1、WORD格式室教試考密名姓弊作絕拒、紀(jì)考號(hào)肅學(xué)嚴(yán)、信守實(shí)封級(jí)誠(chéng)、年?duì)幐?jìng)平公班、業(yè)專(zhuān)線院學(xué)*大學(xué)"高等數(shù)學(xué)工學(xué)類(lèi)"課程試卷2020學(xué)年第學(xué)期開(kāi)課學(xué)院 :數(shù)統(tǒng)學(xué)院課程號(hào) :考試日期 :考試方式：考試時(shí)間 :120分題號(hào)一二三四五六七八九十總分得 分考試提示1.嚴(yán)禁隨身攜帶通訊工具等電子設(shè)備參加考試;2.考試作弊,留校觀察,畢業(yè)當(dāng)年不授學(xué)位;請(qǐng)人代考、替他人考試、兩次及以上作弊等 ,屬嚴(yán)重作弊 ,開(kāi)除學(xué)籍 .一、選擇題 (每題 3 分 ,共 18 分 )1. 如果a, b為共線的單位向量 ,那么它們的數(shù)量積a b().(A)1(B)0(C)2(D) cos(a,b )知識(shí)點(diǎn) :向

2、量的數(shù)量積 ,難度等級(jí) :1.答案 :D分析 : a b | a | b |cos(a, b) = cos(a, b).2. 微分方程x2y1 的通解是 ().(A)C1y1(B) yCxx*大學(xué) "高等數(shù)學(xué)工學(xué)類(lèi)"課程試卷第1頁(yè)共1頁(yè)(C) yC(D) y11Cxx知識(shí)點(diǎn) :微分方程 ,難度等級(jí) :1.答案:D分析 :將方程改寫(xiě)為dy12 , 并積分,得通解 y1C, 故應(yīng)dxxx選(D).3. 設(shè)空間區(qū)域：x2y 2z2R2, 那么x2y 2z2 dV ().(A)R4(B)4R4;(C) 2R4(D)2 R433知識(shí)點(diǎn) :三重積分計(jì)算 ,難度等級(jí) :2.答案: A4假

3、設(shè)L是上半橢圓xa cost取順時(shí)針?lè)较?,那么ydxxdy 的值為yb sin tL().(A)0(B)ab(C)ab(D)ab2知識(shí)點(diǎn) :對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 ,難度等級(jí) :1.答案: C分析: 題中半橢圓面積為ab, 要用格林公 式,添有向線段2L1 : y 0( x : a a).2dxdyab,0. 應(yīng)選C.LLDL115. 設(shè) 函 數(shù)f ( x) , x連0續(xù) , 并 對(duì)x0的任意閉曲線L,有命題人:組題人:審題人:命題時(shí)間:教務(wù)處制專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式*大學(xué)2021 版試卷標(biāo)準(zhǔn)格式專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式4x3 ydxxf ( x)dy 0, 且 f (1)2, 那么 f ( x

4、)().L(A) 4x312x224 x 24(B)4 x312x224 x 24(C) x31(D) x31x知識(shí)點(diǎn) :對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 ,積分與路徑無(wú)關(guān) ,微分方程 .難度等級(jí) :3.答案 :D分析 : 由條 件 知 , 積 分 與路 徑 無(wú)關(guān) , 有(4x3y)( xf ( x) .即yx4 x3f ( x)xf ( x). A,B選項(xiàng)顯然不滿足方程,而C含常數(shù),也不能滿足方程 ,應(yīng)選 D.驗(yàn)證 D 滿足 ,或用一階線性微分方程求出為D.6. 曲 面zx2y2包 含 在 柱 面x2y22x 內(nèi) 部 那 部 分 面 積().(A)(B) 2(C) 22(D) 3知識(shí)點(diǎn) :曲面面積 ,難度等

