1、單位根檢驗與結構突變的理論、方法及應用南開大學經濟學院數量經濟學專業博士生導師中國數量經濟學會常務理事 張曉峒1典型隨機過程簡述。在介紹單位根檢驗之前，先認識一下各種隨機過程的表現形式。（1）白噪聲過程（white noise，如圖1）。屬于平穩過程。yt = ut, ut IID(0, s2)圖2是日元兌美元差分序列（收益序列），近似于白噪聲序列。（2）隨機游走過程（random walk，如圖3）。屬于非平穩過程。yt = yt-1 + ut, ut IID(0, s2)圖4是深圳股票綜合價格收盤指數序列，近似于隨機游走過程。隨機游走的差分過程是平穩過程（白噪聲過程）。Dyt = ut。

2、圖1 白噪聲序列（s2=1） 圖2 日元兌美元差分序列 圖3隨機游走序列（s2=1） 圖4深圳股票綜合指數 圖5 隨機趨勢非平穩序列（m = 0.1） 圖6 隨機趨勢非平穩序列（m = -0.1）“隨機游走”一詞首次出現于1905年自然（Nature）雜志第72卷Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。該信件的題目是“隨機游走問題”。文中討論尋找一個被放在野地中央的醉漢的最佳策略是從投放點開始搜索。（3）隨機趨勢非平穩過程（stochastic trend process）或差分平穩過程（difference- stationary process）、有漂移項的非平穩過程

3、（non-stationary process with drift）。見圖5和6。屬于非平穩過程。yt = m + yt-1 + ut , ut IID(0, s2)迭代變換，yt = m + (m + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + m t += m t +因為隨機趨勢過程是由一個確定性時間趨勢mt和一個隨機游走組合而成，所以隨機趨勢過程由確定性時間趨勢所主導，表現出很強的趨勢性。yt圍繞著mt變化，但不會回到mt。趨勢的方向完全由m的符號決定。m為正時，趨勢向上（見圖5）；m為負時，趨勢向下（見圖6）。對yt做一階差分，Dyt = m + ut，為平穩過程。差分平穩

4、過程由此得名。E(Dyt) = m。當yt表示對數變量時，E(Dyt)表示平均增長率。隨機趨勢非平穩過程的差分過程是平穩過程。Dyt = m + ut 。 圖7 退勢平穩序列（m =0, a=0.1） 圖8 確定性趨勢非平穩序列（m =0.1, a=0.1）（4）趨勢平穩過程（trend-stationary process）或退勢平穩過程（見圖7）。屬于非平穩過程。 yt = m + a t + ut, ut IID(0, s2)因為該過程是由確定性趨勢m + a t和平穩隨機過程ut組成，所以稱為趨勢平穩過程。趨勢平穩過程由確定性時間趨勢t所主導。減去確定性時間趨勢項at之后，過程變為平穩

5、過程，所以也稱退勢平穩過程。趨勢平穩過程的差分過程是過度差分過程。Dyt = a + ut - ut-1 。所以應該用退勢的方法獲得平穩過程。yt - a t = m + ut。（5）確定性趨勢非平穩過程（non-stationary process with deterministic trend）（如圖8）。屬于非平穩過程。 yt = m + a t + yt-1+ ut, ut IID(0, s2)確定性趨勢非平穩過程中含有隨機趨勢、確定性趨勢并含有單位根成分。過程由確定性時間趨勢所主導。減去確定性時間趨勢項之后，過程仍是非平穩過程。這種過程的時間趨勢性比隨機趨勢非平穩過程和退勢平穩過程

6、更強烈、明顯。 yt = m + a t + yt-1 + ut = m + a t + (m + a (t-1) + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + m t + a t 2 - a (1+2 + t) += y0 + m t + a t 2 -( 1+ t ) t += (m -) t +t 2 + (設定y0=0)含有隨機趨勢和確定性趨勢的混合隨機過程實際上是隨機游走加上一個時間t的2次方過程。這種過程在經濟問題中非常少見。 確定性趨勢非平穩過程的差分過程是退勢平穩過程，Dyt = m + a t + ut。確定性趨勢非平穩過程的退勢過程是非平穩過程，yt - a t

