1、第四章：曲線坐標系張量分析張量場函數：笛卡爾坐標系下 坐標線：只變化一個曲線坐標時，矢徑的軌跡。直線坐標系下，坐標線都是直線。當，坐標線中至少有一個是曲線時，稱為曲線坐標系 協變基：所以：基矢量的導數基矢量的導數還是矢量，因而可以用基矢量的線性組合表示：其中稱為第二類Christoffel符號，稱為第一類Christoffel符號。Christoffel符號是基矢量導數在協變基下的分解系數。事實上： 指標對稱性第二類Christoffel符號的兩個協變指標用于指示哪一個基矢量（第二個協變指標）對哪一個曲線坐標（第一個協變指標）求導數。由此可見，Christoffel符號相對它的兩個協變指標是對

2、稱的。不是張量在直線坐標系中，由于基矢量不隨坐標而改變，所以第二類Christoffel符號全部為零。如果它是張量，它在任意坐標系中都應是零。與第一類Christoffel符號之間的聯系由于Christoffel符號的第三個指標是矢量的分量指標，所以可以通過度量張量進行升降。 逆變基矢量的導數 與度量張量分量導數之間的關系 (a) (b) (c)(b)+(c)-(a) 例題：求對曲線坐標的導數Hamilton 算子梯度定義 散度它的涵義是：旋度Hamilton 算子是一種具有坐標不變性微分算子，計算結果與坐標系的無關：例如：設張量 ，則有： 其中： 張量分量的協變導數。 將協變指標i替換為啞指

3、標m 與相乘（s為求導坐標標號）普通偏導數 將逆變指標i替換為啞指標m 與相乘（s為求導坐標標號）由于： 可見張量分量的協變導數是張量。1. 度量張量的協變導數為零2. 置換張量的協變導數為零 3. 張量分量的縮并與求協變導數次序可交換：求導縮并縮并 i,k指標：先縮并后求導（自由指標減少2個） 4.設 則有： 因此： Riemann-Christoffel 張量 （二階張量）互換k,j指標，可得：可以證明： （后兩個指標為求導指標；前兩個指標為分量指標）是張量，稱為藜曼曲率張量（Riemann-Christoffel）（構成法：將Christoffel 符號的m指標看作張量指標求協變導數，將

4、Christoffel 符號的m指標看作張量指標求協變導數，兩者相減）藜曼曲率張量描述的是空間的性質。歐式空間中我們中可以選取全局直線坐標使Christoffel符號全部等于零，因此，歐式空間的特征是藜曼曲率張量等于零，矢量（張量）的偏導數次序可以交換。三維空間中的曲面可以看成是二維空間，如果這個二維空間中藜曼曲率張量為零，則這張曲面就可以展開成平面（曲面上一段曲線的長度等于展開后平面上直線段的長度）。如圓柱面、錐面。 通過將R-C張量表達為度量張量的函數，可以證明：關于前兩個指標反對稱 （） 關于后兩個指標反對稱 （） 前兩個指標可以和后兩個指標互換 （）三維空間中，只有6個獨立分量：二維空

5、間中，只有是獨立分量積分定理預備定理： 互換i,k啞指標注： 在一個曲面上，定義為矢量面積微元，其中為面積微元中心點處曲面外法線方向矢量（單位向量）取一個六面體，如圖所示。六面體左側的面積矢量六面體底面的面積矢量六面體前面的面積矢量左側的面積矢量與右側的面積矢量方向不同；右側的面積矢量可以看作是左側面積矢量函數的負值僅僅改變第一個曲線坐標而得到。所以： 類似地有： 所以 體積分與面積分之間轉換定理從以上分析中不難看出： 因此，對于六面微元體：兩個微元體拼接在一起時，上式對每一個微元體都成立，因此： 然而，由于公共界面處的面積微元大小相等方向相反，等式左端與相等。其中為合成后的微元體的外表面。 任意形狀的空間區域，都可以看作是六面微元體的組合。因而：同理可以證明：其中 算子可以是點積，叉積和并乘 。（）這兩個等式把張量的面積分轉化為張量的體積分，是張量形式的Green公式。線積分與面積分之間轉換定理對開口曲面S1取一平面面積微元，則沿面元邊界的積分所以然而所以，對平面微元：由于兩個平面微元拼裝在一起后，上式對拼裝后的曲面微元依然成立；而任意曲面可以看作是平面微元的組合，所以上式對