5、級(jí) :2.答案 :B分析 : 在xOy投影區(qū)域D : x2y22x, 化為二重積分為2dxdy =D2 ,選B.*大學(xué)"高等數(shù)學(xué)工學(xué)類(lèi)"課程試卷第 1 頁(yè) 共 1 頁(yè)二、填空題 (每題 3 分 ,共 18 分)n7. 級(jí)數(shù)n2的和為 _.n 1 (2n)!知識(shí)點(diǎn) :級(jí)數(shù)的和 .難度等級(jí) :2.答案 :e分析 :n2nn1e.n 1 (2 n)!n 1 n!n 1 (n1)!8.其中 c 為螺線xa cost,的一(x2y2z2 )dsyasin t, (0 t 2 )_,cabt.段 .知識(shí)點(diǎn) :對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 ,難度等級(jí) :1.答案： 2(3a24 2 b2 )a2b2

6、 .3解: 弧長(zhǎng)的微分為dsa2b2 dt , 于是(x2y2z2 )dsa2b22(a2b2t 2 )dt2 (3a24 2b2 ) a2b2 .0c39. 過(guò)點(diǎn) A (1,2, 1) 和 B ( 5,2,7) 作一平面,使該平面與x軸平行,那么該平面方程為 _.知識(shí)點(diǎn) :平面方程 ,難度等級(jí) :2.答案 : y20.ijk分析 :平面的法向量nAB ,且 ni,取 n AB i606(0,6,0), 過(guò)100專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式*大學(xué)2021 版試卷標(biāo)準(zhǔn)格式專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式點(diǎn) A (1,2,1), 平面方程為0 ( x 1)6 ( y 2) 0 ( z 0) 0, 即y 2 0

7、.10. 函數(shù)uxyz在點(diǎn) (1,2, 1)處沿a(1,2, 2) 方向的方向?qū)?shù)為 _.知識(shí)點(diǎn) :函數(shù)的方向?qū)?shù) .難度等級(jí) :1答案：1.6解 :a (1,2, 2)cos1 ,cos2 ,cos2 .333uy zx yz11;x (1,2,1)(1,2,1)2ux yzln x zyz10;y (1,2,1)(1,2,1)uxyzln x yz ln y0.z (1,2,1)(1,2,1)u111.a23611.設(shè) 為平 面3x2 y23z 6在第 一卦限 的 局部的上 側(cè),將RdxdyPdydzQdzdx 化 為 對(duì) 面 積 的 曲 面 積 分 的 結(jié) 果 為_(kāi).知識(shí)點(diǎn) :兩種曲面積

8、分之間的轉(zhuǎn)換.難度等級(jí) :2.答案 :3223( PQR)dS.555分析 :第二型曲面化為第一型曲面積分,只需求出有向曲面?zhèn)鹊膯挝环ㄏ蛄?與被積向量函數(shù)作內(nèi)積即可,平面法向量為3,2,2 3 , 長(zhǎng)度為5故得結(jié)果.*大學(xué)"高等數(shù)學(xué)工學(xué)類(lèi)"課程試卷第 1 頁(yè) 共 1 頁(yè)12. 設(shè)是圓錐面 zx2y2被圓柱面x2y 22ax 所截的下局部,則 ( xy yz zx)dS _.知識(shí) :對(duì)面積的曲面積分 ,對(duì)稱(chēng)性 .難度等級(jí) :3.答案 :642a4 .15分析 : 曲面關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) , xyyz 為關(guān)于y的奇函數(shù),故只需算zx的積分值,2 a cos64zxdSx 2y 2 x

9、 2 dxdy2d2r 3 cos dr2 a 4 .D xy2015三、計(jì)算題 (每題 6 分 ,共 24 分)13. 計(jì)算積分(2a y)dx xdy,其中c為擺線cxa(tsint), ya(1 cost) (0t2 )的一拱 .知識(shí)點(diǎn) :對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 ,難度等級(jí) :2分析 :了積分路徑的參數(shù)方程,直接代入計(jì)算積分 .解 :由題設(shè) dxa(1 cost) dt, dya sin tdt. 于是(2a y) dx xdy2cost) a(1 cost) a(t sin t )a sin t dt(2 a a(1c0專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式*大學(xué)2021 版試卷標(biāo)準(zhǔn)格式專(zhuān)業(yè)資料整理WOR

