1、三角形第3節 多邊形及其內角和【知識梳理】路徑最短問題：運用軸對稱，將分散的線段集中到兩點之間，從而運用兩點之間線段最短，來實現最短路徑的求解。所以最短路徑問題，需要考慮軸對稱。典故：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”這個問題提煉出數學問題為：設C 為直線上的一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最小(

2、如圖) 作法：(1)作點B 關于直線l 的對稱點B；(2)連接AB，與直線l 交于點C.則點C 即為所求證明：如圖，在直線l上任取一點C(與點C 不重合)，連接AC，BC，BC.由軸對稱的性質知，BC BC，BCBC. AC BC AC BC AB， ACBC ACBC. 在ABC中，ABACBC， AC BCACBC.即 AC BC 最短. 預備知識：在直角三角形中，三邊具有的關系如下：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即RtABC中，C90°，則有【診斷自測】1、如圖，直線l是一條河，A、B兩地相距5km，A、B兩地到l的距離分別為3km、6km，欲在l上的某點M處修建

3、一個水泵站，向A、B兩地供水，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則鋪設的管道最短的是（）ABCD2、如圖所示，四邊形OABC為正方形，邊長為3，點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點D在OA上，且D的坐標為（1，0），P是OB上的一動點，則“求PD+PA和的最小值”要用到的數理依據是（）A“兩點之間，線段最短”B“軸對稱的性質”C“兩點之間，線段最短”以及“軸對稱的性質”D以上答案都不正確3如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直）（）ABCD【考點突破】例1、如圖，在矩形ABCD中，點E為BC

4、的中點，點F在CD上，要使AEF的周長最小時，確定點F的位置的方法為答案：作點E關于DC的對稱點E，連接AE交CD于點F解析：根據題意可知AE的長度不變，AEF的周長最小也就是AF+EF有最小值作點E關于DC的對稱點E，連接AE交CD于點F故答案為：作點E關于DC的對稱點E，連接AE交CD于點F例2、如圖所示，點P在AOB的內部，點M，N分別是點P關于直線OA，OB的對稱點，線段MN交OA，OB于點E，F.（1）若MN=20 cm，求PEF的周長；（2） 若AOB=35°，求EPF的度數.答案：見解析解析：（1）M與P關于OA對稱 OA垂直平分MP. EM=EP. 又N與P關于OB對

5、稱 OB垂直平分PN. FP=FN. PEF的周長=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).（2）連接OM，ON，OP，OA垂直平分MP，OM=OP.又OB垂直平分PN，ON=OP.MOEPOE(SSS)，POFNOF(SSS).MOE=POE，OME=OPE，POF=NOF，OPF=ONF.MON=2AOB=70°EPF=OPE+OPF=OME+ONF=180°-MON=110°.例3、如圖，AOB=30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM=2，ON=6，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是（）A2BC20D2

6、答案：A解析：作M關于OB的對稱點M，作N關于OA的對稱點N，如圖所示：連接MN，即為MP+PQ+QN的最小值根據軸對稱的定義可知：NOQ=MOB=30°，ONN=60°，ONN為等邊三角形，OMM為等邊三角形，NOM=90°，在RtMON中，MN=2故選：A例4、如圖，四邊形ABCD中，C=50°，B=D=90°，E、F分別是BC、DC上的點，當AEF的周長最小時，EAF的度數為（）A50°B60°C70°D80°答案：D解析：作A關于BC和CD的對稱點A，A，連接AA，交BC于E，交CD于F，則AA即

7、為AEF的周長最小值作DA延長線AH，C=50°，DAB=130°，HAA=50°，AAE+A=HAA=50°，EAA=EAA，FAD=A，EAA+AAF=50°，EAF=130°50°=80°，故選：D例5、如圖所示，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A2B2C4D4答案：B解析：由于點B與D關于AC對稱，所以連接BD，與AC的交點即為F點此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的

8、面積為12，可求出AB的長，從而得出結果連接BD，與AC交于點F點B與D關于AC對稱，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小正方形ABCD的面積為12，AB=2又ABE是等邊三角形，BE=AB=2故所求最小值為2故選B例6、如圖，荊州古城河在CC處直角轉彎，河寬均為5米，從A處到達B處，須經兩座橋：DD，EE（橋寬不計），設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，A、B在東西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰當地架橋可使ADDEEB的路程最短，這個最短路程是多少米？答案：見解析。解析：作AFCD，且AF=河寬，作BGCE，且BG=河寬，連接GF，與河岸相交于E、D作DD、EE即為橋

