1、專題測試數列與不等式數列與不等式均是高中數學中的重要內容，所以在高考中占有重要的地位. 高考對這兩部分的考查比較全面，在近年來的全國各地高考試題中，常常綜合在一起考查這兩部分知識，尤其是在解答題中較為明顯. 在高考試題中，數列與不等式這部分知識所占分值大約是20分. 解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題有較好的區分度. 有關數列的綜合題，經常把數列知識與不等式的知識綜合起來，其中還蘊含著豐富的數學思想，通常要用到放縮法以及函數思想（求函數的最值等）. 這就要求考生能夠靈活地運用相關數列的性質與不等式的方法去解決相關問題. 估計2008年全國各地的高考試題中

2、仍會出現數列與不等式的綜合問題，因此考生在復習過程中應當注意掌握數列與不等式中的常見方法，并注意積累一些特殊的方法，從而做到靈活處理相關的問題.本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分. 滿分為150分，考試時間為120分鐘.第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1在數列an中，a1=14，3an=3an+1+2，則使anan+2<0成立的n值是（ ） A.21 B.22 C.23 D.242已知數列an的前n項和Sn=n2-9n+2008，則滿足5<ak<8的k=（ ） A.9

3、 B.8 C.7 D.63.（理）已知數列an的通項公式是（其中nN*），那么數列an的最大項是（ ） A.a2006 B. a2007 C. a2006或a2007 D. a2008 （文）已知數列an的通項公式是an=-n2+n（其中nN*）是一個單調遞減數列，則常數的取值范圍（ ） A.(3，+) B.（-，3） C. D.4數列an的通項公式是關于x的不等式x2-x<nx（nN*）的解集中的整數個數，則數列an的前n項和Sn=（ ） A.n2 B.n(n+1) C. D.(n+1)(n+2)5若數列an、bn的通項公式分別是an=(-1)n+2007·a，且an<

4、bn，對任意nN*恒成立，則常數a的取值范圍是（ ） A.（-2，1） B. C. D.（-2，）6在等差數列an中，a10<0，a11>0且a11>|a10|，Sn是數列an的前n項和，則使Sn>0的n的最小值是（ ） A.21 B.20 C.10 D.117（理）已知首項為a、公比為q（0<|q|<1）的無窮等比數列an的各項和是S，其前n項和是Sn，且(Sn-q2S)=q，則a的取值范圍是（ ） A. B.C. D.（文）無窮數列1，的前（ ）項和開始大于10（ ）A.99 B.100 C.101 D.1028已知數列an的通項公式是an=-n2+12

5、n-32，其前n項和是Sn，則對任意的n>m（其中n、mN*），Sn- Sm的最大值是（ ） A.5 B.10 C.15 D.209已知等差數列an的前n項和是Sn，且a1=2008，且存在自然數p10，使得Sp=ap，則當n>p時，Sn與an的大小關系是（ ） A.anSn B.an>Sn C.anSn D.an< Sn10已知等差數列an的前n項和是，則使an<-2006成立的最小正整數n=（ ） A.2009 B.2010 C.2011 D.201211已知集合M=0，2，無窮數列an滿足anM，且p=，則p一定不屬于區間（ ） A. B. C. D.12已

6、知某企業2006年的生產利潤逐月增加，為了更好地發展企業，該企業也同時在改造建設. 其中一月份投入的建設資金恰好一月份的利潤相等，且與每月增加的利潤相同. 隨著投入的建設資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建設資金又恰與十二月份的生產利潤相同. 則該企業在2006年的總利潤M與總投入資金N的大小關系是 A.M>N B.M<N CM=N D.M、N的大小關系不確定第卷（非選擇題） 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上.13（理）在正項等比數列an中，a2a8=，a1+a9的最小值是m，且3a=m，其中a(k，k+1