10、D格式a22t sin tdt0a2 t costsin t202a2 .14. 求x sin d ( x32x2 coscos ) dx 0 的通解.知識(shí)點(diǎn) :微分方程 ,變量代換 ,一階線性微分方程 .難度等級(jí) :2分析 : sin dd cos ,假設(shè)令 cosz ,原方程可化為一階線性方程.解:將原方程改寫(xiě)為x sindcos dxx 22 cos d*dx .令 ycos,那么 dyxsin dcos dx.于是方程化為xx2dyx.2 xydx這是一階線性非齊次方程.由通解公式y(tǒng) e x2 ( xex2 dx C)1Ce x2.2故 cos1 xCxe x2.215. 計(jì)算xdyd

11、zz2 dxdy是 由 曲 面 x2y2R2及 平 面x2y2z2 ,其中z R, zR( R 0所)圍成立體外表外側(cè).知識(shí)點(diǎn) :對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 ,高斯公式 .難度等級(jí) :3分析 :利用高斯公式并注意對(duì)稱(chēng)性.解:利用高斯公式 ,并注意對(duì)稱(chēng)性 ,知*大學(xué)"高等數(shù)學(xué)工學(xué)類(lèi)"課程試卷第 1 頁(yè) 共 1 頁(yè)z2 dxdy2z( x2y2 )2 dV 0.x2y2z2( x2y2z2)又xdydzR 2y 2dydzR 2y 2x2y2z2R2z2R2z2 dydz122R 2y 2R 2z 2D yz2R12 dzRR 2y2 dyR R2zR21arctanz RR2R 2RR

12、22R.xdydz z2 dxdy2R.x2y2z2216.計(jì)算第二類(lèi)曲線積分y2dxz2 dyx2dz, 其 中L為 球 面Lx 2y 2z2R2與柱面對(duì) x 2y 2Rx( z0, R0) 的交線,其方向是面對(duì)著正 x 軸看去是反時(shí)針的.知識(shí)點(diǎn) :對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 ,斯托克斯公式 ,對(duì)稱(chēng)性 .難度等級(jí) :3分析 : 利用斯托克斯公式 ,合一投影 ,并注意對(duì)稱(chēng)性的使用 .dydzdzdxdxdy解:Ly2 dx z2dy x2 dzxyzy2z2x2專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式*大學(xué)2021 版試卷標(biāo)準(zhǔn)格式專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式2zdydzxdzdxydxdy2( xxyy)dxdyR 2x2

13、Dxyy 22xdxdyDxy(Dxy關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) , f (x,y)xyy是關(guān)于y的奇函數(shù))R2 x2y222 cos dR cos2 drr204R3 2 cos4d30R3 .4四、解答題 (每題 6 分 ,共 12 分 )117判斷級(jí)數(shù)(en11 ) 的斂散性.n 1n知識(shí)點(diǎn) :級(jí)數(shù)斂散性的判斷 .難度等級(jí) :2分析 :取1用比較判別法的極限形式 .n1 n211en1ex1 xex1 1解: lim1nlimx2lim.nx 0x 0 2x2n2*大學(xué)"高等數(shù)學(xué)工學(xué)類(lèi)"課程試卷第 1 頁(yè) 共 1 頁(yè)1211)收斂.由于收斂 ,故級(jí)數(shù)(en1n 1 nn 1n18求

14、函數(shù)zx2 3y22x 在閉域 D(x, y) | x2y21 上的最大值94和最小值 .知識(shí)點(diǎn) :二元函數(shù)在閉區(qū)域上的最值.難度等級(jí) :2分析 :先求函數(shù)的駐點(diǎn) ,得到在區(qū)域內(nèi)部可能的最值點(diǎn),然后求邊界上可能的最值點(diǎn) .解:由zx2x2 0得 D 內(nèi)駐點(diǎn) (1,0)且, z(1,0)1.在邊界x2y21上zy6y094z11 x22x 123 x 3 .3z12 x2 0.3z1 ( 3) 15z1 (3) 3.比較后可知函數(shù) z 在點(diǎn) (1,0) 取最小值 z(1,0)1在點(diǎn) ( 3,0)取最大值 z( 3,0)15.五、 證明題 (每題 6 分,共 12 分)19設(shè)函數(shù)F ( x, y,