7、 = m + yt-1+ ut。只有既差分又退勢才能得到平穩過程，Dyt - a t = m + ut。圖9 對數的中國國民收入序列 圖10 中國人口序列圖9是對數的中國國民收入序列，近似于隨機趨勢非平穩序列和退勢平穩序列。圖10是中國人口序列，近似于確定性趨勢非平穩序列。對于單位根過程（差分平穩），每個隨機沖擊都具有長記憶性，方差趨于無窮大，其均值概念變得毫無意義；對于退勢平穩過程，隨機沖擊只具有有限記憶能力，其影響會很快消失，由其引起的對趨勢的偏離只是暫時的。對退勢平穩序列，只要正確估計出其確定性趨勢，即可實現長期趨勢與平穩波動部分的分離。大量的實證研究顯示，不變價格的宏觀經濟序列為退勢平

8、穩過程的可能性遠大于名義價格的宏觀經濟序列。中國的GDP、固定資產投資和居民消費等序列均為退勢平穩序列。這意味著，改革開放以來，中國的經濟增長雖然因為受到各種沖擊因素的影響而出現不同程度的偏離趨勢的上下波動，但這種偏離是暫時的，從較長時期來看，經濟增長總體上沿著確定的均衡增長路徑平穩運行。而隨機趨勢過程雖然也有長期引力線，但其數據生成過程含有單位根，隨機沖擊對它具有持續的長期影響。只有通過差分才能使其平穩，屬于差分平穩過程。例：給出對數的中國GDP序列如下。無論采取線性退勢，還是2次退勢，所得序列都是平穩序列。 線性趨勢 2次趨勢 ADF= -3.05 < ADF(0.05) = -1.

9、95 ADF= -4.36 < ADF(0.05) = -1.952單位根檢驗步驟。單位根檢驗做得不好常常會把退勢平穩過程誤判為隨機趨勢非平穩過程（隱性趨勢）和確定性趨勢非平穩（顯性趨勢）過程。檢驗時間序列中是否含有單位根時常會碰到如下幾種問題：（1）當被檢驗過程（d.g.p.）的形式未知時，應該考慮到其中是否含有隨機的或確定性的時間趨勢成分。（2）被檢驗過程（d.g.p.）的形式通常要比AR(1) 形式復雜，可能是高階自回歸過程或含有移動平均成分。（3）當被檢驗隨機過程接近含有單位根但實為平穩過程（特征根小于1，但接近1）時，在有限樣本、特別是小樣本條件下的單位根檢驗結果容易接受原假設

10、，誤判為單位根過程，即檢驗功效降低。（4）應該注意的是當被檢驗過程中含有未發現的突變點時，常導致單位根檢驗易于接受零假設（非平穩過程）。（5）對于季節隨機過程除了檢驗零頻率單位根外，還要檢驗季節單位根（不講）。 檢驗單位根通常有3種方法。（1）DF（ADF）檢驗法（Dickey-Fuller,1979）、（2）CRDW（cointegration regression DW）檢驗法（Sargan-Bhargava,1983）、（3）PP（或Z）檢驗法（Phillips,1987）。最常用的是DF（和ADF）檢驗法。DF檢驗式的一種形式是 yt = b yt-1 + ut , ut IID(0,

11、 s2) (1.a)H0：b =1，H1：b <1。檢驗統計量DF =或 D yt = r yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (1.b)其中r = b -1。H0：r = 0，H1：r < 0。檢驗統計量DF =。其中和分別表示b 和r 的OLS估計量。檢驗式(1.b)更常用。盡管DF計算公式與t統計量相同，但在H0：r = 0成立（yt非平穩）條件下，DF不服從t分布，而服從DF分布。以b = 1的（1）式為數據生成系統（d.g.p.），DF分布百分位數用蒙特卡羅模擬的方法得到（見表1第1部分）。檢驗用臨界值從中查?。ㄕ訤uller（1976）。用（1）式檢驗

12、單位根等價于先驗認定被檢驗過程yt是一個零均值、無趨勢項的AR(1)過程。因為只有當一個含有單位根的隨機過程中不含有確定性變量，那么該過程的均值完全由初始值決定，所以y0 = 0。可見，只有在一個過程的均值為零時，使用（1）式檢驗單位根才是正確的。換句話說，如果被檢驗的過程的均值非零，就應該首先減去這個均值，然后再用（1）式檢驗單位根。但實際中，被檢驗過程的均值一般是不知道的。所以，當不知被檢驗過程的均值是否為零，或不知其初始值y0是否為零時，應該用下式檢驗單位根。 yt = m + b yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (2.a)H0：b =1，H1：b <1。檢驗統

