1、 數(shù)學(xué)建模論文 （席位公平分配問題） 席位公平分配問題摘要 本文討論了席位公平分配問題以使席位分配方案達(dá)到最公平狀態(tài)。我主要根據(jù)了各系人數(shù)因素對席位獲得的影響，首先定義了公平的定義及相對不公平的定義，采用了比例模型、漢丁頓模型和Q值模型制定了一個比較合理的分配方案。 首先，我根據(jù)相關(guān)資料的查閱，定義了公平的定義和不公平的定義以及不公平程度的定義和相對不公平數(shù)的定義以便來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷墓叫猿潭取?其次，我建立了一個比例模型，采用了比例相等的方法，列出一個關(guān)于所獲席位與總席位數(shù)和各系人數(shù)與各系總?cè)藬?shù)的等式，進(jìn)而求得所獲席位數(shù)。同時我建立了一D+Q值模型，通過漢丁頓模型和Q值模型的結(jié)合，最終得出一個比

2、較合理的分配方案。 最后，我用相對不公平數(shù)來檢驗(yàn)兩個模型的公平性程度。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模 公平定義 Q值模型 d'Hondt（漢丁頓）模型目錄一、問題重述與分析：21.1問題重述：21.2問題分析：3二、模型假設(shè)3三、符號說明4四、模型建立：44.1公平的定義：44.2不公平程度的表示：54.3相對不公平數(shù)的定義：54.4模型一的建立：（比例分配模型）64.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型）6五、模型求解75.1模型一求解：75.2模型二的求解：8六、模型分析與檢驗(yàn)8七、模型的評價：117.1、優(yōu)點(diǎn)：117.2、缺點(diǎn)：117.3、改進(jìn)方向：11八、模型優(yōu)化11九、參

3、考文獻(xiàn)12一、問題重述與分析：1.1問題重述： 三個系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席。現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103, 63, 34, 問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。因此存在席位公平分配問題，以下針對各系自身人數(shù)對所獲席位數(shù)目的影響建立相關(guān)模型，解得最優(yōu)的席位公平分配方案。1.2問題分析：各系的人數(shù)將影響著各系所獲得的席位名額。人數(shù)越多的系獲得的席位名額越多，人數(shù)越少的系獲得的席位名額越少。席位名額的分配是按照各系人數(shù)與各系總?cè)藬?shù)的比例來進(jìn)行分配的。各系名額的比例與各系人數(shù)的比例幾乎相等。這是一個分配問

4、題，關(guān)鍵在找到最公平的席位分配方案。二、模型假設(shè) 1、模型的公平定義是相同的。 2、模型所要求的公平是絕對的公平。 3、模型不考慮各系自身的要求。 4、分配到各系的名額數(shù)目均為整數(shù)。三、符號說明 N：表示名額數(shù) S：表示系數(shù) i(i=1,2,3,.):表示第i個系 mi(i=1,2,3.):表示各系中的人數(shù) Xi(i=1,2,3.):表示各系所獲得的席位數(shù)四、模型建立：4.1公平的定義：設(shè)：A方人數(shù)人，若分配給個席位，則每席代表人數(shù)B方人數(shù)人，若分配給個席位，則每席代表人數(shù)則公平的定義為：若：有成立，則席位分配是公平的，否則是不公平的。 即有不公平的定義為： 若有：，則席位分配時不公平的此時，

5、若有： 對A不公平（A吃虧） 若有： 對B不公平（B吃虧）4.2不公平程度的表示：用數(shù)值：來表示絕對不公平的程度4.3相對不公平數(shù)的定義：若，則稱為A的相對不公平數(shù)，記為。即:對A 的相對不公平度為： （1）同樣，若：，則稱 （2）為對B的相對不公平度。定義了分配不公平的相對不公平程度數(shù)是指標(biāo)和之后，則由此定義出發(fā)來制定席位的分配方案原則，即要是和盡可能的減少。4.4模型一的建立：（比例分配模型）比例分配模型：按照各系人數(shù)在總?cè)藬?shù)中的比例來分配各系的席位數(shù)。若計算所得的席位數(shù)含有小數(shù)時則按照四舍五入進(jìn)行取整。由席位數(shù)與總席位數(shù)之比等于系人數(shù)與各系總?cè)藬?shù)之比得：即可得各系所獲得的席位數(shù)位： （3

6、）4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型）可將具備參與分配至少一個名額的條件稱為“分配資格”。這一“分配資格”在社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中并不少見，如有的國家規(guī)定參加議會選舉的黨派的黨員人數(shù)需要達(dá)到一定的數(shù)量才行。用d'Hondt方法和Q值法二者結(jié)合起來，確定“分配資格”以解決“不公平”問題。這一方法，稱為“d'Hondt方法+Q值法”。具體方法如下：1） 第一個人數(shù)給人數(shù)最多的部門，甲部門2） 根據(jù)d'Hondt方法中值，依次確定第2,3.個名額的“分配資格”部門，直到已有兩個部門有3） 下面每增加一個名額，則重復(fù)如下的步驟，直至丙部門具有“分配資格”為止。不