9、證明：由作圖法可知，AFDD，AF=DD，則四邊形AFDD為平行四邊形，于是AD=FD，同理，BE=GE，由兩點之間線段最短可知，GF最小；即當橋建于如圖所示位置時，ADDEEB最短距離為+5×2=110米【易錯精選】1如圖，已知銳角ABC的面積為6，AC=4，BAC的平分線交BC于點D、M、N分別是AD和BC上的動點，求BM+MN的最小值及畫出圖形2、作圖：（1）在直線l上求作一點P，使PA+PB最小；（2）在直線l上求作一點P，使PAPB最大【精華提煉】下列給出常考解題作圖方法：最大值對稱軸為線段時，在兩個端點處取到最大值對稱，然后連線，與對稱軸交點即為最小值時的情況最大值最大值

10、取線段的中垂線與對稱軸的交點，即為最小的情況，最小值為0最大值線段連線的延長線與對稱軸的交點，即為最大的情況，最大值為的周長最小值 若一個動點，則對稱一次若兩個動點，則對稱兩次 四邊形的周長最小值 情況一、兩固定點兩動點，對稱兩次，轉化為兩點之間線段最短 情況二、兩固定點，定長度動線段，利用平移，轉化為兩點之間線段最短修橋問題：兩條動線段加平行線距離之和最短問題，利用平移，轉化為兩點之間線段最短 多條折線之和最短： 將其中的兩個點對稱過去，把折線轉化成兩點之間線段最短問題之和最短 【本節訓練】訓練【1】如圖，正ABC的邊長為2，過點B的直線lAB，且ABC與ABC關于直線l對稱，D為線段BC上

11、一動點，則AD+CD的最小值是（）A4B3C2D2+訓練【2】如圖，MBN=60°，在MBN的內部有一點C，且BC=10，點D、E分別在BM、BN上，則CDE周長的最小值為訓練【3】如圖，AOB=，P在AOB內，OP=2，M和N分別為OA，OB上一動點，當PMN的周長為最小值2時，=訓練【4】如圖，在等腰ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC邊上的中點，M、N分別是AD和AB上的動點則BM+MN的最小值是基礎鞏固1、（1）如圖1，在l上找一點P，使PA+PB最小（2）如圖2，在l上找一點P，使PA+PB最小（3）如圖3，在l上找一點Q，使AQBQ最大（4）如圖4，在l上找一

12、點Q，使AQBQ最大（尺規作圖，保留作圖痕跡，并簡要說明理由以及得到的結論）2、如圖，已知A、B兩村莊的坐標分別為（2，2）、（7，4），一輛汽車從原點O出發，在x軸和y軸上行駛汽車在y軸上行駛到離A村最近的位置的坐標是；在x軸上行駛到離B村最近時的位置的坐標是 3、如圖，牧區內有一家牧民，點A處有一個馬廄，點B處是他的家l1是草地的邊沿，l2是一條筆直的河流每天，牧民要從馬廄牽出馬來，先去草地上讓馬吃草，再到河邊飲馬，然后回到家B處請在圖上畫出牧民行走的最短路線（保留作圖痕跡）4、如圖，四邊形ABCD中，BAD=130°，B=D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使

13、AMN周長最小時，則AMN+ANM的度數為巔峰突破1、如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC，點M在AC邊上，且AM=2，MC=6，動點P在AB邊上，連接PC，PM，則PC+PM的最小值是（）A2B8C2D102、如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，4），B（4，2），在x軸上取一點P，使點P到點A和點B的距離之和最小，則點P的坐標是（）A（2，0）B（4，0）C（2，0）D（0，0）3、如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家他要完成這件事情所走的最短路程是（）A15 kmB16 kmC17

14、 kmD18 km4、請閱讀下列材料：問題：如圖1，點A，B在直線l的同側，在直線l上找一點P，使得AP+BP的值最小小明的思路是：如圖2所示，先作點A關于直線l的對稱點A，使點A，B分別位于直線l的兩側，再連接AB，根據“兩點之間線段最短”可知AB與直線l的交點P即為所求請你參考小明同學的思路，探究并解決下列問題：（1）如圖3，在圖2的基礎上，設AA'與直線l的交點為C，過點B作BDl，垂足為D若CP=1，AC=1，PD=2，直接寫出AP+BP的值；（2）將（1）中的條件“AC=1”去掉，換成“BD=4AC”，其它條件不變，直接寫出此時AP+BP的值；（3）請結合圖形，求的最小值參考