13、計量DF =或 D yt = m +r yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (2b)其中r = b -1。H0：r = 0，H1：r < 0。檢驗統計量DF =。其中和分別表示b 和r 的OLS估計量。DF檢驗臨界值應從表1第2部分查找。條件是數據由b =1的（1）式生成，而DF檢驗式是（2）式。注意，估計（2）式得到的 和DF的分布都不受y0取值的影響。這一點太重要了。否則必須先知道y0的值和DF分布才能進行單位根檢驗。 表1 DF分布百分位數表DF檢驗式 T a 0.01 0.025 0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99 25- 2.66- 2

14、.26- 1.95- 1.600.921.331.702.16 50- 2.62- 2.25- 1.95- 1.610.911.311.662.08 (a) 100- 2.60- 2.24- 1.95- 1.610.901.291.642.03檢驗式 (1) 250- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.291.632.01 500- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00 ¥- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00 25- 3.75- 3.33- 3.00- 2.63- 0.370.0

15、00.340.72 50- 3.58- 3.22- 2.93- 2.60- 0.40- 0.030.290.66 (b) 100- 3.51- 3.17- 2.89- 2.58- 0.42- 0.050.260.63檢驗式 (2) 250- 3.46- 3.14- 2.88- 2.57- 0.42- 0.060.240.62 500- 3.44- 3.13- 2.87- 2.57- 0.43- 0.070.240.61 ¥- 3.43- 3.12- 2.86- 2.57- 0.44- 0.070.230.60 25- 4.38- 3.95- 3.60- 3.24- 1.14- 0.8

16、0- 0.50- 0.15 50- 4.15- 3.80- 3.50- 3.18- 1.19- 0.87- 0.58- 0.24 (c) 100- 4.04- 3.73- 3.45- 3.15- 1.22- 0.90- 0.62- 0.28檢驗式 (3) 250- 3.99- 3.69- 3.43- 3.13- 1.23- 0.92- 0.64- 0.31 500- 3.98- 3.68- 3.42- 3.13- 1.24- 0.93- 0.65- 0.32 ¥- 3.96- 3.66- 3.41- 3.12- 1.25- 0.94- 0.66- 0.33 t(¥) N(0

17、,1)- 2.33- 1.96- 1.65- 1.281.281.651.962.33 注：1. 適用于DF檢驗式(1), (2) 和 (3)。T：樣本容量，a：檢驗水平。 2. d.g.p.是yt = yt-1 + ut , ut IID(0, s2)。 3. 摘自Fuller (1976) 第373頁。 DF檢驗式（2）中t()的分布見圖11。t()不再服從t分布?？梢妼的顯著性檢驗也應該用蒙特卡羅模擬結果計算。T = 50條件下，臨界值t()0.05 = -2.57，臨界值t()0.95 = 2.51。 圖11 t()統計量分布的蒙特卡羅模擬（T =50，模擬1萬次） 當真實的隨機過程

18、如（2）式時，就不能用（2）式檢驗單位根了。因為當 r = 0時，yt是一個隨機趨勢非平穩過程。根據m的符號（正或負）分別呈向上或向下的固定趨勢變化。當r < 0時，yt是一個以m / (-r )為均值的平穩過程，不含有趨勢分量。所以這種條件下，用（2）式檢驗單位根就沒有辦法包括零假設和備擇假設所有可能結果即不能包括退勢平穩過程，yt = m +at + ut (3)所以有必要在檢驗式中加入確定性時間趨勢項at，即用下式檢驗單位根。 yt = m +at + b yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (4a)H0：b =1，H1：b <1。檢驗統計量DF =或 D y

19、t = m +at +r yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (4b)其中r = b -1。H0：r = 0，H1：r < 0。檢驗統計量DF =。其中和分別表示b 和r 的OLS估計量。原假設： a = 0，r = 0；原假設之一：a = 0，r ¹ 0（平穩過程）；原假設之一：a ¹ 0，r ¹ 0（退勢平穩過程）；DF檢驗臨界值應從表1第3部分查找。條件是數據由b =1的（1）式生成，而DF檢驗式是（4）式。DF檢驗式（4）中t(), t()統計量分布的蒙特卡羅模擬結果見圖12。t(), t()的分布近似相同，但服從的不是t分布，所以不

20、能用通常的t分布臨界值做顯著性檢驗。T =100條件下，臨界值t()0.05 = -2.80，臨界值t()0.95 =2.87；臨界值t()0.05 = -2.89，臨界值t()0.95 =2.66。 圖12 t(), t()統計量分布的蒙特卡羅模擬（T =100，模擬1萬次）圖13 （1）、（2）、（4）式中DF分布的蒙特卡羅模擬（T =50，模擬1萬次）與正態分布曲線數據由b =1的（1）式生成，而DF檢驗式是（1）、（2）、（4）的DF分布的蒙特卡羅模擬結果見圖13。從圖13和表1都可以看出檢驗式中隨著m和at項的加入，相應的DF分布或臨界值逐漸向左移，即臨界值相應變小。可見在不正確地使