15、 z)具 有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,且對(duì) 任意實(shí)數(shù)t有F (tx,ty,tz)tk F ( x, y, z)(k 是自然數(shù)),試證曲面F ( x, y, z)0 上任一點(diǎn)的切專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式*大學(xué)2021 版試卷標(biāo)準(zhǔn)格式專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式平面都通過(guò)一定點(diǎn) (設(shè)在任一點(diǎn)處 ,有Fx2Fy2Fz20. ).知識(shí)點(diǎn) :齊次函數(shù) ,切平面 .難度等級(jí) :2分 析 : 曲 面F ( x, y, z)在0一 點(diǎn)( x0, y0, z0的)切 平 面 方 程 為Fx ( x x0 ) Fy ( y y0 ) Fz (z z0 ) 0, 求出此方程,可以發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0,0) 滿足方程.證明 :由

16、條件可得xFxyFyzFzkF .曲面上點(diǎn) ( x0 , y0 , z0 ) 處的切平面方程為F( xx)F(yy)F (z)z0 .x0y0z0即xFxyFyzFzx0 Fxy0 Fyz0 FzkF ( x0 , y0 ,z0 )0.易知 x0, y0, z0 滿足上述平面方程,所以曲面的任意切平面都通過(guò)定點(diǎn)0,0,0 .20. 設(shè)Pn0, Pn單調(diào)增 且1收斂.,n 1 Pn證明 :(1)unn單調(diào)減 .P2P1Pn(2) u2n收斂.n 1*大學(xué)"高等數(shù)學(xué)工學(xué)類(lèi)"課程試卷第 1 頁(yè) 共 1 頁(yè)知識(shí)點(diǎn) :級(jí)數(shù)斂散性的判斷 .難度等級(jí) :2證:(1)un 1unn1nP1

17、P2Pn 1P P2Pn1(n1)(P1P2Pn ) n(P1P2Pn 1 )(P1P2Pn )( P1P2Pn 1)P1P2PnnPn10( PPP )(PPP)12n12n 1unn單調(diào)減 .P2P1Pn(2)u2 nP22nP2n2n2 ,P1nPnPn而1收斂 ,由比較判別法 ,u2n收斂 .n 1 Pnn1六、 應(yīng)用題(每題 8 分,共 16 分 )21. 設(shè)在xoy面上有一質(zhì)量為M的勻質(zhì)半圓形薄片占有平面閉域D( x, y) | x2y2R2 , y0, 過(guò)圓心O垂直于薄片的直線上有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)P, OPa. 求半圓形薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力知識(shí)點(diǎn) :平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力 ,難度

18、等級(jí) :3分析 : 由引力公式 ,建立二重積分計(jì)算解 : 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0, a).薄片的面密度為M2M1R2R2 .2專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式*大學(xué)2021 版試卷標(biāo)準(zhǔn)格式專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式*大學(xué)"高等數(shù)學(xué)工學(xué)類(lèi)"課程試卷第 1 頁(yè) 共 1 頁(yè)設(shè)所求引力為 F( Fx , Fy , Fz ).知識(shí)點(diǎn) :微分方程模型 .難度等級(jí) :2由于薄片關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)所以引力在 x 軸上的分量Fx0,而分析 :據(jù)牛頓第二定律建立微分方程 .FyG Dmyd解 :船所受的力 = 向前推力 -水的阻力 = 0kvn , 加速度為(x2y2a2 ) 3/2dv . 于是,由題設(shè)有R2sindtm Gddm dv00(2a2 ) 3/2kvn , v |t 0v0.dtR2設(shè)距離為 xx( t) ,那么上述方程化為mGsinda2 )3/2 d00(2dvdvdxdvn2Rmmmvkv .dtdxdt2mG0(2a2 ) 3/2ddx故有 mv 1n dvkdx.a2R24GmMRRR2(lnaa2R2