1、一、知識總結(jié)1 張量概念1.1 指標(biāo)記法啞標(biāo)和自由指標(biāo)的定義及性質(zhì)自由指標(biāo)：在每一項中只出現(xiàn)一次，一個公式中必須相同。性質(zhì)：在表達式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)兩次。啞標(biāo)：一個單項式內(nèi)，在上標(biāo)（向量指標(biāo)）和下標(biāo)（余向量指標(biāo)）中各出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次的指標(biāo)。性質(zhì)：啞標(biāo)可以把多項式縮寫成一項；自由指標(biāo)可以把多個方程縮寫成一個方程。例：(1.1)式(1.1)可簡單的表示為下式：(1.2)其中：i為自由指標(biāo)，j為啞標(biāo)。特別區(qū)分，自由指標(biāo)在同一項中最多出現(xiàn)一次，表示許多方程寫成一個方程；而啞標(biāo)j則在同項中可出現(xiàn)兩次，表示遍歷求和。在表達式或者方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項中

2、出現(xiàn)兩次。1.2 Kronecker符號定義為：(1.3)的矩陣形式為：(1.4)可知。符號的兩指標(biāo)中有一個與同項中其它因子的指標(biāo)相同時，可把該因子的重指標(biāo)換成的另一個指標(biāo)，而符號消失。如： (1.5)的作用：更換指標(biāo)、選擇求和。1.3 Ricci符號為了運算的方便，定義Ricci符號或稱置換符號：(1.6)圖1.1 i,j,k排列圖的值中，有3個為1，3個為-1，其余為0。Ricci符號（置換符號）是與任何坐標(biāo)系都無關(guān)的一個符號，它不是張量。1.4 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換圖1.2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換如上圖所示，設(shè)舊坐標(biāo)系的基矢為，新坐標(biāo)系的基矢為。有 在下進行分解： 在下進行分解： 其中， 為新舊坐標(biāo)軸間的夾角余弦

3、，稱為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)?？臻g點P在新老坐標(biāo)系矢徑：(1.7)其中為上圖中坐標(biāo)原點的位移矢量。將向新坐標(biāo)軸上投影的矢量的分量：由此得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的公式：(1.8)類似地，將向老坐標(biāo)上投影，可以推導(dǎo)出老坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示的公式：(1.9)特別的，當(dāng)新舊坐標(biāo)原點重合時，也即坐標(biāo)軸僅發(fā)生旋轉(zhuǎn)，此時，上兩式的矩陣形式為：(1.10)由上可知， ，是正交矩陣，則。 綜合以上可知： (1.11)同理，可推出：將老坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換稱為正轉(zhuǎn)換，； 將新坐標(biāo)到老坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換稱為正轉(zhuǎn)換，其中為常數(shù)，稱為雅克比行列式。若J處處不為0，則說明存在相應(yīng)的逆變化，即：1.5 張量的分量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換規(guī)律1.5.1 一階張

4、量一階張量在新老坐標(biāo)系中的分解為：(1.12)其中：(1.13)則：(1.14)得到：(1.15)同理：(1.16)得：(1.17)矢量是與一階基矢相關(guān)聯(lián)的不變量，可表示為一階基矢的線性組合，此組合與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，故為一階張量，標(biāo)量為零階張量。 二階張量定義為二階基矢，寫在一起，不作任何運算。由下式：(1.18)可得坐標(biāo)變換時二階基矢的轉(zhuǎn)換規(guī)律為：(1.19)又：(1.20)記：，(1.21)則：(1.22)該式表示 a 與 b 并乘為一個坐標(biāo)不變量，稱為二階張量。記為：(1.23)將式(1.13)代入上式可得：(1.24)此分量轉(zhuǎn)換可進一步推廣到高階張量。張量與坐標(biāo)軸選擇無關(guān)，故可獨立于