7、)，則整數k= . （文）在正項等比數列an中，a2a8=25，a1+a9的最小值是m= .14（理）一張厚度為0.1 mm的矩形紙片，每次將此紙片沿一組對邊的中點連線對折，則經過 次這樣的折疊后其厚度開始大于100 m（假設這樣的折疊是可以實現的，參考數據：lg 2=0.3010）.（文）一種機械設備的價格為200000元，假設維護費第一年為1000元，以后每年增加1000元，當此設備的平均費用為最小時為最佳更新年限，那么此設備的最佳更新年限為 .15在ABC中，內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且a2，b2，c2成等差數列，則sinB的最大值是 .16（理）設正數數列an的前n項之和是

8、bn，數列bn前n項之積是cn，且bn+cn=1，則數列中最接近108的項是第 項.（文）在等比數列an中，a1=，公比q=，其前n項之和是Sn，x=S10(S20+S30)，y=，則x，y的大小關系是 .三、解答題：本大題共6小題，共70分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（本小題滿分10分）已知數列an是遞增等差數列，前n項和為Sn，a1=2，且a1，a2，a4成等比數列.（1）求an的通項公式；（2）令，當n為何正整數時，Tn>Tn+1？若對一切正整數n，總有Tnm，求m的取值范圍.18（本小題滿分12分）（理）已知數列an是首項為q、公比為q的等比數列（其中q>

9、;0且q1），設（其中nN*）.（1）當q=2時，求數列bn的前n項和為Sn； （2）在（1）的條件下，求的值； （3）當時，在數列bn中，是否存在最小的自然數n，使得對任意的m>n（mN*），都有bm>bn？證明你的結論.（文）數列an的通項公式是an =（其中nN*），前n項和為Sn.（1）化簡數列an的通項公式an；（2）求證：19（本小題滿分12分）醫學上為了確定某種傳染病在傳播過程病毒細胞的生長規律及其預防方法，通常將這種病毒細胞m個注入一只小白鼠的體內進行試驗.在試驗過程中，將病毒細胞的數量（個）與時間（h）的關系記錄如下表：時間（h）1234567病毒細胞總數（個）m

10、2m4m8m16m32m64m 已知該種病毒細胞在小白鼠體內的數量超過m×106個時，小白鼠將死亡，但有一種藥物對殺死此種病毒有一定的效果，在最初使用此藥物的幾天內，每次用藥可殺死其體內該病毒細胞的98%. （1）為了使小白鼠在試驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？ （2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（答案精確到小時，參考數據：lg 2=0.301 0）20（本小題滿分12分） 已知函數f (x)=x+1，點(nN*)在y = f -1(x)上，且a1=a2=1. （1）求數列an的通項公式； （2）設，若Sn>m恒成立，求常數m的取值范圍

11、.21（本小題滿分12分） 已知數列an滿足：a1=2，a2=3，2an+1=3an-an-1(n2).（1）求數列an的通項公式an；（2）求使不等式成立的所有正整數m、n的值.22（本小題滿分12分） 已知點P1、P2、P3、Pn、順次為曲線xy=（x>0）上的點（如圖所示），點Q1、Q2、Q3、Qn、順次為x軸上的點，且OP1Q1、OP2Q2、Qn-1PnQn、均為等邊三角形. 記點Qn(cn，0)，Pn(an，bn) (其中nN*). （1）求數列cn(nN*)的通項公式； （2）（理）求數列an(nN* )的通項公式及的值； （文）求數列an(nN* )的通項公式. （3）（理

12、）求證：(其中nN* ).（文）求證：(其中nN* ).參考答案1A 由已知得an+1-an=，an=14+(n-1)()=，anan+2=·<0，(n-20)(n-22)<0，20<n<22，因此n=21，選A.2B 由題意得an=，由5<ak<8得 5<-10+2k<8，<k<9，又kN，所以k=8，選B.3（理）C 由題意得an>0，當n<2006時，>1，an+1> an且a2007=a2006；當n2007時，<1，an+1< an. 綜上所述，數列an的最大項是a2007=a2

