1、第8章線性離散控制系統的分析與綜合8.1引言隨著微處理器和微計算機的出現和發展，數字控制器在系統中逐漸取代模擬控制器，成為控制系統的一個重要的組成部分，并得到了越來越廣泛的應用。在控制系統中，只要任何一個環節為采樣開關或數字元器件，或者只要某處采集、傳輸或加工處理的信號是離散型的時間函數，則稱該系統為離散時間控制系統，簡稱離散控制系統或采樣控制系統。若離散信號為脈沖序列， 則稱為脈沖控制系統； 若離散信號為數字序列， 則稱為數字控制系統或計算機控 制系統。由于在離散控制系統中出現了離散型的信號，前面各章所介紹的適用于連續控制系統的各種分析和綜合方法，在這里已不再適用，所以，必須另辟蹊徑，尋求新

2、的分析和綜合方法，這正是本章所面臨的 主要任務和所要介紹的主要內容。8.2離散信號和離散控制系統前面各章介紹了連續控制系統理論，本章將介紹離散控制系統理論。離散控制系統與連續控制系統之間的根本區別在于：在連續控制系統中的輸入信號r(t)、反饋信號b(t)和偏差信號e(t)都是連續型的時間函數；而在離散控制系統中則不然，在一般情況下，由于輸入信號是離散型的時間函數，記為 r*(t)，所以，取自系統輸出端的反饋信號，在和上述離散型輸入信號進行比較時，也需要采用離散型的時間函數，記為 b(t)，這樣，比較后得到的偏差信號就是離散型的時間函數，記為e(t)，于是e (t)汀(t)-b*(t)因此，在離

3、散控制系統中，通過控制器對被控對象進行控制的直接控制作用乃是離散型的偏差信號e (t)。上述離散控制系統的方框圖如圖8-1所示。在圖8-1中，離散型的反饋信號 b (t)是由連續型的反饋信號 b(t)通過采樣開關的采樣而獲得的。采樣開關經過一定的時間間隔T重復閉合，每次閉合的持續時間為T,且有T T，如圖8-2所示。圖8-2離散反饋信號圖8-3離散控制系統簡化方框圖在離散控制系統中，采樣開關重復閉合的時間間隔 T稱為采樣周期，而分別稱為采樣頻率和采樣角頻率。連續型時間信號經過采樣開關采樣后，變成重復周期等于采樣周期T的時間序列信號，該時間序列信號通常在連續型時間函數的右上角標“*”號來表示，如

4、r*(t)，b(t)，e (t)等。在圖8-1中，兩個采樣開關的動作通常是同步的，所以，圖8-1所示的離散控制系統的方框圖可以等效地簡化成如圖8-3所示。離散控制系統的應用非常廣泛，可以在工農業生產和軍事工程中找到許多應用的實例。通常，離散控制系統的組成結構如圖8-4所示。但是，離散控制系統的最常見的形式卻是如圖8-5所示的數字控制系統，又稱為計算機控制系統。圖8-4離散控制系統方框圖圖8-5數字控制系統方框圖由圖8-5可知，數字控制系統是指其中含有數字控制器或數字計算機的離散型控制系統。它包括工作在離散狀態下的數字計算機(或專用數字控制器)和工作在連續狀態下的被控對象兩大部分。數字計算機或數

5、字控制器，構成控制系統的數字部分，通過這部分的信號是以離散形式出現的；而被控對象通常用Gp(S)或G(9表示，它是系統的不可變部分，是構成控制系統連續部分的主體，通過這部分的信號是以連續形式出現的。在數字控制系統中，由于具有連續時間函數形式的被控信號c(t)(模擬量)，受控于具有離散時間 函數形式的控制信號 u (t)(數字量)，所以，這中間就需要有將連續的模擬信號與離散的數字信號之間進行轉換的環節。通常，將連續的模擬信號變換成離散的數字信號的轉換環節，稱為模/數轉換器，簡稱A/D轉換器；而將離散的數字信號變換成連續的模擬信號的轉換環節，稱為數/模轉換器，簡稱 D/A轉換器。數字計算機通過這兩

