1、第五章 數(shù)字濾波器的實現(xiàn)學習要求：掌握數(shù)字濾波器結構流圖的表示方法；了解各種濾波器結構的特點；掌握量化噪聲、有限字長效應和系數(shù)量化對數(shù)字濾的影響。§5.0 概述§5.1 數(shù)字濾波器的結構 §5.2 量化與量化誤差 §5.3 有限字長運算對數(shù)字濾波器的影響§5.4 系數(shù)量化對數(shù)字濾波器的影響§5.5IIR DF 量化引起的非線性效應      §5.6   小結 第五章 

2、; 數(shù)字濾波器的實現(xiàn)數(shù)字濾波器的實現(xiàn)：     確定數(shù)字濾波器的數(shù)學表示形式選擇網(wǎng)絡結構形式軟硬件實現(xiàn)       一個數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)一般可表示為有理函數(shù)形式： H (z)=   這是 IIR濾波器的形式，都為0時就是一個 FIR 濾波器。這個系統(tǒng)，也可用差分方程來表示：                   &#

3、160;   即一個輸出序列是其過去點的線性組合加上當前輸入序列與過去點輸入序列的線性組合。  除了與當前的輸入有關，同時還與過去的輸入和過去的輸出有關，系統(tǒng)是帶有記憶的。 對于上面的算式，可以化成不同的計算形式，如直接計算、分解為多個有理函數(shù)相加、分解為多個有理函數(shù)相乘等等，不同的計算形式也就表現(xiàn)出不同的計算結構，而不同的計算結構可能會帶來不同的效果，或者是實現(xiàn)簡單，編程方便，或者是計算精度較高等等。 數(shù)字信號總是通過采樣和轉換得到的，而轉換的位數(shù)是有限的（一般6、8、10、12、16位、現(xiàn)在也有24位），所以存在量化誤差。另外，計算機中的數(shù)的表示也總

4、是有限字長的，經(jīng)此表示的濾波器的系數(shù)同樣存在量化誤差，在計算過程中因有限字長也會造成誤差。數(shù)字濾波器實現(xiàn)過程中要考慮這些量化誤差的影響。量化誤差主要有三種 。              A/D變換量化效應；              系數(shù)的量化效應；        數(shù)字運算的有限

5、字長效應。§5.1 數(shù)字濾波器的結構1.數(shù)字網(wǎng)絡的信號流圖表示2.信號流圖的轉置定理3.IIR數(shù)字濾波器的結構    4.FIR數(shù)字濾波器的結構5.1 數(shù)字濾波器的結構 數(shù)字網(wǎng)絡的信號流圖表示差分方程中數(shù)字濾波器的基本操作： 加法，乘法，延遲。 為了簡單，通常用信號流圖來表示其運算結構。對于加法、乘系數(shù)及延遲這三種基本運算，其方框圖和信號流圖的表示形式如圖5.1。                &

6、#160;                   例：一階數(shù)字濾波器，                             &#

7、160;   其方框圖和信號流圖表示如圖5.2和圖5.3。                                             &

8、#160;                            實際上，信號流圖是由許多節(jié)點和各節(jié)點間的定向支路連成的網(wǎng)絡。從上面的流圖可以很清楚地看到每個節(jié)點上的信號值。節(jié)點的信號值也稱為節(jié)點變量或節(jié)點狀態(tài)。圖5.3中有8個節(jié)點，每個節(jié)點的狀態(tài)分別為：       

9、  x(n)                      y(n-1)          x(n-1)               

10、     a1x(n-1)+b1y(n-1)           a0x(n)+ a1x(n-1)+b1y(n-1)   輸入節(jié)點（源點）x(n)          =               &

11、#160;        輸出節(jié)點（阱點）y(n)= 信號流圖的轉置定理：對于單個輸入、單個輸出的系統(tǒng)，通過反轉網(wǎng)絡中的全部支路的方向，并且將其輸入和輸出互換，得出的流圖具有與原始流圖同樣的傳遞函數(shù)。            信號流圖轉置的作用：        轉變運算結構；        

