1、2016年南昌市高中數學競賽試題及答案（注意：題號后凡標有“高一”的，為高一學生解答題；凡標有“高二”的，為高二學生解答題；凡未作以上標志的，則為高一、高二學生共同解答題）一、填空題（每題10分，共80分）1.（高一）化簡的結果是 答案：解：，故原式（高二） 設，若函數與具有相同的最小值，函數與具有相同的最大值，則 答案：解：故由，得故由，得由得，所以，或者若，由，即，矛盾！故只有，此時，2.（高一）若個連續正整數之和為，則的最大值是 答案：解：設，則，注意，且，為使值最大，當選取使得的較小因子盡可能去取得最大，由于，可令（此時對應于）（高二） 是橢圓上位于第一象限的一點，若與兩焦點的連線互相

2、垂直，則點的坐標為 答案：解：橢圓兩焦點為，若點坐標為，則，以及，解得3.（高一） 三角形的邊長為正整數，周長為24，這種三角形共有 個答案：12個解：設三角形的三條邊長為，且，則，再由，得，所以即，于是在時，于是；在時，有；在時，有；在時，有；共計12種情形（高二）銳角三角形中，的最小值是 答案：解：記，則兩邊立方，得，當且僅當，4.（高一）若為銳角，使得，則 答案：24.解：據，得，解得及，若，則，不合題意，故只有（高二）單位正方體（各棱長皆為1的正方體）中，將每一對相鄰的中心連接，得到一個具有六個頂點的多面體，其體積是 答案：解：如圖，分別是及的中點，則自作平行于的平面，將多面體分成兩個

3、全等的四棱錐，其底面面積為，高為5.如果一個單調遞增數列的每一項皆是由排成的沒有重復數字的五位數，則 答案：解：總共可排出120個數，其中5開頭的有24個，它們中最小的數是倒數第24個數，即全體這種五位數的自小到大第97個數，5開頭的數后四位均由排成，這四個數碼排成的數自小到大順次是，所以6.從中取出個不同的數，使得取出的數中，任兩個數的差，既不等于5，也不等于8，則的最大值是 答案：6解：將排列于一個圓上，使得每相鄰兩數之差，或者為5，或者為8，然后選取一組互不相鄰的數，至多能取到六個數，例如?。ㄈ羧?個數，則必有兩數在圓周上相鄰），因此7.滿足的正整數解的組數為 答案：165.解：由條件得

4、，由于有個正因子，對于每個正因子，由可以得到一個的值，而當的值確定后，的值便隨之確定，于是共有165組解8.集合是集合的子集，且中至少含有一個平方數或者立方數，則這種子集的個數是 答案：解：集合中的平方數或立方數構成集合，其中有12個元素，從中挖去集合后剩下的元素構成集合，則中含有個元素，由于的子集有個，的非空子集有個，集可表示為形式，其中是的任一非空子集，是的任一子集，因此的個數為二、解答題9.（20分）集合與分別由滿足如下條件的所有五位數組成：對于集合的每個元素，其各位數碼之和加1或減1之后是5的倍數；對于集合的每個元素，其各位數碼之和或者是5的倍數，或者減2之后是5的倍數證明：（即這兩個

5、集合的元素個數相等）證：對于任一五位數，其中，的各位數碼之和記為；對于集合中的任意一數，令與五為數相對應，其中每個滿足等式：則，且據此可知，若，則，若，則，于是當時，必有，并且不同的對應于不同的反過來也是如此，即這種對應是一一對應，從而這兩個集合的元素個數相等10.（25分）四邊形內接于以為直徑的圓，分別是邊上的點，且證明：三線共點證：設分別交于，對角線交于，只要證三點共線 連，由，得又由，得相乘得將相乘得，因此直角三角形，所以，故三點共線，從而三線共點11.如果實數集合的全體元素可以排成一個等比數列，就稱是一個幾何集，例如無窮集合就是一個幾何集試確定，是否存在7個幾何集，使得它們的并集元素中，包含有前50個正整數，即，其中證明你的結論解：不存在首先證明，任一個幾何集之中至多含有兩個質數反證法，假若某個幾何集的元素中含有三個質數，