體影響所在。此外，模型通過具體的公式計算得出適合投籃的最佳出手角度和速度范圍，使這三者之間的

19、相互關系有了數據的支持和保障。同時，本模型最終結論和結果給了籃球運動員們合理訓練的科學依據，也方便研究人員在此基礎上展開對投籃運動的深入研究。此次建立的數學模型還可用于制定有針對性的訓練計劃，包括專門針對不同身高的籃球運動員的投籃訓練計劃以及運動員不同距離下的投籃訓練。在現實籃球運動中，還有很多情況可以通過建立數學模型進行有效分析,數學模型也表現出越來越廣泛的作用。用數學方法研究體育運動，說明數學在體育訓練中也在發(fā)揮著越來越明顯的作用，所用到的數學知識也越來越深入。七、參考文獻 郭鼎文，投籃的技巧M，北京：北京體育大學出版社，2003年 投籃命中率，2011-11-29 楊遠波，第六屆中國大學

20、生籃球聯(lián)賽男子強攻防能力研究J，成都體育學院學報，(1)：72-74，2006年 何惠民，對CUBA男籃得分能力的研究與分析J，杭州師范學院學報，（10）：16-18，2003年 張新儀，寇振聲，籃球運動理論與方法M，山東：石油大學出版社，2001年 程守洙，江之永，普通物理學M，北京：高等教育出版社，2001年 翁荔，CUBA若干技術指標與隊員比賽能力的分析和探究J，上海體育學院學報，(1)：37-38，2003年八、附錄為了得到關于最小出手速度和出手角度的計算結果，取在出手高度h=1.82.1(m)下，由式（8）和（9）編程計算出最小出手速度和相應的最小出手角度，程序為：H=3.05;l=

21、4.60;Dov=9.8*(H-h+Sqrtl2+(H-h)2); a0=ArcTanv/9.8/l*180/Pi/N;v=Sqrtv;Print"h=",h," vmin=",v," a0=",a0, h,1.8,2.1,0.1執(zhí)行的計算結果為h=1.8 vmin=7.67885 a0=52.6012h=1.9 vmin=7.59851 a0=52.0181h=2. vmin=7.51861 a0=51.429h=2.1 vmin=7.43917 a0=50.8344這里出手角度a0的單位為度，出手高度h的單位為米，速度單位為米/秒

22、。 這個計算結果說明最少出手速度和相應的最小出手角度都是隨著出手高度的增加而有所減少，而出手速度一般不要小于8m/s。 為了得到出手速度和出手高度對出手角度的計算結果，取出手速度v=8.09.0(m/s)和出手高度h=1.82.1(m)下，由式（5）和（10）編程計算出手角度a1和a2及對應的入射角度b1和b2，程序為：H=3.05;l=4.60;Dov2=v2;at=Sqrt1-2*9.8*(H-h+9.8*l2/(2v2)/v2; a1=v2*(1+at)/9.8/l;a2=v2*(1-at)/9.8/l; b1=a1-2*(H-h)/l;b2=a2-2*(H-h)/l; a1=ArcTa

23、na1*180/Pi/N; a2=ArcTana2*180/Pi/N; b1=ArcTanb1*180/Pi/N; b2=ArcTanb2*180/Pi/N; Print"v=",v," h=",h; Print"a1=",a1," a2=",a2," b1=",b1," b2=",b2, v,8.0,9.0,0.5,h,1.8,2.1,0.1 執(zhí)行的計算結果為v=8. h=1.8a1=62.4099 a2=42.7925 b1=53.8763 b2=20.9213v=8. h=1.9a1=63.1174 a2=40.9188 b1=55.8206