1、24.1函數的零點預習課本P7071，思考并完成以下問題(1)函數零點的定義是什么？ (2)方程的根、函數的圖象與x軸的交點、函數的零點三者之間的了解是什么？ 1函數的零點如果函數yf(x)在實數處的值等于零，即f()0，則叫做這個函數的零點在坐標系中表示圖象與x軸的公共點是(，0)點點睛函數的零點不是一個點，而是一個實數，當自變量取該值時，其函數值等于零2二次函數的零點與相應二次方程根的關系判別式>00<0二次函數yax2bxc(a>0)的圖象一元二次方程ax2bxc0的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1x2沒有實根二次函數yax2bxc的零點有兩

2、個零點x1，x2有一個二重零點x1x2沒有零點1判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)所有的函數都有零點()(2)若方程f(x)0有兩個不等實根x1，x2，則函數yf(x)的零點為(x1,0)(x2,0)()(3)若函數yf(x)在區間(a，b)上有零點，則一定有f(a)·f(b)0.()答案：(1)×(2)×(3)×2函數yx24x3的零點是()A1，3B3，1C1，3 D1,3答案：D3下列各圖象表示的函數中沒有零點的是()答案：D4函數f(x)x25x的零點是_答案：0,5求函數的零點典例求下列函數的零點(1)f(x)x22x3；(2

3、)f(x).解(1)f(x)x22x3(x3)(x1)，方程x22x30的兩根分別是3和1.故函數的零點是3,1.(2)f(x)，令0，解得x1，故函數的零點是1.函數零點的求法求函數f(x)的零點時，通常轉化為解方程f(x)0，若方程f(x)0有實數根，則函數f(x)存在零點，該方程的根就是函數f(x)的零點；否則，函數f(x)不存在零點活學活用求下列函數的零點：(1)f(x)x3x2x1；(2)f(x)x42x23.解：(1)f(x)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)0，而x210，故x1，f(x)x3x2x1的零點為1.(2)由f(x)x42x23(x23)(x21)(x

4、)·(x)·(x21)，而x210，得x±.f(x)x42x23的零點為，.判斷函數零點的個數典例判斷函數f(x)x2的零點的個數？解法一圖象法由x20，得x2.令h(x)x2(x0)，g(x).在同一坐標系中畫出h(x)和g(x)的圖象，可知兩圖象只有一個交點，故函數f(x)x2只有一個零點法二方程法令f(x)0，即x20，0.x0，x310.(x1)(x2x1)0.x1或x2x10.方程x2x10的根的判別式12430，方程x2x10無實數根函數f(x)只有一個零點判斷函數存在零點的2種方法(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判斷解的個數，可通過方程的解

5、來判斷函數是否存在零點或判斷零點的個數(2)圖象法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐標系內作出y1g(x)和y2h(x)的圖象，根據兩個圖象交點的個數來判定函數零點的個數活學活用1若abc0，且b2ac，則函數f(x)ax2bxc的零點的個數是_解析：ax2bxc0的根的判別式b24ac，b2ac，且abc0，3b20，方程ax2bxc0無實根函數f(x)ax2bxc無零點答案：02方程3x26x0的實根個數是_解析：設f(x)3x26x，g(x)，畫出f(x)和g(x)的圖象，如圖所示由f(x)和g(x)的圖象的交點的個數可知，3x26x0的實根個數是3.答案：3函

6、數零點性質的應用典例已知函數f(x)ax2bx1.若ba2，且函數f(x)在(2,1)上恰有一個零點，求a的取值范圍解當a0時，令f(x)0，得x，符合題意當a0時，ba2，f(x)ax2(a2)x1，(a2)24a0，函數f(x)ax2bx1必有兩個零點，又函數f(x)在(2,1)上恰有一個零點，故f(2)f(1)0，即(6a5)(1)0，a，又a0，a且a0.綜上，a的取值范圍為.解決此類問題可設出方程對應的函數，根據函數的零點所在的區間分析區間端點函數值的符號，建立不等式，使問題得解當函數解析式中含有參數時，要注意分類討論活學活用問當a取何值時，方程ax22x10的一個根在(0,1)上，

7、另一個根在(1,2)上解：由題意知a0，原方程可化為x2x0.令f(x)x2x，方程的根分別在區間(0,1)和(1,2)上即解得a1，綜上，a的取值范圍為.層級一學業水平達標1函數f(x)x2x1的零點有()A0個B1個C2個 D無數個解析：選C(1)24×1×(1)50，方程x2x10有兩個不相等的實根，故函數f(x)x2x1有2個零點2函數f(x)2x23x1的零點是()A，1 B.，1C.，1 D，1解析：選B方程2x23x10的兩根分別為x11，x2，所以函數f(x)2x23x1的零點是，1.3函數yx2bx1有一個零點，則b的值為()A2 B2C±2 D