12、 驗證由流圖計算的傳遞函數(shù)正確與否。     運算結構對濾波器的實現(xiàn)很重要，尤其對于一些定點運算的處理機，結構的不同將會影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟性以及運算速度等許多重要的性能。對于無限長單位沖激響應(IIR)數(shù)字濾波器與有限長單位沖激響應(FIR)數(shù)字濾波器，它們在結構上各有自己不同的特點，下面將分別加以討論。IIR數(shù)字濾波器的結構IIR數(shù)字濾波器的結構特點：為遞歸型結構，存在反饋環(huán)路。      同一傳遞函數(shù)，有各種不同的結構形式。其主要結構有：(直接型 ,正準型,級聯(lián)型,并聯(lián)型) (1) 直接型 &#

13、160;      直接由數(shù)字濾波器的差分方程所得的網(wǎng)絡結構。一個階可用階差分方程描述：                        上述結構缺點：· 需要個延遲器，太多。· 系數(shù)ai、bi對濾波器性能的控制不直接，調整不方便，對極點、零點的控制難，一個ai、bi的改變會影響系統(tǒng)所有零點或極點的分布。

14、83; 對字長變化敏感（對、的準確度要求嚴格）。· 易不穩(wěn)定。      階數(shù)高時，上述影響更大。（2）正準型（直接型） 上面直接型結構中的兩部分可分別看作是兩個獨立的網(wǎng)絡(H1(z)和H2(z)，它們串接構成總的傳遞函數(shù)：H(z)=H1(z)H2(z) 由傳遞函數(shù)的不變性（系統(tǒng)是線性的），得 H(z)= H2(z)H1(z)       兩條延時鏈中對應的延時單元內容完全相同，可合并，得到直接型結構，也稱為正準型。     

15、      優(yōu)點：延遲線減少一半，變?yōu)閭€，可節(jié)省寄存器或存儲單元。缺點：缺點同直接I型。    通常在實際中很少采用上述兩種結構實現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)（一、二階）來實現(xiàn)。（3）級聯(lián)型（串聯(lián)）  一個階傳遞函數(shù)可用它的零、極點表示，即把它的分子、分母都表達為因子形式     由于系數(shù)、都是實數(shù)，極、零點只有實根和共軛復根，所以有其中 、為 實根 ， 、為復根，且， 將共軛因子合并為實系數(shù)二階因子，單實根因子看作二階因子的一個特例，則 &#

16、160;    其中 、為實系數(shù)。      用若干二階網(wǎng)絡級聯(lián)構成濾波器，二階子網(wǎng)絡稱為二階節(jié)，可用正準型結構實現(xiàn)。優(yōu)點：· 簡化實現(xiàn)，用一個二階節(jié)，通過變換系數(shù)就可實現(xiàn)整個系統(tǒng)； · 極、零點可單獨控制、調整，調整、只單獨調整了第 對零點，調整、則單獨調整了第對極點； · 各二階節(jié)零、極點的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運算誤差； · 可流水線操作。 缺點： 二階節(jié)電平難控制，電平大易導致溢出，電平小則使信噪比減小。（4）并聯(lián)型 將傳遞函數(shù)展開成部分分式之和，可

17、用并聯(lián)方式構成濾波器。            將上式中的共軛復根成對地合并為二階實系數(shù)的部分分式，                 上式表明，可用一個常數(shù)、 L個一階網(wǎng)絡和 M個二階網(wǎng)絡 并聯(lián)組成濾波器H(z)，結構如下圖：     特點：  優(yōu)點:1)系統(tǒng)   1)實現(xiàn)簡單，只