13、006. （文）B an+1- an = -(n+1)2 +(n+1)+n2-n=-2n-1<0得<2n+1，其中nN*，因此<3.4C 由x2-x<nx得0<x<n+1，nN*，因此an=n，Sn=，選C.5C 當n是奇數時，由an<bn得a<2-，a<1；當n是偶數時，由an<bn得-a<2+，-a2，a-2，因此常數a的取值范圍是.6B 設數列an的公差是d，由已知得a11>-a10，a11+a10>0，2a1+19d>0，2a1>-19d.令Sn=na1+d=n·>0即2a1+(n

14、-1)d>0，而2a1+(n-1)d>-19d+(n-1)d=(n-20)d，需(n-20)d0，又d>0，因此n20，選B.7（理）由題意得(1-q2)S=(1-q2)·=a(1+q)=q， a=1-，又0<|q|<1，0<1+q<2且1+q1，a<且a0，選C. （文）C 由題意得該數列有1+3+(2n-1)=n2項的和是n，因此其前101項和開始大于10，選C.8B 由an=-n2+12n-32=-n(n-4)(n-8)>0得4<n<8，即在數列an中，前三項以及從第9項起后的各項均為負且a4=a8=0，因此Sn

15、-Sm=am+1+am+2+an的最大值是a5+a6+a7=3+4+3=10.9B 由Sp=ap得a1+a2+ap-1=，a1+p-1=0. 又a1=2008>0，因此ap-1<0，數列an的公差小于零. 當n>p時，Sn-1=a1+a2+an-1<Sp-1=0，Sn=Sn-1+an< Sp-1+an=an，即an>Sn.10B 設數列an的公差是d，則，且a1，d=-1且a1=2，an=2-(n-1)=3-n<-2006，n>2009，因此使an<-2006成立的最小正整數n=2010，選B.11C 由題意得當a1=0時，0p=<；

16、當a1=2時，p，即1>p.因此結合各選項知選C.12A 設一月份投入的建設資金與一月份的利潤均為a，每月增加投入的百分率為r，則各月的利潤依次組成一個數列an，其中an=na(1n12，nN*)，各月的建設資金依次組成一個數列bn，其中bn=a(1+r)n-1(1n12，nN*)，由于a1=b1，a12=b12，結合函數y=ax與y=a(z1+r)x-1的圖象可知a2>b2，a3>b3，a11>b11，因此M>N.13（理）-1 由題意得a1+a9，3-1<3a=<1=30，-1<a<0，k=-1. （文）10 由題意得a1+a9>

17、14（理）20 由題意得，經過n次這樣的折疊后其厚度是0.1×2n mm，令0.1×2n>100×103=105得，2n>106，n>，因此經過20次這樣的折疊后其厚度開始大于100 m.（文）20 當此設備使用了n年時，此設備的平均費用是500·=20500，當且僅當=n，即n=20時取得等號.15 由已知得2b2=a2+c2，cosB=，因此sinB=.16（理）10 依題意得(n2)，又bn+cn=1，則+cn=1，=1，由b1=c1，b1+c1=1得b1=c1=，則cn=，bn=，所以an=bn-bn-1=n(n+1)，因此數列

18、中最接近108的項是第10項. （文）x=y 由等比數列的性質知(S20-S10)2=S10(S30-S20)，即S10S30-S10S20，也即=S10(S20+S30)，則x=y.17（1）設公差為d（d>0），則有=a1a4，(2+d)2=2(2+3d)，由此解得d=0（舍去）或d=2，因此an=2+2(n-1)=2n； （2）由（1）得n(n+1)， ，即n>2(nN* )；=1，T2=T3=，又n>2時，Tn>Tn+1，各項中數值最大值為，對一切正整數n，總有Tnm恒成立，因此m. 命題動向 近年來的全國各地的高考試題中，有關等差、等比數列的定義、通項公式以及

