1、教案（首頁）授課日期授課班級課 題4.3 曲線的凸性及拐點 函數作圖計劃學時2 課時教學目標1.熟練掌握函數拐點以及凹凸區間的定義；2.掌握函數凹凸性的判定方法及拐點定理；3.熟練掌握函數草圖的做法并了解一般的作圖步驟；教學重點解決措施教學重點：函數凹凸性的判定方法及拐點定理解決措施：講授、演示教學難點解決措施教學難點：函數草圖的做法解決措施：講授、演示教學設計教學手段教學方法多媒體教學、板書演示板書設計授課提綱一、復習二、新授4.3 曲線的凸性及拐點 函數作圖（一）函數拐點以及凹凸區間的定義（二）函數凹凸性的判定方法及拐點定理（三）函數草圖的做法并了解一般的作圖步驟三、練習四、小結五、作業教

2、 學 過 程 設 計時間分配教師活動學生活動【復習提問】1. 柯西中值定理；2. 羅必塔法則及其應用；3.應用羅必塔法則需要注意的問題.【新課引入】.凸性及拐點在第一章我們討論過函數的作圖問題。但能使用的手段不多。本章第一節用導數的正負判斷函數的增減性及極值點，無疑是增加了作圖的有效手段，但僅此有時不能掌握圖形的形狀。圖4.13中中弧都是上升的，但上升的情況不同。弧是向上凸而上升，弧是向下凸而上升。因此有必要區分圖形是向上凸還是向下凹。xOxyOACDBy 在圖4.14的左圖中，我們看到，如果圖形是向上凸時，則當x增大時，切線的斜線率是減小的。而圖4.14的右圖卻正好相反，即當x增大時，切線率

3、是增大的。因此用導數增減性可完全反映出圖形的凸性。【新課講授】定義一 設函數在世遞減的，則稱曲線內是凸的；如果是遞增的，則稱曲線在內事凹的。定義二 設函數在所考慮的區間可導，則曲線的凸凹分界點稱為曲線的拐點。如何判斷曲線的凸凹及拐點呢？曲線的凹凸是由得增減性來定義的，又因為的導數，所以的增減可由的正負號來判斷。于是可得到下列幾個定理。定理一 若，則曲線在內是凹的，反之，若則曲線在內事凸的。定理二（拐點的必要條件）若點是曲線的拐點。且處二階導數存在。則。定理三 若兩側變號，則點是曲線的拐點。例1 求曲線的拐點。并判斷曲線在什么區間上是凸的，在什么區間上是凹的？解 函數的定義域是。 ， 令。討論如

4、下：當曲線是凸的，當曲線是凹的，當由此知拐點為為凹區間。例2 ，解 算出 ， ，函數的定義域為，討論如下： 當x時，曲線是凸的，因為x=0不在定義域內，所以曲線無拐點。.函數作圖作函數的圖形，大致可以分為以下步驟：（1） 初步研究：如何討論定義域，對稱性，周期性等等；（2） 討論增減區間.極值點及極值；（3） 討論凹凸區間及拐點；（4） 討論一些特殊情形，如有點，說明曲線與直線無限接近（如圖4.15），直線稱為曲線的水平漸近線。若（常數），說明曲線與直線無限接近.直線稱為曲線的水平漸近線（如圖4.16）.（5） 根據需要再增算幾個點 注意，作圖時限討論（1）（2）（4）與（5）.因為往往有這樣

5、情形（1），（2），（4）與足以畫出其圖形.當還不足以畫出圖形時，在討論（3）.yox0x圖 4.15yox圖 4.16 例3 作函數的圖形. 解 函數的定義域為，是奇函數，所以圖形對稱于原點. ，是駐點，它把定義域分為三段.圖形變化見下表。xx=-1(-1,1)x=1-0+0-圖形極小值點極大值點極小值為討論漸近線：。故有水平漸近線有以上材料就可大致畫出圖形。y=x1+x2x0y例4 作函數的圖形。解：函數的定義域為，是偶函數，圖形對稱y軸，且y0,所以圖形在x軸的上方。令xx=0+0-圖形極大值點極大值為令(-,-12)-12（-12 ，12 ）12(12 , )yn+00+圖形凹拐點凸拐

6、點凹拐點為（-12 ，e-12 ）, （12 ，e12 ）.limxe-x2=0,有水平漸近線y=0.根據以上討論的情況，可大致地作出圖形（圖4.18）。例5 作函y=ln(x2 -1) 的圖形.解 定義域為(- ，-1）（1 +),圖形對稱y軸。y=2xx2-1 .在定義域內無駐點，也沒有極值點。x(- ,-1)-1 ,1 (1 , + )y-+圖形無定義yn=-2(1+x2)(x2 -1)2 . 無y= 0的點，無拐點。在(- ，-1）及（1 +) 內y 0 ,圖形是凸的。又limx-1-lnx2-1=-,limx1+ln(x2-1)=-, limxlnx2-1=+ .所以有垂直漸近線x=

7、-1 (左側)，x=1（右側）當x=2 時，y=0 。根據以上討論可大致作出其圖形（圖4.19）。-2202xy=lnx2-1x=1x=-1【課堂小結】1.函數的凹凸性及其判別方法,拐點及其求法； 2.曲線的漸近線；3.函數圖形的作法.【作業布置】課內練習：1、求曲線y=3x4-4x3+1 的拐點及凹凸區間。2、求曲線y=x+xx-1的拐點及凹凸區間。3、作y=x4+14x4的圖形.4、作y=x21+x2 的圖形。5、作y=ln(1+x2) 的圖形課外作業：試確定一個x的六次多項式P（x），已和曲線y=P(x)切x軸于原點，且在拐點（-1，1），在（1，1）處切線水平。【教學反思】5分鐘5分鐘50分鐘5分鐘13分