1、 南昌大學實驗報告學生姓名： 周倩文 學 號： 6301712010 班級： 通信121班 實驗類型： 驗證綜合設計創新 實驗日期： 5月30號 實驗成績： z變換及離散時間系統的Z域分析一、目的（1）掌握利用MATLAB繪制系統零極點圖的方法 （2）掌握離散時間系統的零極點分析方法（3）掌握用MATALB實現離散系統頻率特性分析的方法（4）掌握逆Z變換概念及MATLAB實現方法二、離散系統零極點線性時不變離散系統可用線性常系數差分方程描述，即 （8-1）其中為系統的輸出序列，為輸入序列。將式（8-1）兩邊進行Z變換的 （8-2）將式（8-2）因式分解后有： （8-3）其中為常數，為的個零點，

2、為的個極點。系統函數的零極點分布完全決定了系統的特性，若某系統函數的零極點已知，則系統函數便可確定下來。因此，系統函數的零極點分布對離散系統特性的分析具有非常重要意義。通過對系統函數零極點的分析，可以分析離散系統以下幾個方面的特性：l 系統單位樣值響應的時域特性；l 離散系統的穩定性；l 離散系統的頻率特性；三、離散系統零極點圖及零極點分析1零極點圖的繪制 設離散系統的系統函數為則系統的零極點可用MATLAB的多項式求根函數roots()來實現，調用格式為：p=roots(A)其中A為待根求多項式的系數構成的行矩陣，返回向量則是包含多項式所有根的列向量。多項式根的MATLAB命令舉例如下：A=

3、1 3/4 1/8;P=roots(A)運行結果為：P = -0.5000 -0.2500需注意的是，在求系統函數零極點時，系統函數可能有兩種形式：一種是分子、分母多項式均按z的降冪次序排列；另一種是分子、分母多項式均按的升冪次序排列。這兩種方式在構造多項式系數向量時稍有不同。（1）按z的降冪次序排列：系數向量一定要由多項式最高次冪開始，一直到常數項，缺項要用0補齊；如其分子、分母多項式系數向量分別為A=1 0 2 0、B=1 3 2 2 1。（2）按的升冪次序排列：分子和分母多項式系數向量的維數一定要相同，不足的要用0補齊，否則的零點或極點就可能被漏掉。如其分子、分母多項式系數向量分別為A=

4、1 2 0、B=1 1/2 1/4。用roots()求得的零極點后，就可以用plot()函數繪制出系統的零極點圖。下面是求系統零極點，并繪制其零極點圖的MATLAB實用函數ljdt()，同時還繪制出了單位圓。例1：繪制如下系統函數的零極點（1）（2）解：MATLAB命令如下（1）繪制的零極點圖如圖8-1（a）所示。（2） 繪制的零極點圖如圖8-1（b）所示。 （a） (b)2離散系統零極點分析（1）離散系統零極點分布與系統穩定性信號與系統課程已講到離散系統穩定的條件為：l 時域條件：離散系統穩定的充要條件為，即系統單位樣值響應絕對可和；l Z域條件：離散系統穩定的充要條件為系統函數的所有極點均

5、位于Z平面的單位圓內。對于三階以下的低階系統，可以利用求根公式求出系統函數的極點，從而判斷系統的穩定性，但對于高階系統，手工求解則顯得十分困難，這時可以利用MATLAB來實現。實現方法是調用前述的函數ljdt()繪出系統的零極點圖，然后根據極點的位置判斷系統的穩定性。例2：系統函數如例1所示，判斷兩個系統的穩定性。解：由例1繪出的零極點圖可以看出兩個系統的穩定性分別為：第（1）個系統不穩定；第（2）個系統穩定。（2）零極點分布與系統單位樣值時域特性的關系 從信號與系統課程中已經得知，離散系統的系統函數與單位樣值響應是一對Z變換對；因而，必然包含了的固有特性。離散系統的系統函數可以寫成 （8-4

6、）若系統的個極點均為單極點，可將進行部分分式展開為： （8-5）由Z逆變換得： （8-6）從式（8-5）和（8-6）可以看出離散系統單位樣值響應的時域特性完全由系統函數的極點位置決定。從信號與系統的學習中已經得出如下規律：l 位于Z平面單位圓內的極點決定了隨時間衰減的信號分量；l 位于Z平面單位圓上的一階極點決定了的穩定信號分量；l 位于Z平面單位圓外的極點或單位圓上高于一階的極點決定了的隨時間增長的信號分量； 下面以例子證明上述規律的正確性：例3：已知如下系統的系統函數，試用MATLAB分析系統單位樣值響應的時域特性。（1），單位圓上的一階實極點；（2），單位圓上的一階共軛極點；（3），單位