19、前n項和公式的基本考查常有出現，這就要求考生對于這方面的知識比較熟悉，做到靈活地使用，同時注意與其他知識間的聯系.18（理）（1）當q=2時，an=2n，bn=2n·log22n=n·2n，Sn=1·21+2·22+n·2n ， 2Sn=1·22+2·23+(n-1)·2n+n·2n+1 ， 由-得，-Sn=21+22+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1- n·2n+1+2，； （2）由（1）得； （3）當q=時，存在最小的自然數n=2008，使得對任意的m>

20、n（mN*），都有bm>bn.證明如下： 當q=且n2008時，an=，bn=n·log2，bn+1-bn=(n+1)log2-n·log2=··log2>0，由于1>>0，log2<0，-<0，因此bn+1-bn>0，即bn+1>bn，數列bn從第2008項開始各項隨著n的增大而增大，故存在最小的自然數n=2008，使得對任意的m>n（mN*），都有bm>bn.（文）（1）由an= ，an=，即an= ，由+得2an=·2n，則an=n·2n-1；（2）由an=n·

21、;2n-1得Sn=1·20+2·21+3·22+n·2n-1 ，2Sn=1·21+2·22+3·23+（n-1）2n-1+n·2n ，由-得-Sn=1+21+22+2n-1-n·2n=·2n，Sn=(n-1)·2n+1，因此. 規律總結 有關數列前n項和的求解問題，具體問題應當進行具體分析. 當一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積所構成，則此時可采用錯位相減法. 把其前n項和的表示式兩邊同時乘以公比，然后兩式相減，從而求解. 當一個數列an滿足：a1+an=a2+a

22、n-1=時，可考慮采用倒序相加法來求其前n項和.19.（1）設第一次最遲在第n（h）時注射藥物 由病毒細胞的生長規律可知，第n（h）時病毒細胞的數量是2n-1·m個.因此為了使小白鼠在試驗過程中不死亡，應有2n-1·mm×106，即2n-1106，(n-1)lg26，n1+20.9，第一次最遲應在第20（h）時注射該種藥物；（2）第20（h）時的小白鼠體內的病毒細胞數是210·m(1-98%)=個.設第一次注射藥物后的第t小時必須注射藥物，則·2tm×106，即2t+20108，(t+20)lg28，t-206.57，因此第二次注射藥

23、物的時間最遲應在自開始注射該種藥物后的第6（h），才能維持白鼠的生命. 規律總結 解決實際應用問題的一般步驟：（1）讀題：反復讀題，領悟題目的數學本質，弄清題中出現的每個量及其數學含義；（2）建模：恰當地設出關鍵量，根據題意進行數學化設計，建立目標函數（函數模型）；（3）求解：用相關的函數知識進行數學上的計算；（4）反饋：把計算獲得的結果返回到實際問題中，寫出答案.20（1）f (x)=x+1的反函數是f -1(x)=x-1， 點(n+1，)（nN*）在反函數圖象上，=n，而a1=1，·=1·2·3(n-1)，an=(n-1)！；（2）Sn= 又Sn隨n的增大而增

24、大，SnS1=，由Sn>m得，m<，即常數m的取值范圍是(-，).思路點撥 本題考查了數列的通項公式的求法. 當已知數列an的遞推公式是= f (n)的形式時，通常采用累乘的方法求解.21（1）2an+1=3an-an-1(n2)，得2(an+1-an)=an-an-1(n2)， (n2)，因此數列an-an-1是以a2-a1=1，為首項，為公比的等比數列， an-an-1=， 當n2時，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 ，又a1=2=4-， 因此an=4-. （2）由不等式，得<， ， 即，所以2<(4-m)·2n<8，2n為正偶數，4-m為整數，(4-m)·2n=4，或(4-m)·2n=6，或，或，或.解得，或或或 經檢驗使不等式成立的所有正整數m、n的值為（m，n）=（1，1）或（2，1)或(3，2). 方法探究 求遞推公式形如an+2=pan+qan+1（其中p，q是常數）的數列的通項公式. 已知數列an滿足：a1=a，a2=b，且an+2=pan+qan+1（其中p，q是常數），求an. 一般地，設an+2-x1an+1=x2(an+1-x1an)，即an+2=(x1