18、需一個二階節(jié)系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)即可完成；        2)極點位置可單獨調整；        3)運算速度快（可并行進行）；        4)各二階網(wǎng)絡的誤差互不影響，總的誤差小，對字長要求低。 缺點：不能直接調整零點，因多個二階節(jié)的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點，當需要準確的傳輸零點時，級聯(lián)型最合適。FIR數(shù)字濾波器網(wǎng)絡結構形式 FIR數(shù)字濾波器特點：

19、 主要是非遞歸結構，無反饋，但在頻率采樣結構等某些結構中也包含有反饋的遞歸部分。 它的傳遞函數(shù)和差分方程一般有如下形式：                       其基本結構有以下幾種：直接型,級聯(lián)型,線性相位型,頻率采樣型。（1）直接型（卷積型、橫截型）   直接型也稱卷積型或橫截型。稱為卷積型，是因差分方程是信號的卷積形式；稱為橫截型，是因為濾波器是一條輸入x(

20、n)延時鏈的橫向結構。直接由差分方程可畫出對應的網(wǎng)絡結構：        直接型的轉置：                  （2）級聯(lián)型（串聯(lián)型）    當需要控制濾波器的傳輸零點時，可將傳遞函數(shù)分解為二階實系數(shù)因子的形式：          于是可

21、用二階節(jié)級聯(lián)構成：            每一個二階節(jié)控制一對零點。缺點：所需要的系數(shù)比直接型的多；     乘法運算多于直接型。（3）線性相位型 FIR的重要特點是可設計成具有嚴格線性相位的濾波器，此時滿足偶對稱或奇對稱條件。     偶對稱時，N為偶數(shù)， H(z)=           

22、;          N為奇數(shù)， H(z)=由上兩式，可得到線性相位FIR濾波器的結構，如圖5.13、圖5.14。  線性相位型結構的乘法次數(shù)為偶數(shù)時，減為；為奇數(shù)時，減為。而 橫截型結構乘法次數(shù)為N次。（4）頻率采樣型上一章討論了FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣設計法，一個有限長序列可以由相同長度頻域采樣值唯一確定。現(xiàn)是長度為的序列，因此也可對傳遞函數(shù)H(z)在單位圓上作等分采樣，這個采樣值也就是的離散付里葉變換值H(k)。      &#

23、160;      根據(jù)據(jù)上一章討論，用頻率采樣表達z函數(shù)的內插公式為：               H(z)由和兩部分級聯(lián)而成。第一部分（部分）這是一個由節(jié)延時器組成的梳狀濾波器，它在單位圓上有個等分的零點：             其頻響為，如圖5.15。   &#

24、160;         第二部分（部分）是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡：此一階網(wǎng)絡在單位圓上有一個極點：該網(wǎng)絡在處的頻響為，是一個諧振頻率為的諧振器。這些并聯(lián)諧振器的極點正好各自抵消一個梳狀濾波器的零點，從而使這個頻率點的響應等于。兩部分級聯(lián)后，得到頻率采樣型的總結構，如圖5.16。          這一結構的最大特點是它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在處的響應，因此，控制濾波器的響應很直接。   但它也有兩個缺點

25、：·       所有的系數(shù)和都是復數(shù)，計算復雜；·     系統(tǒng)的穩(wěn)定性差。因所有諧振器的極點都在單位圓上，考慮到系數(shù)量化的影響，有些極點實際上不能與梳狀濾波器的零點相抵消，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。但    改進型的頻率采樣型結構可克服上述缺點。改進型的頻率采樣型結構       為了克服一般頻率采樣型結構的缺點，作了兩點改進。· 將極點、零點移到半徑為(小于1)的 圓上，頻率采樣點也修正到半徑為的圓上，以解

26、決系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題；· 將一階子網(wǎng)絡的復共軛對合并成實系數(shù)的二階子網(wǎng)絡。這時，                    為了使系數(shù)為實數(shù)，將共軛復根合并，利用共軛復根的對稱性，有                   