8、3解析：選C因為函數有一個零點，所以b240，所以b±2.4已知函數f(x)則函數f(x)的零點個數為()A1 B2C3 D4解析：選C當x0時，x(x4)0的解為x4；當x0時，x(x4)0的解為x0或x4.故f(x)有3個零點5下列說法中正確的個數是()f(x)x1，x2,0的零點為(1,0)；f(x)x1，x2,0的零點為1；yf(x)的零點，即yf(x)的圖象與x軸的交點；yf(x)的零點，即yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標A1B2C3D4解析：選B根據函數零點的定義，f(x)x1，x2,0的零點為1，也就是函數yf(x)的零點，即yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標因此，只

9、有說法正確，故選B.6函數f(x)(x1)(x23x10)的零點有_個解析：f(x)(x1)(x23x10)(x1)(x5)(x2)，由f(x)0得x5或x1或x2.答案：37若函數f(x)2x2ax3有一個零點為，則f(1)_.解析：因為函數f(x)2x2ax3有一個零點為，所以是方程2x2ax30的一個根，則2×a30，解得a5，所以f(x)2x25x3，則f(1)2530.答案：08若f(x)xb的零點在區間(0,1)內，則b的取值范圍為_解析：f(x)xb是增函數，又f(x)xb的零點在區間(0,1)內，1b0.答案：(1,0)9判斷下列函數是否存在零點，若存在，則求出零點(

10、1)f(x)x23x15；(2)f(x)x3x.解：(1)由x23x15(x3)(x5)0，得x15，x23，所以函數f(x)的零點是5,3.(2)因為x3xx(x21)x(x1)(x1)令f(x)0，即x(x1)(x1)0.所以f(x)的零點有0,1，1.10已知函數f(x)ax22(a1)xa1.(1)求a為何值時，函數的圖象與x軸有兩個交點；(2)如果函數的一個零點在原點，求a的值解：(1)若函數的圖象與x軸有兩個交點，則已知函數為二次函數，且方程f(x)0有兩個不相等的實數根，于是有a0，>0.又4(a1)24a(a1)>0，即a>，所以滿足題意的實數a的取值范圍為(

11、0，)(2)如果函數的一個零點在原點，即x0是方程f(x)0的一個根，易得a10，解得a1.層級二應試能力達標1函數f(x)x34x的零點為()A(0,0)，(2,0)B(2,0)，(0,0)，(2,0)C2,0,2 D0,2解析：選C令f(x)0，得x(x2)(x2)0，解得x0或x±2，故選C.2函數yx2a存在零點，則a的取值范圍是()Aa0 Ba0Ca0 Da0解析：選B函數yx2a存在零點，則x2a有解，所以a0.3已知f(x)xx3，xa，b，且f(a)·f(b)0，則f(x)0在a，b內()A至少有一個實根 B至多有一個實根C沒有實根 D有唯一實根解析：選Df

12、(x)xx3的圖象在a，b上是連續的，并且是單調遞減的，又因為f(a)·f(b)0，可得f(x)0在a，b內有唯一一個實根4若函數f(x)x(aR)在區間(1,2)上有零點，則a的值可能是()A2B1C0D3解析：選Af(x)x在(1,2)上有零點，即方程x0，亦即x2a在(1,2)上有根1a4，故選A.5已知函數f(x)是定義域為R的奇函數，2是它的一個零點，且在(0，)上是增函數，則該函數有_個零點，這幾個零點的和等于_解析：因為函數f(x)是定義域為R的奇函數，且在(0，)上是增函數，所以f(0)0.又因為f(2)0，所以f(2)f(2)0，故該函數有3個零點，這3個零點之和等

13、于0.答案：306對于方程x3x22x10，有下列判斷：在(2，1)內有實數根；在(1,0)內有實數根；在(1,2)內有實數根；在(，)內沒有實數根其中正確的有_(填序號)解析：x0不是方程x3x22x10的根，原方程可化為x2x20，即x2x2.令f(x)x2x2，g(x)，原方程的根即為f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標，其圖象如圖由圖象知正確答案：7已知函數f(x)x2bx3.(1)若f(0)f(4)，求函數f(x)的零點(2)若函數f(x)一個零點大于1，另一個零點小于1，求b的取值范圍解：(1)由f(0)f(4)得3164b3，即b4，所以f(x)x24x3，令f(x)0即x24x3

