1、精選優質文檔-傾情為你奉上第六章 ARMA模型的參數估計主要內容§6.1 AR(p)模型的參數估計問題: 已知的AR(p):,.(1.1)由去估計和.1. AR(p)模型的Yule-Walker估計自回歸系數由自協方差函數惟一確定.白噪聲的方差由決定.現獲, , 則作(1) ;(2) ;(3) 只要不全同, 則正定, 得惟一, .實用中, Levinson遞推公式(無需求逆, 快):(1)(2) ,.以上Yule-Walker估計的最大優點是:即最小相位(只要正定).定理1.1(參見18) 若獨立同分布, , 則當時, 有(1) ;(2) (3) ,.由上(2)得: . (其中是中相

2、應元素)置信水平0.95的漸近區間:.2. AR(p)模型的最小二乘估計設是的估計, 稱使殘差的最小的為最小.記當正定時, 有惟一的.理論表明:,.即兩種估計差別不大. 對二乘估計,也有大樣本性質定理1.2若,獨立同分布,是最小二乘估計, 則當時, 有3. AR(p)模型的最大似然法設模型的 , 則從而得關于的似然函數為通過解似然方程結果同最小二乘法.例1.1 設白噪聲, 模型為分別用Yule-Walkey法和最小二乘法估計參數.結果見程序ese6_1_1.m4. AR(p)模型的定階問題若偏相關系數, 則認為.以上結果由以下定理保證.定理1.3 若AR(p)中是獨立同分布,則對任何, 有.為

3、了檢驗, 可借助極限分布.定理1.4 若AR(p)中是獨立同分布的, , 則對確定的, 有推論1.5 在定理1.4的條件下, 對, 有.(證明略見196頁)故有95%的概率落在.因此取的估計可能較高.實際中, 常用AIC準則:(1) 分別取(上界或較大數); (2) 求AR(k)時的;(3) 計算 (4) 稱為AIC定階.注1: 一般(真), 并無, 即不相合;注2: 通常, 略高的階數比低的階數要好. 有利歷史數據利用, 等.為克服不相合, 改用BIC(k)函數定階.(上界)注3: 若是獨立同分布的, 則BIC(k)是強相合的;注4: 當不大, BIC定階偏低,會失真, 宜取AIC.5. A

4、R(p) 模型的擬合檢驗設由已得, , , 對殘差: ,用§4.3白噪聲檢驗: 若符, 則認可, 并用于預測, 否則重估、改用MA(q), ARMA(p,q).6. AR(p)序列的譜密度的估計,代入.注5: 若是獨立同分布的,是由AIC或BIC定階的, 則一致收斂到.例1.2 取附錄B7中的300個數據, 對AR模型的階數分別為上界,解Y-W方程, 4截尾的. 所以用B7數據擬合出AR模型的階數應為4, 即通常AIC定階略高, 下圖即為用以上模型產生的300個數據, 重復1000次中定階的結果, 定階有別. 但充分多數據和大數重復后, 定階的情況很接近. 例1.3 對用B7數據擬合

5、出的模型, 進行擬合檢驗.(1) 中心化: ;(2) 計算殘差:;()(3) 計算的自相關系數;(4) 計算卡方值: (假設是白噪聲的統計量);(5) 計算臨界值(6) 判斷: 所有, 則不能拒絕殘差是獨立的白噪聲的假設, 即認可.§6.2 MA(q)模型的參數估計MA(1)模型: , .不難得: , 于是得: , 即,可解得: , (,時).估計值: ,(獨立白噪聲).1. 一般可逆MA(q)模型的矩估計及其計算若先知,則有及個非線性方程 ()反之, 若先知, 由上方程, 可解得.線性迭代法求解法:(1) 用求;(2) 初值: 任取(3) 迭代:(4) 停止: .(5) 檢驗可逆條

6、件, 不滿足, 重取初值, 重算.也可用§3.1中的方法(MA(q)的是截尾的)(1) 用求;(2) 作(3) 分別計算和其中:. 合理性由以下定理給出.定理2.1若MA(q)中是獨立同分布的, 則當充分大后,幾乎必然滿足可逆條件.實用可逆充分條件是: .2. MA(q)模型的逆相關函數法簡介想法: 視 MA模型ïAR模型, 故先求AR模型參數, 而后求MA模型參數, 即:AR(p)方法步驟:(1) 用,求,用AIC等法定出AR(p)的階;(2) 取, 用Y-W方程確定;(3) 用引理2.2, 計算, 即(),(4) 利用Y-W方程和求得()和.3. MA(q)模型的新息估

7、計方法簡介設, ;則樣本新息: ;預測均方差: ;前證可表: , 遞推得,當較大時, 得: 新息的估計,由此對較大的, 得近似MA(q)模型從而有與比;合理的估計: ;具體的新息估計步驟:(1) 用, 取, 計;(2) 用遞推公式 約定,(3) 取.方法的理論依據為定理2.3(18) 略.4. MA(q)模型的定階方法(后截尾特點)(1) (2) AIC定階1) 假設已獲得的上界;2) 逐個計算MA(m)()的;3) 計算4) 比出最小值的最小作為的估計.5. MA(q)模型的擬合檢驗設由已得, , , 令 和 ,對, 聲 若 為白噪聲, 則認可模型, 否則重新估計擬合模型. 或改用AR(p), ARMA(p,q)例2.1設是§3.1例1.1中197個化學濃度的數據, 對數據建立MA(1)模型為擬合檢驗步驟:(1) 取;(2) 計算殘差: 令,(3) 計算的自相關系數;(4) 計算是白噪聲的統計量;(5) 計算臨界值(6) 判斷: 若所有, ,則不能拒絕殘差是獨立的白噪聲的假設.模型通過檢驗.6. MA(q)序列的譜密度的估計把,代入得譜估計: .