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1、第十章 曲線積分與曲面積分（第三部分）曲線積分習題解答一、對弧長的曲線積分1計算，其中為擺線的一拱解 由于, ；而 ，故 .2計算曲線積分，其中為圓周解 圓周在極坐標下的方程為，則. 故.3 計算，其中為圓周，直線及軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界解 積分曲線為閉曲線（如右圖），可分解為，其中；.故 .4. 設螺旋線彈簧一圈的方程為，其中，它的線密度. 求此線關于軸的轉動慣量.分析 本題為對弧長的曲線積分在物理中的應用問題，應首先將所求的轉動慣量用對弧長的曲線積分表示，然后計算積分即可。解 所求的轉動慣量為，而，故 .二、對坐標的曲面積分1. 計算曲線積分，其中為區域的邊界，取逆時針方向。

2、解 令，則，即. 由于故利用格林公式，得.2. 計算曲線積分其中為曲線上從點到點的一段弧。解 補直線段：，從變到；并設閉曲線所圍區域為（如圖所示），則由Green公式，得：.又 （：，從變到），故 .3. 設是一條封閉的光滑曲線，方向為逆時針，計算曲線積分.分析 因，則，.故. 由于與在原點處不連續，因此可知：（1）若給定的曲線所圍成的閉區域不包括原點，則在此區域內曲線積分與路徑無關；（2）若給定的曲線所圍成的閉區域包括原點，那么、在所圍成的閉區域上不滿足格林公式（積分與路徑無關的條件）。此時，我們可取一條特殊的封閉光滑曲線，在上應用Green 公式，由此將上的曲線積分轉化為上的曲線積分。解

3、因，則，.故.（1）若給定的曲線圍成的閉區域不包括原點. 由知曲線積分與路徑無關，故.（2）若給定的曲線所圍成的閉區域包括原點，則取一條特殊的有向曲線（充分小），規定的方向為逆時針（如右圖所示）。設所圍城的區域為，則在上應用Green 公式，得,所以 . 而.故.或利用參數方程計算：令：，從到. 所以.4. 設在半平面內有力構成力場，其中為常數，證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關。分析 由于場力沿路徑所作的功為,所以證明場力所作的功與所取的路徑無關的問題，實質上就是證明上述曲線積分與路徑無關的問題。證明 場力沿路徑所作的功為.令，；則.由于右半平面為單連通區域，且，所以場力所作的功與所取的路徑無關。5設函數具有連續導數，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線上，曲線積分的值為常數。(1) 設為正向閉曲線，證明： ；(2) 求函數；(3) 設是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求(1) 證 設，閉曲線由組成。設為不經過原點的光滑曲線，使得和分別組成圍繞原點的分段光滑閉曲線，由曲線積分的性質和題設條件知 所以，即(

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