14、0得x13，x21.所以f(x)的零點是1和3.(2)因為f(x)的零點一個大于1，另一個小于1，如圖需f(1)0，即1b30，所以b4.故b的取值范圍為(4，)8已知函數f(x)3x22xm1.(1)當m為何值時，函數有兩個零點、一個零點、無零點(2)若函數恰有一個零點在原點處，求m的值解：(1)函數有兩個零點，則對應方程3x22xm10有兩個不相等的實數根，易知0，即412(1m)0，可解得m；由0，可解得m；由0，可解得m.故當m時，函數有兩個零點；當m時，函數有一個零點；當m時，函數無零點(2)因為0是對應方程的根，有1m0，可解得m1.24.2求函數零點近似解的一種計算方法二分法預習

15、課本P7274，思考并完成以下問題(1)函數零點分為哪兩類？如何定義？ (2)二分法的原理是什么？用二分法求函數零點近似值的步驟是什么？ 1變號零點與不變號零點的概念如果函數yf(x)在一個區間a，b上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數值異號，即f(a)·f(b)<0，則這個函數在這個區間上，至少有一個零點，即存在一點x0(a，b)，使f(x0)0.如果函數圖象通過零點時穿過x軸，則稱這樣的零點為變號零點，如果沒有穿過x軸，則稱這樣的零點為不變號零點2二分法的原理我們把每次取區間的中點，將區間一分為二再經比較，按需要留下一個小區間的方法稱為二分法它是通過不斷地把函數的零點

16、所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到近似值的方法1判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)所有函數的零點都可以用二分法來求()(2)函數f(x)|x|可以用二分法求其零點()(3)二分法求函數的零點的近似值適合于變號零點()答案：(1)×(2)×(3)2觀察下列函數的圖象，判斷能用二分法求其零點的是()答案：A3用二分法求函數f(x)x35的零點可以取的初始區間是()A2,1B1,0C0,1 D1,2答案：A4用二分法研究函數f(x)x33x1的零點時，第一次經計算得f(0)0，f(0.5)0，可得其中一個零點x0_，第二次應計算_答案：(0

17、,0.5)f(0.25)二分法概念的理解典例下列圖象所表示的函數中能用二分法求零點的是()解析A中，函數無零點B和D中，函數有零點，但它們均是不變號零點，因此它們都不能用二分法來求零點而在C中，函數圖象是連續不斷的，且圖象與x軸有交點，并且其零點為變號零點，故選C.答案C二分法的適用條件判斷一個函數能否用二分法求其零點的依據是：其圖象在零點附近是連續不斷的，且該零點為變號零點因此，用二分法求函數的零點近似值的方法僅對函數的變號零點適用，對函數的不變號零點不適用活學活用已知函數f(x)的圖象如圖，其中零點的個數與可以用二分法求解的個數分別為()A4,4B3,4C5,4 D4,3解析：選D圖象與x

18、軸有4個交點，所以零點的個數為4；左右函數值異號的零點有3個，所以用二分法求解的個數為3，故選D.用二分法求方程的近似零點典例用二分法求f(x)x2x1在區間1,2上的一個近似零點(精確到0.1)解用二分法逐步計算，列表如下：端點或中點橫坐標計算端點或中點的函數值定區間a01，b02f(1)1，f(2)11,2x01.5f(x0)0.2501.5,2x11.75f(x1)0.312 501.5,1.75x21.625f(x2)0.01601.5,1.625x31.562 5f(x3)0.121<01.562 5,1.625由上表可知，1.6251.562 50.062 50.1，因此可取

19、1.6為所求函數的一個零點的近似值用二分法求函數零點的近似值應遵循的原則(1)需依據圖象估計零點所在的初始區間m，n(一般采用估計值的方法完成)(2)取區間端點的中點c，計算f(c)，確定有解區間是(m，c)還是(c，n)，逐步縮小區間的“長度”，直到區間的兩個端點符合精確度要求，終止計算，得到函數零點的近似值活學活用用二分法求方程2x33x30的一個正實數近似解(精確到0.1)解：令f(x)2x33x3，經計算，f(0)3<0，f(1)2>0，f(0)·f(1)<0，所以可確定區間0,1作為計算的初始區間，用二分法逐步計算列表如下：端點或中點橫坐標計算端點或中點的

20、函數值定區間a00，b01f(0)3，f(1)20,1x00.5f(0.5)1.2500.5,1x10.75f(0.75)0.09400.5,0.75端點或中點橫坐標計算端點或中點的函數值定區間x20.625f(0.625)0.63700.625,0.75x30.687 5f(0.687 5)0.28800.687 5,0.75由于|0.687 50.75|0.062 5<0.1，所以0.75可作為方程的一個正實數近似解層級一學業水平達標1下列函數不宜用二分法求零點的是()Af(x)x31Bf(x)x23Cf(x)x22x2 Df(x)x24x1解析：選C因為f(x)x22x2(x)20