15、答案【診斷自測】1、答案：作點A關于直線l的對稱點，再把對稱點與點B連接，根據軸對稱確定最短路線問題，交點即為所求點M解：根據最短路線問題，B選項圖形方案符合故選B2、解：四邊形OABC為正方形，A、C兩點關于直線OB對稱（軸對稱的性質），連接CD，則CD即為PD+PA和的最小值（兩點之間，線段最短），用到的數理依據是“兩點之間，線段最短”以及“軸對稱的性質”故選C3、解：根據垂線段最短，得出MN是河的寬時，MN最短，即MN直線a（或直線b），只要AM+BN最短就行，即過A作河岸a的垂線AH，垂足為H，在AH上取點I，使AI等于河寬連結IB交河的b邊岸于N，作MN垂直于河岸交a邊的岸于M點，所

16、得MN即為所求故選D【易錯精選】1、解：設N關于AD的對稱點為R，由于為銳角三角形，則R必在AC上，作AC邊上的高BE，E在線段AC上，連接BR交AD于M，MN=MR，BM+MN=BM+MR=BRBE，面積為6，AC=4，6=ACBE，BE=3，BM+MN的最小值為32、解：如圖所示：（1）此時：PA+PB最小；（2）此時：PAPB最大3、【本節訓練】訓練【1】解：作點A關于直線BC的對稱點A1，連接A1C交直線BC與點D，如圖所示由圖象可知當點D在CB的延長線上時，AD+CD最小，而點D為線段BC上一動點，當點D與點B重合時AD+CD值最小，此時AD+CD=AB+CB=2+2=4故選A訓練【

17、2】解：分別作點C關于BM、BN的對稱點C、C，連接CC，分別交BM、BN于點D、E，連接BC、BC點C關于BM的對稱點C，DC=DC，BC=BC，CBM=CBM；點C關于BN的對稱點為C，EC=EC，BC=BC，NBC=NBC，BC=BC=OC=10，CBC=120°，CBC是等腰三角形，CC=10CDE的周長的最小值=CD+MDE+CE=DC+DE+DECCC=10故答案為10訓練【3】 解：作P關于OA，OB的對稱點C，D連接OC，OD則當M，N是CD與OA，OB的交點時，PMN的周長最短，最短的值是CD的長PC關于OA對稱，COP=2AOP，OC=OP，同理，DOP=2BOP

18、，OP=OD，COD=COP+DOP=2（AOP+BOP）=2AOB，OC=OD=OP=2CD=2，COD是等邊三角形COD=2AOB=60°，AOB=30°，=30°，故答案為30°訓練【4】解：如圖，作BHAC，垂足為H，交AD于M點，過M點作MNAB，垂足為N，則BM+MN為所求的最小值AB=AC，D是BC邊上的中點，AD是BAC的平分線，MH=MN，BH是點B到直線AC的最短距離（垂線段最短），AB=AC=13，BC=10，D是BC邊上的中點，ADBC，AD=12，SABC=AC×BH=BC×AD，13×BH=10&

19、#215;12，解得：BH=，故答案為：基礎鞏固1、解：（1）如圖1所示；（2）如圖2所示；（3）如圖3所示；（4）如圖4所示2、解：（1）汽車行駛到點A與y軸的垂線段的垂足處時，離A村最近，此點的坐標為（0，2）；（2）汽車行駛到點B與x軸的垂線段的垂足處時離B村最近，此點的坐標為（7，0）故答案為：（0，2）、（7，0）3、解：如圖所示：4、解：如圖，作點A關于BC的對稱點A，關于CD的對稱點A，連接AA與BC、CD的交點即為所求的點M、N，BAD=130°，B=D=90°，A+A=180°130°=50°，由軸對稱的性質得：A=AAM，A=AAN，AMN+ANM=2（A+A）=2×50°=100°故答案為：100°巔峰突破1、解：如圖，過點作COAB于O，延長BO到C'，使OC'=OC，連接MC'，交AB于P，此時MC'=PM+PC'=PM+PC的值最小，連接AC'，COAB，AC=BC，ACB=90°，ACO=×90°=45°，CO=OC'，COAB，AC'=CA=AM