27、60;   同樣，因是實數(shù)，其也是圓周共軛對稱的，即                       因此可將第k個及第N-k個諧振器合并為一個二階網(wǎng)絡         = =其中這個二端網(wǎng)絡是一個有限Q值的諧振器，諧振器頻率為。     除了共軛極點外，還有實數(shù)

28、極點，分兩種情況：· 當為偶數(shù)時，有一對實數(shù)極點z=+/- r，對應于兩個一階網(wǎng)絡：      ，這時，      頻率采樣型結構如圖5.18，其中三種內部子網(wǎng)絡如圖5.17。所有子網(wǎng)絡都是遞歸型結構。· 當為奇數(shù)時，只有一個實數(shù)極點，對應一個一階網(wǎng)絡H0(Z)。這時，                    

29、        頻率采樣型結構小結：優(yōu)點：   選頻性好，適于窄帶濾波，這時大部分H(k)為零，只有較少的二階子網(wǎng)絡；  不同的FIR濾波器，若長度相同，可通過改變系數(shù)用同一個網(wǎng)絡實現(xiàn)；     復用性好。缺點：結構復雜，采用的存貯器多。  （5）快速算法（鏈接快速卷積、分段濾波）     卷積濾波可利用，通過快速卷積來實現(xiàn)。  §5.2 量化與量化誤差1.二進制數(shù)的表示2.定點制的量化

30、誤差：截尾處理 舍入處理3.A/D變換的量化效應   4.量化噪聲通過線性系統(tǒng)52 量化與量化誤差    用有限字長的二進制數(shù)表示數(shù)字系統(tǒng)時的三種誤差源：    對系統(tǒng)中各系數(shù)的量化誤差（受計算機中存貯器的字長影響）；    對輸入模擬信號的量化誤差（受A/D的精度或位數(shù)的影響）；   運算過程誤差，如溢出、舍入及誤差累積等（受計算機精度的影響）。 521 二進制數(shù)的表示         

31、;  (定點表示 ,浮點表示 )（1）定點表示 整個運算中，小數(shù)點在數(shù)碼中的位置固定不變，稱為定點制。一般定點制總是把數(shù)限制在±1之間。最高位為符號位，0為正，1為負；小數(shù)點緊跟在符號位后；數(shù)的本身只有小數(shù)部分，稱為“尾數(shù)”。定點作加減法時可能會超出±1，稱為“溢出”；做乘法不溢出，但字長要增加一倍。為保證字長不變，相乘后，一般要對增加的尾數(shù)作截尾或舍入處理，故帶來誤差。另一種定點數(shù)的表示是把數(shù)看成整數(shù)。 定點數(shù)的表示分為三種：         (原碼,反碼,補碼) 

32、;  設有一個（b+1）位碼定點數(shù)， 01b，則原碼表示為            例：1.111-0.875 , 0.0100.25 反碼表示：（正數(shù)同原碼，負數(shù)則將原碼中的尾數(shù)按位求反）          例： -0.8751.000 , 0.250.010 補碼表示（正數(shù)同原碼，負數(shù)則將原碼中的尾數(shù)求反并在最低位加1）      &#

33、160;    例：-0.8751.001 , 0.250.010 （2）浮點表示 x=±M×2±c，  浮點數(shù)相加要對階作處理，加完后再對和數(shù)作歸一化；作乘法時尾數(shù)相乘再截尾或舍入。一般，浮點數(shù)都用較長的字長，精度較高，所以我們討論誤差影響主要針對定點制。          定點制的量化誤差定點制中的乘法運算后會使字長增加，例如原來是b位字長，運算后增長到b1位，需對尾數(shù)作量化處理使b1位字長降低到b位。   量化

34、處理方式有兩種：截尾：保留b位，拋棄余下的尾數(shù)； 舍入：按最接近的值取b位碼。 兩種處理方式產(chǎn)生的誤差不同，另外，碼制不同，誤差也不同。 1、截尾處理：    (正數(shù), 負數(shù), )     對正數(shù)，三種碼形式相同，一個b1位的正數(shù)x為：       用·T表示截尾處理，則       截尾誤差為：可見，ET0，i全為1時，ET有最大誤差：      