7、失一般性，設(shè)，其中，m,n分別為已分配給甲、乙的名額。 A）如果名額給甲還是給乙。 B）如果，且甲部門的Q值比乙部門的Q值大，這一名額給丙，根據(jù)D法，這一名額都應(yīng)給甲。如果，且乙部門的Q值比甲部門的Q值大，這一名額給丙。理由是：此時，必定相差不大，若這一名額無論給甲或者乙，丙部門還是一個名額都沒有，對并部門嚴(yán)重不公平。 當(dāng)丙部門也具備分配資格時，余下名額則按Q值法分配需要說明的是，僅是Q值法時，先假設(shè)各部門已經(jīng)有一個名額，接著計算剩下的第421個名額的分配方案，因此不難看出，D+Q法中Q值應(yīng)采用修正式：根據(jù)D+Q值法分配結(jié)果如下:1）第一個名額給甲部門 2）,第二個名額給乙部門 3)丙部門仍無

8、分配資格，根據(jù)Q值法，第三個名額給甲 4）且同時乙方的Q值比甲方的Q值大，因此，第四個名額給丙方 5）當(dāng)名額數(shù)大于4時，由于甲、乙、丙3部門都已具有分配資格，則第521個名額可利用Q值法分配余下的名額。按此方法列出21個名額分配的方案，甲、乙、丙3部門各分得11、6、4個席位名額。五、模型求解5.1模型一求解：根據(jù)公式（3）可計算得到如下表格數(shù)據(jù)：系別學(xué)生人數(shù)比例20席的分配21席的分配比例結(jié)果取得結(jié)果比例結(jié)果取得結(jié)果甲10351.510.31010.81511乙6331.56.366.6157丙34173.443.573總和200100202021215.2模型二的求解：計算數(shù)據(jù)可得到如下表

9、格：系別 x值1234567891011甲10351.534.325.820.617.114.712.911.410.39.4乙6331.52116.812.610.59丙341711.38.56.85.7Q值計算公式： 在第421個得排名為：Qi i12345678910甲46710111316171920乙58121418丙91521所以根據(jù)D+Q法可得：甲136710111316171920乙258121418丙491521所以當(dāng)席位名額為20時，甲、乙、丙3個系各分得11、6、3個席位名額；當(dāng)席位名額為21時，甲、乙、丙3個系各得11、6、4個席位名額。六、模型分析與檢驗(yàn)6.1模型一的

10、分析與檢驗(yàn)：當(dāng)席位名額為20個時：根據(jù)公式（2）可得： 當(dāng)席位名額為21時：根據(jù)公式（1）可得： 6.2模型二的分析與檢驗(yàn)：當(dāng)席位名額為20時：由公式（2）可得 當(dāng)席位名額為21時：由公式（2）可得七、模型的評價：7.1、優(yōu)點(diǎn)：模型比較簡單卻較合理的解決了實(shí)際問題，用比例模型和D+Q值法模型就解決了席位的公平分配問題。由相對不公平值的計算比較可知兩種模型的公平程度都還比較符合要求。模型一計算過程簡單卻是公平度比較高的一種模型，操作起來比較簡便。模型二可以避免所得席位名額含有小數(shù)點(diǎn)的情況。7.2、缺點(diǎn)： 模型一的建立比較簡單，計算的結(jié)果含有小數(shù)點(diǎn)，通過四舍五入所得的結(jié)果會使公平性變差。模型二的建

11、立相對比較復(fù)雜，計算過程比較繁瑣，最后得到的結(jié)果的公平性相對較差。7.3、改進(jìn)方向： 應(yīng)考慮向公平性更高的模型進(jìn)行考慮。運(yùn)用更精確的模型使得得到的結(jié)果既不含有小數(shù)點(diǎn)，計算過程又不是太復(fù)雜，公平性又是相對比較強(qiáng)的。八、模型優(yōu)化由于以上模型都是站在絕對公平的角度上來解決席位的公平分配問題。實(shí)際上，每個系自身對席位的意愿不同。可以考慮征求各系自身的意見來分配席位以做到席位的公平分配。有時候由于會議內(nèi)容的不同會導(dǎo)致各個系所需的席位不同，這個因素并沒有考慮進(jìn)去。可以考慮不同的會議按不同的指標(biāo)進(jìn)行席位的分配。有時也可以通過適當(dāng)?shù)脑黾酉粩?shù)或者減少席位數(shù)使席位公平分配問題得到比較好的解決。 九、參考文獻(xiàn)1 、何堅勇.運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)。清華大學(xué)出版社，2000年2 、胡運(yùn)權(quán).運(yùn)籌學(xué)教程。清華大學(xué)出版社，2004年，第三版3、韓伯棠.管理運(yùn)籌學(xué)高等教育出版社，20