1、12.2.2 反證法反證法2將將9 9個球分別染成紅色或白色。那么無論怎樣個球分別染成紅色或白色。那么無論怎樣染，至少有染，至少有5 5個球是同色的。你能證明這個結個球是同色的。你能證明這個結論嗎？論嗎？引例引例1：引例引例2：證明：設證明：設p為正整數，如果為正整數，如果p2是偶數是偶數, 則則p也是偶數。也是偶數。假設假設p不是偶數，可令不是偶數，可令p=2k+1，k為非負整數。為非負整數。可得可得 p2=4k2+4k+1，此式表明，此式表明，p2是奇數，這與條件是奇數，這與條件矛矛盾，因此假設盾，因此假設p不是偶數不成立，從而證明不是偶數不成立，從而證明p為偶數。為偶數。正難則反正難則反

2、3假設假設命題命題結論結論的的反面成立反面成立，經過正確的推理，經過正確的推理, ,引出引出矛矛盾盾，因此說明，因此說明假設錯誤假設錯誤, ,從而從而間接間接證明證明原命題成立原命題成立, ,這這樣的的證明方法叫樣的的證明方法叫反證法反證法。 反證法反證法4反證法的證明過程：反證法的證明過程： 反設反設歸謬歸謬存真存真反設反設假設命題的結論不成立，假設命題的結論不成立， 即假設原結論的反面為真即假設原結論的反面為真.歸謬歸謬從反設和已知條件出發，從反設和已知條件出發， 經過一系列正確的邏輯推理，經過一系列正確的邏輯推理， 得出矛盾結果得出矛盾結果.存真存真由矛盾結果，斷定反設不真，由矛盾結果，

3、斷定反設不真， 從而肯定原結論成立從而肯定原結論成立.5例例1證明證明 不是有理數。不是有理數。2證明：假定證明：假定 是有理數，則可設是有理數，則可設 ,其中其中p，q為為互質的正整數，互質的正整數，22pq 兩邊平方得到，兩邊平方得到，2q2=p2， 式表明式表明p2是偶數，所以是偶數，所以p也是偶數，于是令也是偶數，于是令p=2l，l是正整數，代入式，是正整數，代入式，得得q2=2l2， 式表明式表明q2是偶數，所以是偶數，所以q也是偶數，這樣也是偶數，這樣p，q都有公因數都有公因數2，這與，這與p，q互質矛盾，互質矛盾，因此因此 是有理數不成立，于是是有理數不成立，于是 是無理數是無理

4、數.226例例2證明證明1， ，2不能為同一等差數列不能為同一等差數列的三項。的三項。3證明：假設證明：假設1， ，2是某一等差數列中的是某一等差數列中的三項，設這一等差數列的公差為三項，設這一等差數列的公差為d，則，則31= md，2= +nd，其中，其中m，n為某為某兩個正整數，兩個正整數，337由上兩式中消去由上兩式中消去d，得到，得到n+2m=(n+m) ,因為因為n+2m為有理數，為有理數，(m+n) 為無理數為無理數,33所以所以n+2m(n+m)，因此假設不成立，因此假設不成立，1， ，2不能為同一等差數列中的三項不能為同一等差數列中的三項.38221223., ,2,22.a

5、b caxbxc ybxcxaycxaxbx例3已知是互不相等的實數 求證：由y和確定的三條拋物線至少有一條與 軸有兩個不同的交點9212221222222222222,= 240= 240= 2402,2,23,xbaccababcabcabbcacabab bcbc acacabcabbcac假設題設中的函數確定的三條拋物線都不與 軸有兩個不同的交點 則以例 證明：上三式相加得又因為互不相等，由基本不等式得相加得以上兩式矛盾因此假設不成立 從而命題得證1011例例5 5. .(2011(2011南通模擬南通模擬) )若若a a、b b、c c均為實數均為實數, ,且且求證：求證：a a、b

6、 b、c c中至少有一個大于中至少有一個大于0.0.22by2z,cz2x.362ax2y,21213例例6.設設0 a, b, c , (1 b)c , (1 c)a ,141414則三式相乘：則三式相乘： (1 a)b(1 b)c(1 c)a 16414又又0 a, b, c 1 所以所以2(1)10(1)24aaa a同理：同理：1(1)4b b1(1)4c c以上三式相乘：以上三式相乘： (1 a)a(1 b)b(1 c)c 與矛盾與矛盾164原式成立。原式成立。15原詞語原詞語 否定詞否定詞 原詞語原詞語 否定詞否定詞 等于等于任意的任意的是是 至少有一個至少有一個 都是都是 至多有一個至多有一個 大于大于 至少有至少有n n個個 小于小于 至多有至多有n n個個 對所有對所有x x成立成立對任何對任何x x不成立不成立準確地作出反設準確地作出反設( (即否定結論即否定結論) )是非常重要的，是非常重要的，下面是一些常見的下面是一些常見的關鍵詞關鍵詞的否定形式的否定形式. . 不是不是不都是