35、;      一般2-b1<<2-b，令 q=2-b，則正數(shù)的截尾誤差為：                  -qET0 其中q稱為“量化寬度”或“量化階”，代表b位字長可表示的最小數(shù)。     對負數(shù)，因三種碼表示方式不同，所以誤差也不同。· 原碼（0=1）：    ， ET=xT-x

36、= ， 0ETq · 補碼（）：                          因所以。 · 反碼（）：                     

37、      （與負數(shù)的原碼相同）     量化處理的非線性特性如圖。 補碼的截尾誤差均是負值，原碼、反碼的截尾誤差取決于數(shù)的正負，正數(shù)時為負，負數(shù)時為正。2、      舍入處理通過位上加1后作截尾處理實現(xiàn)。就是通常的四舍五入法，按最接近的數(shù)取量化，所以不論正數(shù)、負數(shù)，還是原碼、補碼、反碼，誤差總是在之間，以表示對x作舍入處理。舍入處理的誤差比截尾處理的誤差小，所以對信號進行量化時多用舍入處理。5.2.3 A/D變換的量化效應    A

38、/D變換器分為兩部分：·  采樣：時間離散，幅度連續(xù)；· A/D：數(shù)字編碼，即量化，對采樣序列作舍入或截尾處理，得到有限字長數(shù)字信號。本節(jié)討論這一過程中的量化效應。   對一個采樣數(shù)據(jù)作截尾和舍入處理，則有截尾量化誤差：舍入量化誤差：上兩式給出了量化誤差的范圍，要精確知道誤差的大小很困難。一般我們總是通過分析量化噪聲的統(tǒng)計特性來描述量化誤差。可以用一統(tǒng)計模型來表示A/D的量化過程。              

39、;     其中e(n)就是量化誤差，對其統(tǒng)計特性作如下假定： e(n)是平穩(wěn)隨機序列；   與信號x(n)不相關；   e(n)任意兩個值之間不相關，即為白噪聲； e(n)具有均勻等概率分布。    由上述假定知，量化誤差是一個與信號序列完全不相關的白噪聲序列，稱為量化噪聲（是一個加性白噪聲）。量化噪聲的方差及量化信噪比           由于是均勻等概率分布，因此對補碼的截尾及舍入誤差，其概

40、率密度分布如圖5.22，                      則誤差的均值和方差為： 截尾量化噪聲：  有直流分量，會影響信號的頻譜結構。 舍入量化噪聲：可見，量化噪聲的方差與A/D變換的字長直接有關，字長越長，量化噪聲越小。定義量化信噪比： （為信號能量）         

41、; 用對數(shù)表示：       · 字長每增加一位，SNR提高6dB；· 信號能量越大，SNR越高。注：因信號本身有一定的信噪比，單純增加字長提高量化信噪比無意義。例：已知在-1至1之間均勻分布，求8、12位時A/D的SNR。     解： 因均勻分布，所以有：            均值：       

42、60;    方差：當b=8位時，SNR=54；當位時，SNR=78dB。5.2.4 量化噪聲通過線性系統(tǒng)       為了單獨分析量化噪聲通過系統(tǒng)后的影響，將系統(tǒng)近似看作是完全理想的（即具有無限精度的線性系統(tǒng)）。在輸入端線性相加的噪聲，在系統(tǒng)的輸出端也是線性相加的。            系統(tǒng)的輸出輸出噪聲為      如為舍入噪聲，則輸出噪聲的方差為：&

43、#160;           由于是白色的，各變量之間互不相關，即          代入上式，得由Parseval定理, 得 其中H(z)得全部極點在單位圓內，表示沿單位圓逆時針方向的圓周積分。或            如為截尾噪聲，則輸出噪聲中還有一直流分量   