5、坐標(biāo)系來表述。2 張量的代數(shù)運算2.1 張量的加減假如A、B為同階張量，將它們在同一坐標(biāo)系下的同類型分量一一相加（減），得到的結(jié)果即為它們的和（差），記為，例如：(2.1)顯然，同階張量進行加減運算后仍為同階張量。2.2 標(biāo)量與張量的積張量A，標(biāo)量，若，則：(2.2)2.3 張量的并積兩個同維不同階（同階）張量A、B的并積C是一個階數(shù)為A、B階數(shù)之和的高階張量。(2.3)(2.4)(2.5)式(1.10)中：(2.6)2.4 張量的縮并若對某張量中任意兩個基矢量求點積，則張量將縮并為低二階的新張量。，有。取不同基矢量點積，縮并結(jié)果不同。2.5 張量的點積兩個張量先并乘后縮并的運算稱為點積。如下

6、：(2.7)(2.8)(2.9)其中，(2.10)2.6 指標(biāo)的轉(zhuǎn)換對于張量，若對該張量的分量中任意兩個指標(biāo)交換次序，得到一個與原張量同階的新張量。如下式所示：(2.11)指標(biāo)轉(zhuǎn)換也可以通過交換相應(yīng)的基矢量位置來得到，如下式所示：(2.12)2.7 張量的商法則張量T，如果它滿足對于任意一個q階張量S的內(nèi)積均為一個p階張量U，即在任意坐標(biāo)系內(nèi)以下等式成立，則T必定是一個p+q階的張量。以上規(guī)則稱為張量的商法則。3 二階張量二階張量是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中最常遇到的一類張量，例如應(yīng)力張量、應(yīng)變張量、變形梯度張量和正交張量等。3.1 二階張量的矩陣(1) 任何一二階張量T總可以按其分量寫成矩陣形式：(3.

7、1)二階張量與矩陣雖然有上述對應(yīng)關(guān)系，但它們并非全能一一對應(yīng)。首先，矩陣并非只包括方陣，而二階張量只能對應(yīng)方陣；其次，在一般坐標(biāo)系中，轉(zhuǎn)置張量與轉(zhuǎn)置矩陣、對稱（或反對稱）張量與對稱（或反對稱）矩陣不能一一對應(yīng)；第三，二階張量的某些運算不完全能用矩陣的運算與之互相對應(yīng)。(2) 二階張量T的轉(zhuǎn)置張量TT為：(3.2)(3) 二階張量的行列式二階張量對應(yīng)的矩陣具有行列式值：由于兩個互為轉(zhuǎn)置的矩陣的行列式值相等，故兩個互為轉(zhuǎn)置的張量的行列式相等(4) 二階張量的代數(shù)運算與矩陣的代數(shù)運算張量的相等、相加、標(biāo)量與張量相乘等代數(shù)運算均與矩陣運算一一對應(yīng)；二階張量與矢量的點積；二階張量與二階張量的點積。以上運

8、算都可以表示成對應(yīng)的矩陣運算，但二階張量的有些運算沒有相應(yīng)的矩陣運算，例如并乘運算。3.2 幾種特殊的張量3.2.1零二階張量零二階張量將任意矢量映射為零矢量，它是一種特殊的退化的二階張量。零二階張量對應(yīng)的矩陣為：(3.3)(3.4)式中，左端的O是零二階張量，右端的0為零矢量。3.2.2 度量（單位）張量G(3.5)度量張量將任意矢量映射為原矢量，即：(3.6)度量張量與任意二階張量的點積仍為該張量本身，即：(3.7)因此，有些書中將度量張量記作I或1。3.2.3球形張量主對角分量為，其余分量為零的二階張量稱為球形張量。它是數(shù)與單位張量的數(shù)積，即： (3.8)3.2.4轉(zhuǎn)置張量二階張量由對換分量指標(biāo)而基矢量順序保持不變所得的新張量稱為張量B的轉(zhuǎn)置張量。若同時轉(zhuǎn)換二階張量B的分量指標(biāo)和基矢順序，結(jié)果仍為B。三階張量有三種不同的轉(zhuǎn)置張量，任意對換i，j，k得到：(3.9)3.2.5對稱張量與反對稱張量對稱張量，轉(zhuǎn)置張量等