21、用了缺少m和at項的檢驗式將導致以過大的概率拒絕零假設。檢驗式中加入的確定性成分越多，這種情形越嚴重。注意：（4）式中的r 和DF的分布不受y0和m值的影響。若實際過程是（4）式（同時存在隨機趨勢和確定性趨勢）。這時應該用帶有t2趨勢項的檢驗式檢驗單位根。但實際中可以排除這種情形。因為經濟序列在取對數的情況下不可能含有t2的增長趨勢。注意：也可以對（4）式進行聯合檢驗，H0：a =r =0。但所用的F統計量不再服從F分布。而服從如表2的分布。對于檢驗式（4），若r =0不能被拒絕，但F檢驗的零假設a =r =0被拒絕，這意味著a ¹0，則yt是一個確定趨勢加單位根過程。這時隨機單位根

22、過程完全被確定性趨勢t所主導，對應于r的DF統計量漸近服從標準正態分布。這時應該查t分布或標準正態分布臨界值表。表2 對（4）式進行聯合檢驗H0：a =r =0的F分布表T1-a0.010.0250.050.100.900.950.9750.99250.760.901.081.335.917.248.6510.61500.760.931.111.375.616.737.819.311000.760.941.121.385.476.497.448.732500.760.941.131.395.396.347.258.435000.760.941.131.395.366.307.208.340.7

23、70.941.131.395.346.257.168.27s.e.0.0040.0040.0030.0040.0150.0200.0320.058摘自：Dickey-Fuller（1981）對于（2）式也可能發生類似情形。當r =0被接受，F檢驗的零假設m =r =0被拒絕，這意味著m ¹0，于是非平穩單位根過程被隨機趨勢主導。對應于r的DF統計量漸近服從t分布。對（2）式進行聯合檢驗，H0：m =r =0。但所用的F統計量不再服從F分布。實際分布見表3。表3 對（2）式進行聯合檢驗H0：m =r =0的F分布表T1-a0.010.0250.050.100.900.950.9750.

24、99250.290.380.490.654.125.186.307.88500.290.390.500.663.944.865.807.061000.290.390.500.673.864.715.576.702500.300.390.510.673.814.635.456.525000.300.390.510.673.794.615.416.470.300.400.510.673.784.595.386.43s.e.0.0020.0020.0020.0020.010.020.030.05摘自：Dickey-Fuller（1981）注意：當上述兩種F檢驗的結論是拒絕零假設H0：m =r =0（

25、對應（2）式），a =r =0（對應（4）式）時，分別為m ¹0，r =0；a ¹0，r =0。被檢驗的真實過程和檢驗式具有了相同的形式（非平穩過程且含有確定性成分）。此時稱檢驗為準確檢驗（exact test），而利用DF統計量臨界值的檢驗稱作近似檢驗（similar test，含義是可以用t統計量檢驗）。使用準確檢驗時有兩點需要注意：（1）只有當待檢驗d.g.p.中有非零漂移項（或趨勢項），而相應DF（ADF）檢驗式中也含有漂移項（或趨勢項）時，DF（ADF）統計量才漸近服從t分布。比如d.g.p.中不含有趨勢項，而相應DF（ADF）檢驗式中含有趨勢項，這意味著應該使用

26、DF分布的臨界值。因為一般不敢保證對DF（ADF）檢驗式的設定完全與d.g.p.形式吻合，所以在實際中使用DF分布的臨界值更安全些。（2）Banerjee等認為，盡管當DF（ADF）檢驗式中含有漂移項或（和）趨勢項，樣本容量T時，使用t分布臨界值要好些，但在有限樣本條件下，還是使用DF分布的臨界值做單位根檢驗更好些。（3）當在檢驗式中不適當地多加一些確定項（如漂移項m，趨勢項t等），盡管真實的過程是平穩的，DF檢驗仍將以更大的概率接受原假設（非平穩），導致DF檢驗功效降低。（4）因為對于檢驗式（1）、（2）、（4），DF檢驗臨界值越來越向左移，說明檢驗式中增加確定項，使臨界值變得越來越?。ń^對

