1、第五講 等差等比1在等差數(shù)列中，則（ ）A. B. C. D. -1或12.（安徽）直角三角形三邊成等比數(shù)列，公比為，則的值為（ ）A. B. C. D. 3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，第項(xiàng)滿(mǎn)足，則（ ） A B C. D4.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A2 B3 C4 D55.設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，若是與的等比中項(xiàng)，則（ ）2 4 6 86. 等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，成等差數(shù)列，則的公比為 一等差數(shù)列的證明方法：1. 定義法：2等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若3. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：-該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)4. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 等差中項(xiàng): 如果，

2、成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。即：或二等差數(shù)列的性質(zhì):1等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等差數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公差為，則有2. 對(duì)于等差數(shù)列，若，則。也就是：， 3若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等差數(shù)列。如下圖所示：4設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和，則有如下性質(zhì)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則，。三等比數(shù)列的判定方法:1.定義法：若2.等比中項(xiàng)：若，則數(shù)列是等比數(shù)列。3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:如果等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則等比數(shù)列的通項(xiàng)為。 4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和: 當(dāng)時(shí)，等比中項(xiàng):如果使，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)。那么。

3、四等比數(shù)列的性質(zhì):1等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公比為，則有2.對(duì)于等比數(shù)列,若，則即：。3若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列。如下圖所示：第六講 求通項(xiàng)公式1. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則等于( )A. 4 B. 2 C. 1 D. -22在數(shù)列中，且，則_ _. 3在數(shù)列中，若 (n1),則該數(shù)列的通項(xiàng) =_ _ _.4對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線(xiàn)在x2處的切線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是 .5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則其通項(xiàng) ；若它的第項(xiàng)滿(mǎn)足，則 6.已知數(shù)列對(duì)于任意，有，若，則 一、 根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng) 已知數(shù)列前n

4、項(xiàng)和Sn,相當(dāng)于知道了n2時(shí)候an,但不可忽視n=1.二、由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)1. 利用迭加、迭乘、迭代。2.一階遞推,我們通常將其化為看成bn的等比數(shù)列。3.利用換元思想（變形為前一項(xiàng)與后一項(xiàng)成等差等比關(guān)系，直接寫(xiě)出新數(shù)列通項(xiàng)化簡(jiǎn)得。4.對(duì)含與Sn的題，進(jìn)行熟練轉(zhuǎn)化為同一種解題，注意化簡(jiǎn)時(shí)n的范圍。【范例1】記（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和【變式】數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列（I）求的值；（II）求的通項(xiàng)公式【范例2】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明，其中為正整數(shù)【范例3】由坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線(xiàn)引切線(xiàn)，切于O以外的點(diǎn)P1，再

5、由P1引此曲線(xiàn)的切線(xiàn)，切于P1以外的點(diǎn)P2），如此進(jìn)行下去，得到點(diǎn)列 Pn.求：（）的關(guān)系式； （）數(shù)列的通項(xiàng)公式；【點(diǎn)睛】注意曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程的應(yīng)用，從而得出遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的基本問(wèn)題，一般有三種類(lèi)型：（1）已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列，求通項(xiàng)，破解方法：公式法或待定系數(shù)法；（2）已知Sn，求通項(xiàng)，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分類(lèi)討論，本例的求解中檢驗(yàn)必不可少，值得重視；（3）已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)，破解方法：猜想證明法或構(gòu)造法。【變式】已知函數(shù)f (x)=，數(shù)列x(x0)的第一項(xiàng)x1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線(xiàn)x=f (x)在處的切線(xiàn)與經(jīng)過(guò)（0，0）和（x,f

6、 (x)）兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行。求證：當(dāng)n時(shí)，() x第七講 數(shù)列求和1直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。 公比含字母時(shí)一定要討論(理)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列時(shí)，2錯(cuò)位相減法求和：如：3分組求和：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。4合并求和：如：求的和。5裂項(xiàng)相消法求和：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。常見(jiàn)拆項(xiàng)： 6公式法求和 7倒序相加法求和【范例1】設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，（）求數(shù)列的通項(xiàng)； （）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【變式】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（）、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）、設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都

7、成立的最小正整數(shù)m；【范例2】已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且（I）求 （II）求數(shù)列的前2n項(xiàng)和；【變式】在數(shù)列中，（）證明數(shù)列是等比數(shù)列； （）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）證明不等式，對(duì)任意皆成立【范例3】已知，點(diǎn))在函數(shù)的圖象上，其中=1，2，3，（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）設(shè)，求Tn及數(shù)列的通項(xiàng)；（）記，求bn數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明第八講 數(shù)列綜合1.已知成等比數(shù)列，且曲線(xiàn)的頂點(diǎn)是，則等于（ ）3 2 1 2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 3. 在等比數(shù)列中,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于( )A B. C. D.4. 已知公比為的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無(wú)窮等比數(shù)列各

8、項(xiàng)的和為.(I)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；(II)對(duì)給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求的前10項(xiàng)之和；【范例1】已知數(shù)列，滿(mǎn)足，且（）（I）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式【變式】在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和滿(mǎn)足條件， （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。（理）在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）求數(shù)列的前項(xiàng)和；第五講 等差等比1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6. 第六講 求通項(xiàng)公式1.A 2.35 3. 4. 5.2n-10,8 6.4【范例1】解析（I）整理得（）由所以【變式】解：（I），因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以，解得或當(dāng)時(shí)，不符合題意舍去，故（II

9、）當(dāng)時(shí)，由于，所以又，故當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以【范例2】解：（1）由整理得又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得（2）方法一：由（1）可知，故則又由（1）知且，故，因此為正整數(shù)方法二：由（1）可知，因?yàn)椋杂煽傻茫磧蛇呴_(kāi)平方得即為正整數(shù)【范例3】 解析 （）由題得 過(guò)點(diǎn)P1（的切線(xiàn)為過(guò)原點(diǎn) 又過(guò)點(diǎn)Pn（的因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)Pn-1（ 整理得 （）由（I）得 所以數(shù)列xn-a是以公比為的等比數(shù)列【變式】解、 (I ) 證明：因?yàn)樗郧€(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率即和兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率是 以.第七講 數(shù)列求和【范例1】解 (I) 驗(yàn)證時(shí)也滿(mǎn)足上式，(II) ， - ： ，【變式】解：（）設(shè)這二次函數(shù),由于f(x)=6x

10、2,得a=3 , b=2, 所以 又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以當(dāng)n2時(shí)，當(dāng)n1時(shí)，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）<（）成立的m,必須且僅須滿(mǎn)足，即m10，所以滿(mǎn)足要求的最小正整數(shù)m為10.【范例2】（I）解：方程的兩個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以（II）解：【變式】解、（）證明：由題設(shè)，得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，且公比為的等比數(shù)列（）解：由（）可知，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為所以數(shù)列的前項(xiàng)和（）證明：對(duì)任意的，所以不等式，對(duì)任意皆成立【范例3】解：（）由已知， ，兩邊取對(duì)數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列.（）由（）知（*）=由（*）式得（） 又 又.第八講 數(shù)列綜合1.B 2.7 3.C【解析】因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C。4. 解: ()依題意可知,()由()知,所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155.【范例1】解：（）由題設(shè)得，即（）易知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為（II）解：由題設(shè)得，令，則易知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為 由解得， 求和得【變式】解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為,由得：，所以，即，又，所以。（）由，得。所以，當(dāng)時(shí)，；