21、，不存在小于0的函數值，所以不能用二分法求零點2用二分法求如圖所示的函數f(x)的零點時，不可能求出的零點是()Ax1 Bx2Cx3 Dx4解析：選C能用二分法求零點的函數必須滿足在區間a，b上連續不斷，且f(a)f(b)0.而x3兩邊的函數值都小于零，不滿足區間端點處函數值符號相異的條件，故選C.3下面關于二分法的敘述中，正確的是()A用二分法可求所有函數零點的近似值B用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數點后的任一位C二分法無規律可循，無法在計算機上完成D只能用二分法求函數的零點解析：選B用二分法求函數零點的近似值，需要有端點函數值符號相反的區間，故選項A錯誤；二分法是一種程序化的運算，

22、故可以在計算機上完成，故選項C錯誤；求函數零點的方法還有方程法、函數圖象法等，故D錯誤故選B.4下列函數圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數零點的是()解析：選A因為圖中四個函數都有零點，且D圖中有四個零點，雖然這四個函數的圖象在零點附近都是連續不斷的，但由于A圖中的函數不滿足“函數在該零點左右函數值異號”，故只有A圖不滿足零點存在的條件，因此選A.5已知函數yf(x)的圖象是連續不斷的，且有如下的x，f(x)對應值：x1234567f(x)136.13615.5523.9210.8852.488232.06411.238由表可知函數yf(x)在區間(1,7)內的零點個數至少為()A

23、1 B2C3 D4解析：選D由表可知：f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，所以函數yf(x)在區間(1,7)內至少有4個零點6用二分法求函數yf(x)在區間2,4上零點的近似值，經驗證有f(2)·f(4)0.取區間的中點x13，計算得f(2)·f(x1)0，則此時零點x0_(填區間)解析：因為f(2)·f(3)0，所以零點在區間(2,3)內答案：(2,3)7函數f(x)x2axb有零點，但不能用二分法求出，則a，b的關系是_解析：函數f(x)

24、x2axb有零點，但不能用二分法，函數f(x)x2axb圖象與x軸相切a24b0.a24b.答案：a24b8已知二次函數f(x)x2x6在區間1,4上的圖象是一條連續的曲線，且f(1)6<0，f(4)6>0.所以函數f(x)在1,4內有零點用二分法求解時，取(1,4)的中點a，則f(a)_.解析：1,4的中點為2.5.f(2.5)2.522.562.25.答案：2.259用二分法求方程x220的一個正實數解的近似值(精確到0.1)解：令f(x)x22，由于f(0)2<0，f(2)2>0，可確定區間0,2作為計算的初始區間，用二分法逐步計算，列表如下：端點或中點橫坐標計算

25、端點或中點的函數值定區間a00，b02f(0)2，f(2)20,2x01f(x0)1<01,2x11.5f(x1)0.25>01,1.5x21.25f(x2)0.438<01.25,1.5x31.375f(x3)0.109<01.375,1.5x41.437 5f(x4)0.066>01.375，1437 5由上表的計算可知，區間1.375,1.437 5的長度為1.437 51.3750.062 5<0.1.故1.4可作為所求方程的一個正實數解的近似值10已知函數f(x)3ax22bxc，abc0，f(0)0，f(1)0，證明a0，并利用二分法證明方程f(

26、x)0在區間0,1內有兩個實根證明：f(1)0，3a2bc0，即3(abc)b2c0.abc0，b2c0，則bcc，即ac.f(0)0，c0，則a0.在區間0,1內選取二等分點，則fabca(a)a0.f(0)0，f(1)0，函數f(x)在區間和上各有一個零點又f(x)最多有兩個零點，從而f(x)0在0,1內有兩個實根層級二應試能力達標1方程(x1)(x2)(x3)x0的一個實數解所在的大致區間不可能是()A3，2B2，1C0,2 D2,4解析：選D設f(x)(x1)(x2)(x3)x，則其圖象是連續曲線，又知f(3)3<0，f(2)2>0，所以f(x)在3，2內有零點，即原方程在

27、3，2內有實數解同理原方程在2，1，0,2內也必有實數解，而在2,4上恒有f(x)>0，所以原方程在2,4內沒有實數解2若函數f(x)圖象是連續不斷的，且f(0)0，f(1)·f(2)·f(4)0，則下列命題正確的是()A函數f(x)在區間(0,1)內有零點B函數f(x)在區間(1,2)內有零點C函數f(x)在區間(0,2)內有零點D函數f(x)在區間(0,4)內有零點解析：選Df(1)·f(2)·f(4)0，則f(1)，f(2)，f(4)中有一個小于0，另兩個大于0或三個都小于0，則有零點可能區間(0,1)，(1,2)，(0,2)，但它們都包含于(0,4)，因此選項D正確3用二分法求函數f(x)在(a，b)內的唯一零點時，精確度為0.001，則結束計算的條件是()A|ab|0.1 B|ab|0.001C|ab|0.001 D|ab|0.001解析：選B據二