6、種轉換器與外部發生聯系，故稱A/D轉換器與D/A轉換器為計算機的接口通道或外圍設備。在圖8-5所示的數字控制系統中，信號的測量、變換、加工處理和傳遞過程為：連續的被控信號c(t)經反饋環節(測量元件)反饋到輸入端，與控制信號r(t)相比較，得到連續的偏差信號e(t)，再經過a/d轉換器后，變換成離散的數字偏差信號e (t)。 e (t)經過數字計算機的加工處理，變換成離散的數字控制信號u(t)，u (t)經過D/A轉換器，變換成連續的模擬控制信號 uh(t)，再經過被控對象去控制系 統的被控制信號C(t)。數字控制系統在自動控制領域得到了廣泛的應用，其主要原因是由于數字控制系統與連續控制系統相

7、比較，具有如下一些特點：1數字控制系統結構簡單，能實現多路控制，且可以采用多種不同的控制規律；2信號的檢測精度、轉換精度和控制精度可以做得很高；3由于采樣信號或數字信號抗干擾能力強，可實現遠距離傳輸；4. 可以實現復雜的控制過程，如最優控制、隨機控制、預測控制、自適應控制和智能控制等，并 可實現控制與管理一體化；5. 體積小，重量輕，成本低。綜上所述，由于離散控制系統，特別是數字控制系統具有一系列的優點，其應用已深入到各個領域，所以，離散控制系統理論的研究越來越受到人們的重視，并取得了豐富的成果。本章主要介紹采樣過程與采樣定理，Z變換，離散控制系統的數學模型、穩定性分析、穩態誤差、動態響應和離

8、散控制系統的 校正等。8.3采樣過程與采樣定理采樣過程及其數學描述1 采樣過程實現離散控制所遇到的首要問題，就是如何將連續信號轉換為離散信號的問題。按一定的時間間隔 T對連續信號進行采樣，并轉換為相應離散信號的過程稱為采樣過程。實現采 樣過程的裝置稱為采樣裝置或采樣器。8-6(b)采樣裝置可以利用一個周期性閉合與斷開的開關來實現，故采樣裝置又稱為采樣開關，如圖所示。若圖8-6(a)所示的連續信號e(t)加在采樣開關的一端，而采樣開關以一定的規律閉合與斷開，則 在采樣開關的另一端便得到離散信號 e(t)，如圖8-6(c)所示。采樣開關閉合與斷開一次的所需的時間稱為采樣周期，記為T，每次閉合持續的

9、時間稱為采樣持續時間，記為T。由于采樣持續時間t通常遠小于采樣周期 T,也遠小于系統連續部分的時間常數，因此,在分析研究離散系統時，可以近似認為t趨近于0,即認為采樣是瞬間完成的。于是，采樣開關每閉合一次，就得到連續信號 e(t)的某一時刻kT的值e(kT)，如圖8-6(d)所示。這樣的采樣開關稱為理想采 樣開關，以后所說的采樣開關就是指理想采樣開關，它相當于一個理想的單位脈沖序列發生器，能夠產生一系列單位脈沖。根據采樣開關閉合的規律，可以將采樣過程進行分類：(1) 如果采樣開關采樣的時間間隔是固定不變的，則稱為均勻采樣或周期采樣。(2) 如果采樣開關采樣的時間間隔是變化的，則稱為非均勻采樣或

10、非周期采樣。(3) 如果采樣開關采樣的時間間隔是隨機的，則稱為隨機采樣。(4) 在一個離散系統中，可能存在多個采樣開關。如果系統中所有的采樣開關均同時采樣，則稱 為同步采樣，否則稱為異步采樣。(5) 如果系統中所有采樣開關都是周期采樣，但采樣周期不同，則稱為多速采樣或多種周期采樣。 下面只研究同步周期采樣過程。2 采樣信號的數學描述為了對離散系統進行定性和定量研究，就必須利用數學表達式來描述信號的采樣過程，并研究采樣信號的性質。下面首先研究采樣信號的表達式。當采樣開關的輸入信號為連續信號e(t)時，經過采樣開關采樣后， 在其輸出端就得到離散信號序列e(kT),k =1,2/ o若以e (t)表

11、示采樣信號，則有ode (t) = e(kT)、(t_kT)k0其中(t -kT )為單位脈沖函數，又稱為克勞奈克(Croneck)函數，即5 (t _ kT )= J = kT0,t 式 kT所以，式(8-1)寫可以為oOQOoOe (t)二 e(kT)、(t-kT)e(t)、(t - kT) =e(t) 、(t - kT)k=0k=0k=0若定義、T(t) = 、(t _ kT)k=0則有e (t) =e(t)、T(t)(8-1)(8-2)采樣信號的脈沖調制過程dJ 尹r!0t由式(8-2)可知，采樣過程相當于一個脈沖調制過程，如圖8-7所示。式(8-1)或式(8-2)就是采樣信號的數學表

