1、活躍在高考中的三角形 我們都非常熟悉的三角形，它由三條首尾相連的線段組成，有三個(gè)頂點(diǎn)、三條邊、三個(gè)角.三角形有著非常豐富的內(nèi)涵，這些內(nèi)涵分為三個(gè)層次予以展現(xiàn)：a。直觀展現(xiàn)；三角形全等與相似等；b，解析展現(xiàn)：正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式、三角形中三角函數(shù)等；c，高層展現(xiàn)：梅涅勞斯定理、塞瓦定理和歐拉定理等.在每年一度的奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，都有一道平面幾何的大題，經(jīng)常涉及到三角形的相關(guān)知識(shí)和定理，在近年的高考試題中，三角形越來(lái)越活躍，到處可見三角形的影子.從不同的角度展現(xiàn)三角形的豐富內(nèi)涵，請(qǐng)看下面的例子： 例1 （2004浙江）已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足，則的值等于 . 解：由題意可知,

2、A、B、C三點(diǎn)不共線， 他們可構(gòu)成. 又，,，. =. 評(píng)析：本題是由向量形式的三角形求值問(wèn)題，而且是特殊的.一般地，對(duì)于任意，有=，或者由，得，=. 例2 （2005山西）在中，已知，給出以下四個(gè)論斷：；.其中正確的是 ( ) A B C D 解：， ，則。 不一定成立; ，成立，不一定成立；，成立.選A.評(píng)析：此題是三角函數(shù)問(wèn)題，滿足條件的三角形是，以為直角的的等價(jià)形式為.本題主要考查的等價(jià)轉(zhuǎn)換和銳角的正、余弦之和的取值范圍.例3 （2005山西）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足=，則點(diǎn)是的 （ ） A 三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) C三條中線的交點(diǎn) D三條高的交點(diǎn) 解

3、：由，得 是的垂心，即三條高的交點(diǎn).選D. 例4 （2003山西）已知是平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定過(guò)的 （ ） A 外心 B 內(nèi)心 C重心 D 垂心 解：、分別為、的單位向量，向量（）就是起點(diǎn)為A 、終點(diǎn)在的平分線上的向量， 由，點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心.選B. 評(píng)析：例3，例4是以向量為題面，涉及三角形的內(nèi)心、垂心問(wèn)題，類似地還有三角形的重心、外心等問(wèn)題，請(qǐng)看例5、例6. 例5 已知P是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且，則G 是的 （ ） A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 解：若是的重心，則有（D是BC的中點(diǎn)）=， . 與重合，即G 是的重心. 例6 （

4、2005山西）的外接圓的圓心為，兩邊邊上的高的交點(diǎn)為H ，則實(shí)數(shù) . 解法一：當(dāng)為時(shí)，不妨設(shè)，則是AB的中點(diǎn)，H是直角頂點(diǎn)C，. 解法二：連接BO，交外接圓于D，連AD、DC.BD是的直徑，.又，四邊形是平行四邊形.， 。 變式：若是的外心，是三邊中點(diǎn)D、E、F構(gòu)成的的外心，且，則 .（其實(shí)是的中點(diǎn)，；也可用特例時(shí)得） 例7 （2002北京）已知是的三個(gè)頂點(diǎn). （I）寫出的重心G、外心F、垂心H的坐標(biāo)，并證明G、F、H三點(diǎn)共線； （II）直線FH與OB平行時(shí)，求頂點(diǎn)C的軌跡. 略解：（I）的頂點(diǎn)，且重心，外心，垂心. ，.，故G、F、H三點(diǎn)共線.（II），且， （），配方得，即.故（）為所求的軌跡方程.（時(shí)，為等邊三角形，G、F、H三點(diǎn)重合；而當(dāng)時(shí)，O、B、C三點(diǎn)共線不能構(gòu)成三角形）因此頂點(diǎn)C的軌跡是中心在，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，且焦點(diǎn)在直線上的橢圓，除去四點(diǎn). 例8 （2005山西）橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 . 解：為鈍角有以下幾種等價(jià)形式： 向量與的