27、值變得越來越大）。盡管d.g.p.是平穩的，但檢驗結果卻很難拒絕原假設（非平穩）。（5）盡管增加多余參數會降低檢出平穩序列的功效，當被檢驗過程的真實形式未知時，仍建議用（4）式（盡量多含確定性項）檢驗單位根。因為如果檢驗式中確定項（漂移項或趨勢項）不足，將不能把原假設和備擇假設的所有情形都包括在假設中。給出單位根檢驗順序如下。首先從（4）式開始。若檢驗結果為拒絕原假設，序列具有平穩性，檢驗結束。若不能拒絕原假設，則逐步剔除趨勢項和漂移項（即增加約束條件）直至拒絕原假設為止。若一直不能拒絕原假設，說明原序列是一個非平穩過程。具體檢驗步驟見表4。表4 被檢驗過程（d.g.p.）未知條件下的單位根檢

28、驗步驟DF單位根檢驗式統計量說明1Dyt = m +at +r yt-1 + utH0：r =0DF若拒絕H0，yt為平穩過程。檢驗止。若接受H0，進入下一步，做F檢驗。2Dyt = m +at +r yt-1 + utH0：a =r =0F若拒絕H0，意味著a ¹0，yt含時間趨勢。繼續做3a式檢驗。若接受H0，進一步做3 b式檢驗。3aDyt = m +at +r yt-1 + utH0：r =0t若拒絕H0，yt為退勢平穩過程。檢驗止。若接受H0，yt為趨勢非平穩過程。檢驗止。3bDyt = m +r yt-1 + utH0：r =0DF若拒絕H0，yt為均值為m的平穩過程。檢

29、驗止。若接受H0：r =0，進入下一步檢驗。4Dyt = m +r yt-1 + utH0：m =r =0F若拒絕H0，意味著m ¹0，yt為隨機趨勢非平穩過程。繼續做5a式檢驗。若接受H0：m =r =0，進一步做5 b式檢驗。5aDyt = m +r yt-1 + utH0：r =0t若拒絕H0，yt為平穩過程。檢驗止。若接受H0，yt為隨機趨勢非平穩過程。檢驗止。5bDyt = r yt-1 + utH0：r =0DF若拒絕H0，yt為平穩過程。檢驗止。若接受H0，yt為隨機游走過程。檢驗止。DF檢驗流程圖如圖13。(1) 檢驗式yt為平穩過程。檢驗止。 若拒絕H0 若接受H0

30、yt為退勢平穩過程。檢驗止。式(3a) 檢驗式進入(2) 檢驗式。 做F檢驗 (2) 檢驗式 若拒絕H0 若拒絕H0 若接受H0yt為趨勢非平穩過程。檢驗止。式 若接受H0進入(3b) 檢驗式 yt為平穩過程。檢驗止。 若拒絕H0若接受H0進入(4) 檢驗式。 yt為平穩過程。檢驗止。 (5a) 檢驗式 若拒絕H0 若拒絕H0 若接受H0 若接受H0yt為隨機趨勢非平穩過程。檢驗止。 進入(5b) 檢驗式 若拒絕H0yt為平穩過程。檢驗止。 若接受H0 隨機游走過程。檢驗止。 圖13 單位根檢驗流程圖3ADF檢驗如果被檢驗的真實過程是一個AR(p) 過程，而檢驗式是AR(1)形式，那么由于對y

31、t形式的設定錯誤，檢驗式對應的誤差項必然表現為自相關。因為假定檢驗式誤差項是非自相關的，所以當誤差項具有相關性時，回歸參數的檢驗統計量不再服從DF分布。假定yt是AR(p) 過程，yt = f1 yt-1 + f2 yt-2 + + f p yt-p + u t 檢驗式應寫為yt = b yt-1 + + ut Dyt = r yt-1 + + ut (5)其中r = b -1 = ()-1，fj* = -, j = 1, 2, , p 1。如果r = 0成立，則yt含有單位根。稱此檢驗為ADF（增項或擴展的DF）檢驗。稱此統計量為ADF統計量。檢驗用臨界值從附表6的第1部分中查找。注意，只有

32、在樣本容量充分大的前提下，才可以用表1的第1部分中的臨界值。因為在小樣本條件下ADF分布與DF分布不一樣。與上面的討論相仿，在ADF檢驗式（5）中也可以加入漂移項m 和時間趨勢項t。檢驗用臨界值從表1的2、3部分中查找。同理這些臨界值也是在樣本容量充分大的前提下才可用。對于下式 Dyt = r yt-1 +m + ut (6)原假設認為yt是一個非平穩過程，備擇假設認為yt是一個均值非零的平穩過程。對于下式 Dyt = r yt-1 +m +a t + ut (7)原假設認為yt是一個非平穩過程，備擇假設認為yt是一個確定性趨勢平穩過程。ADF檢驗式（5）、（6）、（7）也可以擴展到d.g.p

