1、北京市西城區2017 2018學年度第二學期期末試卷 高二數學（理科） 2018.7試卷滿分：150分 考試時間：120分鐘本試卷共5頁，共150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的 .1. 復數（）（A）（B）（C）（D）2. 若函數，則（ ） （A）（B）（C）（D）3. 設函數的導函數為，若為奇函數，則有（ ）（A）（B）（C） （D）4. 射擊中每次擊中目標得1分，未擊中目標得0分. 已知某運動員每次射擊擊中目標的概率是，假設每

2、次射擊擊中目標與否互不影響，則他射擊3次的得分的數學期望是（ ） （A）（B）（C）（D）y O 1 x1 -1 5. 已知一個二次函數的圖象如圖所示，那么（ ） （A） （B） （C） （D）6. 有5名男醫生和3名女醫生. 現要從中選3名醫生組成地震醫療小組，要求醫療小組中男醫生和女醫生都要有，那么不同的組隊種數有（ ） （A）種（B）種（C）種（D）種7. 已知函數，若，x0為的一個極大值點，則實數的取值范圍是（ ） （A）（B） （C）（D）前三個答案都不對8. 某個產品有若干零部件構成，加工時需要經過7道工序，分別記為A，B，C，D，E，F，G. 其中，有些工序因為是制造不同的零部件

3、，所以可以在幾臺機器上同時加工；有些工序因為是對同一個零部件進行處理，所以存在加工順序關系. 若加工工序Y必須要在工序X完成后才能開工，則稱X為Y的緊前工序. 現將各工序的加工次序及所需時間（單位：小時）列表如下：工 序ABCDEFG加工時間3422215緊前工序無C無CA，BDA，B現有兩臺性能相同的生產機器同時加工該產品，則完成該產品的最短加工時間是（ ）（假定每道工序只能安排在一臺機器上，且不能間斷.） （A）個小時（B）個小時（C）個小時（D）個小時第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.9. 函數的圖象在處的切線的斜率為

4、_.10. 在的展開式中，常數項是_.（用數字作答） 11. 已知某隨機變量的分布列如下（）：1P 那么的數學期望_， 的方差=_. 12. 若4名演講比賽獲獎學生和3名指導教師站在一排照相，則其中任意2名教師不相鄰的站法有_種. （用數字作答）13. 設函數，其中. 若對于任意，則實數a 的取值范圍是_.14. 某電影院共有個座位. 某天，這家電影院上、下午各演一場電影. 看電影的是甲、乙、丙三所中學的學生，三所學校的觀影人數分別是985人，1010人，2019人（同一所學校的學生既可看上午場，又可看下午場，但每人只能看一場）. 已知無論如何排座位，這天觀影時總存在這樣的一個座位，上、下午在

5、這個座位上坐的是同一所學校的學生，那么n的可能取值有_個. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15（本小題滿分13分）在數列中，其中.（）計算，的值； （）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明. 16（本小題滿分13分）在奧運知識有獎問答競賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲答對這道題的概率是，甲、乙兩人都回答錯誤的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是. 設每人回答問題正確與否是相互獨立的.（） 求乙答對這道題的概率；（） 求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題的概率.17（本小題滿分13分）設，函數在區間上單調遞增，在

6、區間上單調遞減.() 若，求的值；() 求函數在區間上的最小值（用b表示）.18（本小題滿分13分）甲、乙兩個籃球隊在4次不同比賽中的得分情況如下：甲隊 88， 91， 92， 96乙隊 89， 93， 9， 92乙隊記錄中有一個數字模糊（即表中陰影部分），無法確認，假設這個數字具有隨機性，并用m表示 （）在4次比賽中，求乙隊平均得分超過甲隊平均得分的概率；（）當時，分別從甲、乙兩隊的4次比賽中各隨機選取1次，記這2個比賽得分之差的絕對值為，求隨機變量的分布列；（）如果乙隊得分數據的方差不小于甲隊得分數據的方差，寫出的取值集合.（結論不要求證明）19（本小題滿分14分）設函數，其中.（）當時，