12、達式。對式(8-1)進行拉氏變換，得QOoOQO - - - kTsE (s)二 Le 二 Le(kT)、(t kT)工嘉 e(kT)L、(t 一 kT)=為 e(kT)e (8-3)k=0k=0k=0式(8-3)是采樣信號e (t)的拉氏變換表達式。后面將由式(8-3)建立Z變換與拉氏變換之間的重要聯系。下面再對式(8-2)進行拉氏變換，可以得到采樣信號e (t)拉氏變換的另一種形式的表達式。因為T(t)是以T為周期的周期性時間函數，所以，可以展開成復數形式的傅氏級數(8-4)、：T(t)二 Ckejstk :其中，S =2二/T為采樣角頻率,Ck由下式計算1- T 2r ； T (t)e_

13、jk stdtT :1-Ar (t-kT)estdt|k=0(8-5)將式(8-5)代入式(8-4)，得odz1 ejk stT(8-6)將式(8-6)代入式(8-2)，得e (t)lejk st =丄：e(t)ejk stT k(8-7)對式(8-7)進行拉氏變換，得- 1 E (s)二 Le (t)二 L v e(t)ejk st二一 Le(t)ejk FT k eT k Jon設E(s)二Le(t)，則由拉氏變換的位移定理，得A OQE (s)二 L E(s jk s)(8-8)T k 二式(8-8)稱為泊松(Poisson)求和公式，因為該式提供了理想采樣開關在頻域內的十分有用的信息，

14、所以它在描述采樣過程性質方面是非常重要的。另外，式(8-8)還將采樣信號e (t)的拉氏變換E (s)與連續信號e(t)的拉氏變換E(s)緊密地聯系起來了，由此可以直接從E(s)求出 E (s)。F面將會看到，由于 E (s)是s的周期函數，可以對 e (t)進行頻譜分析，也可以清楚地看到頻譜混疊現象及其影響。832采樣定理由于采樣定理給出了從采樣后的離散時間信號恢復到原連續時間信號時所必需的最低頻率，所以在分析研究離散控制系統之前，應該首先介紹它。在式(8-8)中，如果E (S)不含有S右半平面的極點，則可令 S = j ,可直接得到采樣信號 e (t)的傅 氏變換1 cdE (j ) =-

15、 Ej(k s)(8-9)T k-oo其中E(j )為連續信號e(t)的傅氏變換。* *式(8-9)即為采樣信號e (t)的頻譜E (j )的表達式，它反映了離散信號的頻譜E (j )與連續信號的頻譜E(j )之間的關系。在一般情況下，連續信號e(t)的頻譜是單一孤立的頻譜，其帶寬是有限的，即上限頻率為有限值max，如圖8-8(a)所示；而離散信號e*(t)的頻譜|E*(j )|則具有以S為周期的無窮多個頻譜,如圖8-8(b)所示(b)圖8-8連續信號與離散信號的頻譜* 1由式(8-9)可知，在離散信號的頻譜|E (j )|中，當k=0時，所對應的部分 -|E(j ) |稱為主頻譜,它與連續信

16、號的頻譜| E( j ) |的形狀相同，僅在幅值上變化了1T 。除了主頻譜之外，|E*(j)|中還包 含無窮多個高頻頻譜。這是由于信號采樣引起的。為了準確地復現連續信號 e(t)，必須使采樣后的離散信號 e (t)的頻譜|E (j ) |彼此不相重疊，這 樣，就可以利用一個比較理想的低通濾波器濾掉全部的高頻頻譜分量，保留主頻譜。圖8-9理想濾波器頻率特性由圖8-8可見，相鄰頻譜不相重疊的條件是 s -2 max(8-10)如果滿足式(8-10)的條件，并將采樣后的離散信號e (t)加到如圖8-9所示的理想濾波器上，則在濾波器的輸出端就可不失真地復現原來的連續信號e(t)，但幅值縮小了 1 T倍。如果.s 2 max，則會出現圖 8