33、.帶有移動平均成分的情形。只要檢驗式中的附加項Dyt-j充分多，就能夠對ARMA(p,q)形式的yt做很好的近似，從而保證ut為白噪聲。因為實際中yt的具體形式未知，所以差分滯后項Dyt-j個數的選擇非常重要。滯后項個數太少，會導致當原假設為真時，拒絕原假設的概率變大。當滯后項個數太多時，又會導致檢驗功效降低（當備擇假設為真時，檢出的概率變低）。有人主張通過附加項是否具有顯著性以及調整的可決系數確定ADF檢驗式中差分滯后項的個數。如果是線性檢驗式，這種判別方法與赤池準則是等價的。也有人認為用調整的可決系數判別滯后項數不盡如人意。各種形式（ARMA、AR、MA）的yt的蒙特卡羅試驗結果顯示這種判

34、別方法存在一些問題。所以Schwert建議用下式確定最佳滯后期數k。k = int12(T/100)1/4其中int表示整數（比一般想象的要多）。 例1：日本人口序列的單位根檢驗圖14 日本人口序列Dyt = -0.0250 yt-1 -0.2098Dyt-1 +0.0092 +0.00025 t + ut(-2.6)* (2.3) (3.6) (3.1)R2=0.23, DW=2.0, ADF(0.05) = -3.45, t=1, (1878年), T=119因為時間趨勢項的t值是3.1，有顯著性（有確定性時間趨勢），ADF=-2.6，無顯著性，所以，日本人口序列為趨勢非平穩過程。例2：深

35、圳綜合成指收盤價序列如圖15。檢驗是何種過程。圖15 深圳綜合成指收盤價序列首先按（4）式估計，Dyt = -0.0004 yt-1 +0.4100 -0.0030 t + ut(-0.1)* (0.7) (-1.0) R2=0.006, DW=2.0, ADF(0.05) = -3.42, T=660因為時間趨勢項的t值是-1.0，無顯著性（無確定性時間趨勢），DF=-0.1，接受H0，進一步按（2）式估計，Dyt = -0.0050 yt-1 +2.8541 + ut(-1.8)* (1.9) R2=0.005, DW=2.0, ADF(0.05) = -2.87, T=660因為DF=-

36、1.8，接受H0，漂移項的t值是1.9，無顯著性（無隨機時間趨勢），進一步按（1）式估計，Dyt = -0.0002 yt-1 + ut(0.4)* R2=0.00-6, DW=2.0, ADF(0.05) = -1.94, T=660因為DF = 0.4 > -1.94，接受H0。深圳綜合成指收盤價序列是單位根過程（非平穩）。3多重單位根的檢驗方法 若yt含有多重單位根，當對yt做單位根檢驗，結論必然是接受H0，說明yt是非平穩序列（起碼為一階非平穩序列）。接下來應該繼續檢驗 D yt 的平穩性。檢驗式是 D 2 yt = r D yt-1 + ut (8)H0：r=0。若仍不能拒絕原

37、假設，則應該繼續對D2yt序列做單位根檢驗。直至結論為平穩序列為止。從而獲知 yt 為幾階單整序列。例如對D2yt序列的單位根檢驗結論是D2yt I(0)，則yt I(2)。 Dickey and Pantula（1987）對此提出異議。他們認為當yt I(2)時，備擇選擇是yt I(1)，而單位根檢驗的備擇假設是yt I(0)。出現了不一致。這時需要檢驗的是D yt 是否為平穩序列。所以正確的檢驗程序應該是首先對yt取足夠次數的差分，從而保證被檢驗序列為平穩序列。然后每次用減少一次差分次數的序列依次進行單位根檢驗。直至接受原假設為止。從而判斷出yt的單整階數。當yt I(2)時，D2yt I

38、(0)。首先應該做如下檢驗， D 2 yt = r D yt-1 + ut (9)如果結論是接受原假設，則yt I(2)有兩個單位根。如果結論是拒絕原假設，則Dyt I(0)，yt I(1)。這種檢驗順序才合理。實際中，經濟時間序列的單整階數不會超過2。所以對序列進行單位根檢驗的順序應該是D2 yt，D yt，yt。Dickey and Pantula基于蒙特卡羅模擬的結論顯示，當序列yt含有多重單位根時，從yt開始檢驗單位根，則拒絕原假設的能力有所下降。4單位根檢驗水平與功效在單位根檢驗中正確設定檢驗式的形式是非常重要的，另外差分滯后項數的多少也會對檢驗結果產生影響。有些因素會對單位根檢驗的

