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文檔簡介

1、抽象代數練習題一設是一個非空集合,是由的所有子集構成的集合.則集合的并是上的一個代數運算.證明:是一個半群.（10分）二令.證明關于矩陣的乘法構成一個半群.（10分）-三設是一個群,證明:,.（10分）四設是一個群,證明:是交換群的充要條件是,.（10分）五求證:循環群的商群也是循環群. （10分）六.設是群,和是的子群,(1)證明:是的子群.(2)假設是的正規子群,證明:是的子群.(3)假設和都是的正規子群,證明:是的正規子群.（20分）七設是群的子群,是的共軛子群,證明:與同構.（10分）八設是群到群的滿同態,是的正規子群,證明:.（20分）參考答案：一證明 眾所周知,對于任意的,總有.這

2、就是說,上的代數運算適合結合律,所以是一個半群.二證明 眾所周知,對于任意的,總有,.這就是說,矩陣的乘法是上的一個代數運算,并且適合結合律,所以關于矩陣的乘法構成一個半群.三證明 對于任意的,我們有,.所以,.四證明 必要性是顯然的.現在假設滿足該條件.于是,對于任意的,我們有,即.運用消去律(第5題)立即可得.所以是交換群.五證明 設是循環群,是的子群.于是,我們有.這就表明,是循環群.六證明 (1)假設是的子群.于是,對于任意的,我們有存在和,使得存在和, .所以.假設.為了證明是的子群,任意給定.于是,存在和,使得,.因此.由于,因此存在和,使得,從而,.這樣一來,由于的任意性,我們斷言:是的子群.(2)由于是的正規子群,我們有.這樣,根據(1),是的子群.(3)根據(2),是的子群.此外,還有,.所以是的正規子群.七證明：定義到的映射如下:,.直接從的定義可以明白,是滿射.利用消去律容易推知,是單射.因此是雙射.其次,對于任意的總有.所以是群到群的同構,從而,.八證明：由于是的正規子群,根據定理6.7,是的正規子群.現在定義到的映射如下:.由是群到群的滿同態可知是到的滿射.其次,注意到是的正規子群,對于任意的,有

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