7、求函數的極值； （）當時，證明：函數不可能存在兩個零點. 20（本小題滿分14分） 已知函數. （）求曲線在點處的切線方程； （）若函數在區間上為單調函數，求實數的取值范圍；（）設函數，其中. 證明：的圖象在圖象的下方.北京市西城區2017 2018學年度第二學期期末試卷高二數學（理科）參考答案及評分標準 2018.7一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1. C2. B3. D4. A5. C6. A7. B8. A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9. 10. 11. ，12. 13. 14. 注：一題兩空的題目，第一空2分，第二空3分.三、解答題：本大題共6

8、小題，共80分.15.（本小題滿分13分）（）解：由題意，得，. 3分（）解：由，猜想. 5分 以下用數學歸納法證明：對任何的，.證明： 當時，由已知，得左邊，右邊， 所以時等式成立. 7分 假設當時，成立， 8分 則時， 所以 當時，等式也成立. 12分 根據 和 ，可知對于任何，成立. 13分16.（本小題滿分13分）（） 解：記甲、乙、丙3人獨自答對這道題分別為事件A，B，C， 1分 設乙答對這道題的概率， 由于每人回答問題正確與否是相互獨立的，因此A，B，C是相互獨立事件. 由題意，并根據相互獨立事件同時發生的概率公式， 得 4分 解得， 所以，乙對這道題的概率為. 6分（）解：設“甲

9、、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題”為事件M，丙答對這道題的 概率， 7分 由（），并根據相互獨立事件同時發生的概率公式， 得， 9分 解得 . 10分 甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率為 . 12分因為事件“甲、乙、丙三人都回答錯誤”與事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答 對這道題”是對立事件， 所以，所求事件概率為. 13分17.（本小題滿分13分） （）解：求導，得. 1分 因為函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減， 所以. 3分 又因為， 所以，驗證知其符合題意. 4分（）解：由（），得，即. 所以，. 5分 當時，得當時， 此時，函數在上單調遞增. 這與題意不符. 7分 當時， 隨

10、著的變化，與的變化情況如下表：極大值極小值 所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減. 由題意，得. 9分 所以當時，函數在上的最小值為； 11分 當，函數在上的最小值為， 綜上，當時，在上的最小值為；當，在上的最小值為. 13分(或寫成：函數在上的最小值為 ）.18.（本小題滿分13分）（）解：設“乙隊平均得分超過甲隊平均得分”為事件， 1分依題意 ，共有10種可能. 2分由乙隊平均得分超過甲隊平均得分，得，解得，所以當時，乙隊平均得分超過甲隊平均得分，共6種可能 4分所以乙隊平均得分超過甲隊平均得分的概率 5分（）解：當時，記甲隊的4次比賽得分88, 91, 92, 96分別為，乙隊的4次比賽

11、得分89, 93, 95, 92分別為， 則分別從甲、乙兩隊的4次比賽中各隨機選取1次，所有可能的得分結果有種， 它們是：， 6分則這2個比賽得分之差的絕對值為的所有取值為. 7分因此， ，. 9分所以隨機變量的分布列為：0123457 10分（）解： 13分19.（本小題滿分14分）（）解：求導，得，2分 因為，所以， 所以當時，函數為減函數； 當時，函數為增函數. 故當時，存在極小值；不存在極大值. 5分（）證明：解方程，得，. 當，即時， 隨著的變化，與的變化情況如下表：1極大值極小值 7分 所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減. 又因為， 所以函數至多在區間存在一個零點； 9分 當，即時， 因為（當且僅當時等號成立）， 所以在上單調遞增， 所以函數至多存在一個零點； 11分 當，即時， 隨著的變化，與的變化情況如下表：1極大值極小值 12分 所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減. 又因為， 所以當時， 所以函數至多在區間存在一個零點. 綜上，當時函數不可能存在兩個零點. 14分20.（本小題滿分14分）（）解：求導，得， 1分 又因為， 所以曲線在點處的切線方程為. 3分（）解：設函數， 求導，得， 因為函數在區間上為單調函數， 所以在區間上，恒成立，或者恒成立， 4分 又