39、功效和樣本容量的不同產生影響，特別是小樣本情形下的單位根檢驗。為得出滿意的檢驗結果，單位根檢驗的樣本容量不宜太小，統計量的檢驗功效要高（即當原假設不成立時，結論應是推翻原假設）。但是在有限樣本條件下，退勢平穩過程可以用單位根過程近似（自協方差結構很相似），同樣，在小樣本條件下，任何一個單位根過程也可以用退勢平穩過程近似。也就說單位根過程的有限樣本特征更接近于（平穩）白噪聲過程，而不是非平穩的隨機游走（同時退勢平穩過程的有限樣本特征更像一個隨機游走）。這意味著當以高功效拒絕備擇假設（平穩過程）的同時，對近似平穩過程進行單位根檢驗時同樣會以高概率不正確地拒絕單位根原假設。這種結論來自于特殊的退勢平

40、穩過程和近似于退勢平穩過程實為差分平穩過程的有限樣本統計量的分布。Blough認為在樣本容量和檢驗功效方面不可兼得。當d.g.p.是一個近似平穩過程（小樣本容量特性）時，單位根檢驗必定以高概率錯誤地拒絕非平穩原假設，同時以低功效拒絕任何序列平穩的備擇假設。有限樣本條件下的非平穩和平穩過程單位根檢驗結果的這種類似性源自于ADF統計量漸近分布臨界值。當考慮增項ADF檢驗統計量的分布時，用的卻是理想狀態下DF檢驗統計量的漸近分布臨界值這也是產生上述問題的一個原因。Harris(1992b)建議用自舉的方法處理單位根的ADF檢驗。5結構突變與單位根檢驗Perron指出，如果被檢驗過程是一個退勢平穩過程

41、，并且在考慮的期間內存在趨勢結構突變。如果不考慮這種趨勢突變，當用ADF統計量檢驗單位根時，將會把一個帶趨勢突變的退勢平穩過程誤判為隨機趨勢非平穩過程。即進行單位根檢驗時不考慮結構突變，會導致檢驗功效降低（實為退勢平穩過程，檢驗結果卻認為是單位根過程）。同樣，當進行單位根檢驗時，不考慮漂移項存在突變，或不考慮趨勢項、漂移項同時存在突變，也會導致單位根檢驗功效降低。結構突變的兩種形式。 例3：有T=100的均值突變平穩過程yt如圖16。ADF檢驗式估計結果是圖16 平穩加均值突變過程Dyt = -0.0119 yt-1 -0.3656 Dyt-1 + ut(-0.5)* (-3.8) R2=0.

42、14, DW=2.07, ADF(0.05) = -1.94,T=100由于ADF檢驗式沒有考慮均值突變，檢驗結果yt是單位根過程。用虛擬變量（D=0，（1-50）；D=1，（51-100）區別突變前后兩個時期，得ADF檢驗式如下：Dyt = -0.9499 yt-1 + 0.0126 Dyt-1 + 0.2714 + 7.3115 D + ut(-5.9)* (-0.1) (1.5) (5.7) R2 = 0.37, DW=1.84, ADF(0.05) = -1.94,T=100因為ADF= -5.9 < -1.94，所以，yt為帶有均值突變的退勢平穩過程。5.1外生性結構突變點的檢

43、驗方法結構突變點已知時，稱其為外生性結構突變點。假定發生結構突變的時點已知為tB，則發生在截距的突變為m0+m1Dt，其中Dt = 1， t>tB時；Dt = 0， t<tB時；即在t > tB時，截距由m0突變到m0+m1。若單位根過程具有這種截距突變，即yt = m0+m1Dt +yt-1+ut, ut I(0) ，則稱yt為具有結構突變的單位根過程。然而這種結構突變也有可能發生在時間趨勢上或二者都有可能發生結構突變。為方便計，截距突變對應的模型為：模型A： yt = m0+m1Dt +d t-1+ut, （3.5）當ut I(1)時，稱yt由結構變化的單位根過程所生成，

44、這一模型亦稱崩潰模型。這是因為結構變化之后，yt的均值軌跡不再返回結構變化之前的均值軌跡。當突變發生在斜率而截距不變時，對應的模型為：模型B： yt = m0 +d 0 t +d 1 t* + ut, （3.6）其中t*= t- tB， t> tB時；t*=0， t< tB時。由于斜率反映增長率，因此也稱模型B為變化的增長率模型。當截距和斜率同時具有結構突變時，對應的模型為：模型C： yt = m0 +m1Dt +d 0 t +d 1 t* + ut, （3.7）對于模型A，B，C，原假設和備擇假設為：H0：ut I(1)， H1：ut I(0)當ut I(1)時，yt為結構突變的