44、   例題例3：一個8位A/D變換器（），其輸出作為IIR濾波器的輸入，求濾波器輸出端的量化聲功率，已知IIR濾波器的傳遞函數(shù)為：解：由于A/D的量化效應，濾波器輸入端的噪聲功率為：                       濾波器的輸出噪聲功率為：其積分值等于單位圓內所有極點留數(shù)的和。單位圓內有一個極點z=0.999，所以也可以直接由時域形式計算，由H(

45、z)知：h(n)=0.99n u(n) 所以              結果相同。§5.3 有限字長運算對數(shù)字濾波器的影響1.定點相乘運算統(tǒng)計分析的流圖  2.IIR 的有限字長效應   3.FIR的有限字長效應§5.3 有限字長運算對數(shù)字濾波器的影響數(shù)字濾波器的實現(xiàn)，涉及到兩種運算：相乘、相加。     定點制運算中，每一次乘法運算之后都要作一次舍入（截尾）處理，因此引入了非

46、線性誤差。 采用統(tǒng)計分析的方法，將舍入誤差作為獨立噪聲e(n)迭加在信號上，因而仍可用線性流圖表示定點相乘。                    定點相乘運算的流圖表示   對舍入噪聲e(n)作如下的假設：     平穩(wěn)隨機噪聲序列；     與輸入序列x(n)不相關；     白色噪聲，各噪聲之間也互不相關； &#

47、160;   在量化間隔上均勻分布（即每個噪聲都是均勻等概率分布）。 有了這些條件，整個系統(tǒng)就可作為線性系統(tǒng)處理。每一個輸入噪聲可用線性離散系統(tǒng)的理論求出其輸出噪聲，所有輸出噪聲線性迭加得到總的噪聲輸出。IIR 的有限字長效應                             (例2)例1：一階IIR濾

48、波器，其輸入與輸出關系可用差分方程表示為：      乘積項將引入一個舍入噪聲，如圖，求系統(tǒng)的輸出噪聲方差。   解：上述一階系統(tǒng)的單位脈沖響應為 傳遞函數(shù)為 由于是迭加在輸入端的，故由造成的輸出誤差為： 輸出噪聲方差   或    由上兩式均可求得 可見字長越大，輸出噪聲越小，同樣的方法可分析其它高階數(shù)字濾波器的輸出噪聲。  例2：一個二階IIR低通數(shù)字濾波器，傳遞函數(shù)為    采用定點制算法，尾數(shù)作舍入處理，分別計算其直接

49、型、級聯(lián)型、并聯(lián)型三種結構的輸出噪聲方差。 解：直接型 直接型結構流圖如下圖所示 圖中、分別為系數(shù)0.04、1.7、-0.72相乘后引入的舍入噪聲。采用線性迭加的方法，從圖上可看出輸出噪聲ef(n)是這三個舍入噪聲通過網(wǎng)絡形成的，如圖，因此 其中 是H0(z)的單位脈沖響應。 輸出噪聲的方差為： 將和B(z)=代入，利用留數(shù)定理得：           級聯(lián)型    將H(z)分解為：       

50、0;     結構流圖為                     由圖中可見，噪聲、通過網(wǎng)絡，               噪聲通過網(wǎng)絡，           

51、   即         其中 和分別是H0(z)和H2(z)的單位脈沖響應。 因此     將 代入，得：      思考：如果將H1(z)和H2(z)次序顛倒，結果會怎樣？ 答：因1/（1-0.92）> 1/（1-0.82），所以，輸出噪聲將變大。并聯(lián)型    將H(z)分解為部分分式     其結構如圖：     并聯(lián)型結構有