7、圓上的二階實極點；（4），單位圓內的一階實極點；（5），單位圓內的二階實極點；（6），單位圓外的一階實極點；解：利用MATLAB提供的函數impz()繪制離散系統單位樣值響應波形，impz()基本調用方式為（其他方式，請讀者參看MATLAB幫助）：impz(b,a,N)，其中，b為系統函數分子多項式的系數向量，a為系統函數分母多項式的系數向量，N為產生序列的長度；需要注意的是，b和a的維數應相同，不足用0補齊，例如的b=0 0 1，a=1 2 1。下面是求解個系統單位樣值響應的MATLAB命令：（1）a=1 -1;b=0 1;impz(b,a,10)運行結果如圖8-2（a）所示。（2）a=1

8、2*cos(pi/8) 1;b=0 0 1;impz(b,a,50)運行結果如圖8-2（b）所示。（3）a=1 -2 1;b=0 1 0;impz(b,a,10)運行結果如圖8-2（c）所示。（4）a=1 -0.8;b=0 1;impz(b,a,10)運行結果如圖8-2（d）所示。（5）a=1 -1 0.25;b=0 0 1;impz(b,a,10)運行結果如圖8-2（e）所示。（6）a=1 -1.2;b=0 1;impz(b,a,10)運行結果如圖8-2（f）所示。 穩定 不穩定 不穩定 穩定 穩定 不穩定四、離散系統頻率特性分析1離散系統的頻率響應對于某因果穩定離散系統，如果激勵序列為正弦

9、序列：則，根據信號與系統課程給出的結果有，系統的穩態響應為：定義離散系統的頻率響應為其中，稱為離散系統的幅頻特性； 稱為離散系統的相頻特性；是以為周期的周期函數，只要分析在范圍內的情況，便可分析出系統的整個頻率特性。2用MATLAB實現離散系統的頻率特性分析方法（1）直接法設某因果穩定系統的系統函數，則系統的頻響特性為：MATLAB提供了專門用于求離散系統頻響特性的函數freqz()，調用freqz()的格式有以下兩種：l H,w=freqz(B,A,N) B和A分別為離散系統的系統函數分子、分母多項式的系數向量，N為正整數，返回量H則包含了離散系統頻響在范圍內N個頻率等分點的值，向量w則包含

10、范圍內N個頻率等分點。調用中若N默認，默認值為512。l H,w=freqz(B,A,N,whole)該調用格式將計算離散系統在范圍內N個頻率等分點的頻率響應的值。因此，可以先調用freqz()函數計算系統的頻率響應，然后利用abs()和angle()函數及plot()函數，即可繪制出系統在或范圍內的頻響曲線。例4：繪制如下系統的頻響曲線解：MATLAB命令如下：運行結果如圖所示。 （2）幾何矢量法利用幾何矢量求解示意圖如圖8-4所示。有：則系統的幅頻特性和相頻特性分別為： （8-7） （8-8）根據式（8-7）和（8-8），利用MATLAB來求解頻率響應的過程如下：l 根據系統函數定義分子、

11、分母多項式系數向量和；l 調用前述的ljdt()函數求出的零極點，并繪出零極點圖；l 定義Z平面單位圓上的個頻率分點；l 求出所有的零點和極點到這些等分點的距離；l 求出所有的零點和極點到這些等分點矢量的相角；l 根據式（8-7）和（8-8）求出系統的和；l 繪制指定范圍內系統的幅頻曲線和相頻曲線；下面是實現上述過程的實用函數dplxy()。有四個參數：k為用戶定義的頻率等分點數目；B和A分別為系統函數分子、分母多項式系數向量；r為程序繪制的頻率特性曲線的頻率范圍（）。例5：已知某離散系統的系統函數為：繪出該系統的零極點圖及頻響特性。解：MATLAB命令如下：A=1 -1/4;B=5/4 -5/4;dplxy(500,2,A,B)運行結果如圖8-4所示。 圖8-4 離散系統的零極點圖、幅頻和相頻曲線 5 實驗總結與思考 實驗主要是研究離散系統的Z變換，通過這次試驗，基本學會用MATLAB的多項式求根函數roots()來實現繪制系統零極點圖的方法、這里需要注意的是，在求系統函數零極點時，系統函數可能有兩種形式。還學會了逆z變換的求法及離散系統頻率特性的分析方法；認識到通過matlab來求Z變換求解離散時間系統的系統函數的零、極點以及如何通過離散系統的系