45、單位根過程，而ut I(0)時，yt為結構突變的趨勢平穩過程?；谏鲜龇治鼋Y構突變的單位根檢驗就轉化為對退化趨勢之后的殘差的單位根檢驗，其具體的檢驗步驟和方法如下：第一步：退化趨勢。即根據數據特征或研究目的在模型A，B，C中選擇一個，然后進行回歸，得到的殘差記做。第二步：用對-1回歸。此時即使回歸后的殘差是獨立同分布的，但是Perron（1989）證明，r的分布并不是標準的DF分布，而是與變化的時間先后l = tB/T有關，因此不宜直接使用DF臨界值來確認r=1。另一方面，對大多數實際數據，退化趨勢后的具有相關性，因此應該進一步考慮使用ADF檢驗。第三步：對作ADF檢驗，即回歸下式 （3.8）

46、第四步：計算r=1的t統計量值t(r)，并使用Perron的臨界值確定接受還是拒絕r=1。若接受則yt為結構突變的單位根；若拒絕則為結構突變的趨勢平穩。表8 結構突變的單位根檢驗的漸近臨界值模型統計量顯著性水平0.010.0250.050.100.900.950.9750.99模型A-4.32-4.01-3.76-3.46-1.17-0.79-0.49-0.15-5.43-5.02-4.80-4.58-2.99-2.77-2.56-2.36模型B-4.49-4.17-3.93-3.65-1.80-1.47-1.21-0.85-4.91-4.60-4.36-4.09-2.32-2.12-1.97

47、-1.78模型C-4.90-4.53-5.24-3.96-1.96-1.69-1.43-1.07-5.57-5.30-5.08-4.82-3.25-3.06-2.91-2.72數據來源：B.Bhaskaro,Rao,1994.Perron使用仿真試驗證明，若l=0或l=1，即無結構突變發生時，t統計量的臨界值等同于DF臨界值；在0<l<1時，Perron的臨界值與DF的臨界值有所差別，其中最大的差別在l=0.5時，當顯著水平為5時，Perron的臨界值為-3.76，而對應的DF臨界值為 -3.41（4）式T®¥情形），相差0.35。Perron的臨界值均小于相應

48、的DF臨界值，但最大只相差0.35。因此，只要第三步的ADF檢驗的t統計量值t(r)與對應的DF臨界值相差大于0.35，則基于DF臨界值的結論一般不會產生實質性的錯誤。因此在實證研究中，當突變點已知且l ¹0.5時通常使用DF臨界值，而當l=0.5時，如果t統計量值介于DF臨界值和Perron臨界值之間，則DF臨界值拒絕單位根零假設，而Perron臨界值接受單位根零假設。在這種情況下可以使用更高的顯著性水平或者使用Perron的臨界值（見表1）。 例4：中國對數的M0序列見圖17。ADF檢驗式是圖17 中國對數的M0序列DLMt = -0.0308 LMt-1 + 0.1663DLM

49、t-1 +0.1176 +0.0070 t + (-0.7)* (1.1) (0.9) (1.4) R2=0.16, DW=1.96, ADF(0.05) = -3.51因為時間趨勢項的t值是1.4，無顯著性（無確定性時間趨勢），ADF=-0.7，接受H0，進一步按（2）式估計（去掉趨勢項），DLMt = 0.0237 LMt-1 + 0.1350DLMt-1 -0.0285 + (1.8)* (0.9) (-0.4) R2=0.12, DW=1.92, ADF(0.05) = -2.93因為ADF=1.8，接受H0，漂移項的t值是-0.4，無顯著性（無隨機時間趨勢），進一步按（1）式估計（去

50、掉漂移項），DLMt = 0.0191 LMt-1 + 0.1399DLMt-1 + (4.0)* (0.9) R2=0.12, DW=1.92, ADF(0.05) = -1.95ADF = 4.0。三個檢驗式都說明LMt是一個單位根過程。若以1978年為結構突變年，令D=0, (1953-1977)；D=1, (1978-1997)；1952年，t =1。得帶有趨勢突變點的ADF檢驗式如下：DLMt = -0.4268 LMt-1 +1.6704 +0.0244 t -1.6881 D +0.0655D t + (-3.7)* (4.1) (2.9) (-3.4) (3.8)R2=0.43,