52、4個系數(shù)，有4個舍入噪聲，其中    只通過網(wǎng)絡，    網(wǎng)絡。 輸出噪聲方差為：   代入B1(z)和B2(z)及的值，得： 比較三種運算結構的誤差大小，可知 直接型 > 級聯(lián)型 > 并聯(lián)型該結論對IIR 數(shù)字濾波器有普遍意義。原因： l         直接型：所有舍入誤差都經(jīng)過全部網(wǎng)絡的反饋環(huán)節(jié)，反饋過程中誤差積累，輸出誤差很大。 l       &

53、#160; 級聯(lián)型：每個舍入誤差只通過其后的反饋環(huán)節(jié)，而不通過它前面的反饋環(huán)節(jié)，誤差小于直接型。 l          并聯(lián)型 ：每個并聯(lián)網(wǎng)絡的舍入誤差只通過本身的反饋環(huán)節(jié)，與其它并聯(lián)網(wǎng)絡無關，積累作用小，誤差小。         因此，從有效字長效應看，直接型（、型）結構最差，運算誤差最大，高階時應避免采用；級聯(lián)型結構較好；并聯(lián)型結構最好，運算誤差最小。      

54、 由此得到一個重要結論：IIR濾波器的有限字長效應與它的結構有關。FIR的有限字長效應         ( 舍入噪聲,動態(tài)范圍) IIR濾波器的分析方法同樣適用于FIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器無反饋環(huán)節(jié)（頻率采樣型結構除外），舍入誤差不會產(chǎn)生非線性振蕩，所以只要對有限字長效應作統(tǒng)計分析即可。 以橫截型結構為例分析FIR的有限字長效應。   舍入噪聲      N階FIR濾波器的傳遞函數(shù)為：      

55、         無限精度下，直接型結構的差分方程為：             有限精度運算時，        每一次相乘后產(chǎn)生一個舍入噪聲       故   輸出噪聲為：      &#

56、160;            結構流圖如圖，由圖中可見，所有舍入噪聲都直接加在輸出端，因此輸出噪聲是這些噪聲的簡單和。 于是，    可見，輸出噪聲方差與字長有關，與階數(shù)有關，越高，運算誤差越大，或者，在相同運算精度下，階數(shù)越高的濾波器需要的字長越長。               

57、60;  例題例：FIR濾波器，N=10，b=17時 ，            而N=1024，b=17時       其均方根值為                 因此，濾波器輸出中，小數(shù)點后只有4位數(shù)字是有效的，第5位數(shù)以后將受到有限字長舍入噪聲的嚴重影響。 動態(tài)范

58、圍： 定點運算時，動態(tài)范圍的限制，常導致FIR的輸出結果發(fā)生溢出。FIR輸出為：                定點數(shù)不產(chǎn)生溢出的條件：    為使結果不溢出，對采用標度因子A，使        由此確定A。 §5.4 系數(shù)量化對數(shù)字濾波器的影響1.極點位置靈敏度  2. 影響極點位置靈敏度的幾個因

59、素  §5.4 系數(shù)量化對數(shù)字濾波器的影響     下面討論第三種量化效應系數(shù)的量化效應。由于濾波器的所有系數(shù)必須以有限長度的二進碼存放在存儲器中，所以必然對理想系數(shù)值取量化，造成實際系數(shù)存在誤差，使零、極點位置發(fā)生偏離，影響濾波器性能。一個設計正確的濾波器，在實現(xiàn)時，由于系數(shù)量化，可能會導致實際濾波器特性不符合要求，嚴重時甚至使單位圓內的極點偏離到單位圓外，從而系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。 系數(shù)量化對濾波器的影響與字長有關，也與濾波器的結構有關，選擇合適的結構可減小系數(shù)量化的影響。 一、    一.

60、60; 極點位置靈敏度      影響極點位置靈敏度的關系，例1，例2 極點位置靈敏度：指極點位置對各系數(shù)偏差的敏感程度。極點位置的變化將直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。所以極點位置靈敏度可以反映系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響。     設系數(shù)量化后的傳遞函數(shù)為：                 量化后的系數(shù)為：     

61、0;           分析量化偏差造成的極點位置偏差。    設理想極點為，則            系數(shù)量化后，極點變?yōu)椋恢闷钍怯梢鸬摹＠?：一個共軛極點在虛軸附近的帶通濾波器如圖（） ，一個共軛極點在實軸附近的低通濾波器如圖（），比較它們極點位置靈敏度的大小。        

62、    解：兩者比較，前者極點間的距離大，因此前者的極點位置靈敏度比后者小，即系數(shù)量化程度相同時，前者造成的誤差比后者小。例2：一個三對共軛極點的濾波器 H(z)，用三種結構實現(xiàn)。      1）用直接型結構實現(xiàn)，極點分布如圖a ,      2）用三個二階網(wǎng)絡級聯(lián)的形式實現(xiàn)，極點分布如圖b ，              

63、60;           3）用三個并聯(lián)二階網(wǎng)絡實現(xiàn)，極點分布如圖b 。                         解： 如圖，直接型因極點分布密，極點位置靈敏度高。 級聯(lián)和并聯(lián)型，極點分布稀，極點位置靈敏度下降。     影響極點

64、位置靈敏度的幾個因素：  1.與零極點的分布狀態(tài)有關；與極點間距離成反比；  2.與濾波器結構有關。高階直接型極點位置靈敏度高；并聯(lián)或級聯(lián)型，系數(shù)量化誤差的影響小。高階濾波器應避免用直接型，盡量分解為低階網(wǎng)絡的級聯(lián)或并聯(lián)。 影響極點位置靈敏度的關系下面討論對的影響：    因每個極點都與個系數(shù)bi有關，                      ， i=1,

65、2,N 決定了量化影響的大小，也就是極點zi對系數(shù)bk變化的靈敏度。大，對的影響大。小，對的影響小。 靈敏度的計算：     由可求靈敏度。利用偏微分關系：                  故                  

66、      因                                       故        

67、               上式分母中每個因子(zi-zk)是一個由極點zk指向極點zi的矢量，整個分母是所有極點指向極點zi的矢量積，這些矢量越長，即極點彼此間的距離越遠，極點位置靈敏度越低；矢量越短，極點位置靈敏度越高。即極點位置靈敏度與極點間距離成反比。   §5.5 IIR 濾波器量化引起的非線性效應1. IIR DF零輸入極限環(huán)振蕩   2.大信號極限環(huán)振蕩  &#

68、160;   3. 小結§5.5 IIR 數(shù)字濾波器量化引起的非線性效應在IIR濾波器中由于存在反饋環(huán)，舍入處理在一定條件下會引起非線性振蕩，如零輸入極限環(huán)振蕩和大信號極限環(huán)振蕩。 一、 IIR 數(shù)字濾波器的零輸入極限環(huán)振蕩在數(shù)字濾波器中由于運算過程的尾數(shù)處理，使系統(tǒng)引入了非線性環(huán)節(jié)，使數(shù)字濾波器變成了非線性系統(tǒng)，對于非線性系統(tǒng)，當系統(tǒng)存在反饋時，在一定條件下會產(chǎn)生振蕩。 IIR濾波器是一個反饋系統(tǒng)，在無限精度情況下，如果它的所有極點都在單位圓內，這個系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，當輸入信號為零時，IIR 數(shù)字濾波器的響應將逐步變?yōu)榱恪５粸V波器，以有限精

69、度進行運算時，當輸入信號為零時，由于舍入引入的非線性作用，輸出有時不會趨于零，而是停留在某一數(shù)值上，或在一定數(shù)值間振蕩，這種現(xiàn)象稱為“零輸入極限環(huán)振蕩”。例： 設一階IIR DF的傳遞函數(shù)為：              無限精度運算時，差分方程為：            y（n）=ay(n-1)+x(n)    在定點制中，每次乘法運算后都必須對尾數(shù)作舍入處理，這時的非線性差分方