1、課程設計說明書設計題目：半導體激光器可飽和吸收晶體被動調Q實現 學生學號： 1106020103 學生姓名： 陳麗 指導教師： 張科 起止日期： 2014.2014. 物理與電子信息系光電信息科學與工程專業摘 要本文首先利用分離變量法求解均勻電場中球形介質靜電場的拉普拉斯方程，根據邊界條件得出具體的分析解。然后，利用Mathematica程序求解均勻電場中球形介質的電場分布，并繪制電場的空間分布的矢量圖。本文的特點是：數學上的分析解不能直觀地給出靜電場的矢量圖；利用Mathematica程序繪制的電場空間分布的矢量圖具有直觀性。關鍵詞：靜電場的拉普拉斯方程；球形介質；Mathematica 仿

2、真目 錄第1章 Mathematica 軟件11.1 Mathematica 簡介11.2 Mathematica 運算2第2章 分離變量法求解靜電場42.1 拉普拉斯方程的分析解42.2 均勻電場中球形介質的電場分布5第3章 Mathematica 仿真7程序12參考文獻14致謝15第1章 Mathematica 軟件第1章 Mathematica 軟件1. 1 Mathematica 簡介Mathematica是美國Wolfram Research公司開發的數學軟件。它的主要使用者是從事理論研究的數學工作者和其它科學工作者、以及從事實際工作的工程技術人員。Mathematica可以用于解決

3、各種領域的涉及復雜的符號計算和數值計算的問題。對以前必須借助于手工推導才能解決的問題， 現在可以很方便地用計算機來完成。Mathematica是一款科學計算軟件，很好地結合了數值和符號計算引擎、圖形系統、編程語言、文本系統、和與其他應用程序的高級連接。很多功能在相應領域內處于世界領先地位，截至2009年，它也是為止使用最廣泛的數學軟件之一。Mathematica的發布標志著現代科技計算的開始。Mathematica是世界上通用計算系統中最強大的系統。自從1988發布以來，它已經對如何在科技和其它領域運用計算機產生了深刻的影響。Mathematica主要可以做數值運算、符號運算和圖像處理三項工作

4、。尤其在符號演算工作中，顯示了它的強大功能。它能對符號進行多項式的計算、因式分解、展開，以及求解方程、極限、導數、積分等。它也能進行數值的或一般代數式的向量、矩陣的各種計算。用Mathematica可以很方便地畫出用各種方式表示的一元和二元函數的圖形。通過這樣的圖形，我們可以立即形象地把握住函數的某些特性，而這些特征一般很難從函數的符號表達式中看清楚。Mathematica還是一個很容易擴充和修改的系統，它提供了一套描述方法，相當于一個編程語言，用這個語言可以寫程序，解決各種特殊問題。Mathematica和MATLAB、Maple并稱為三大數學軟件。1. 2 Mathematica 運算如果

5、在Windows環境下已安裝好Mathematica 5.0，啟動Windows后，在“開始”菜單的“程序”中單擊 Mathematica 5.0，在屏幕上顯示如圖的Notebook窗口，系統暫時取名Untitled-1，直到用戶保存時重新命名為止。Mathematica的基本語法特點：(1) Mathematica中大寫小寫是有區別的，如plot、Plot是不同的變量名或函數名。自定義的變量可以取幾乎任意的名稱，長度不限，但不可以數字開頭。Mathematica中的函數分為兩類，一類是常用的數學函數，如：絕對值函數Absx，正弦函數Sinx，余弦函數Cosx，以e為底的對數函數Logx，以a

6、為底的對數函數Loga，x等；第二類是命令意義上的函數，如作函數圖形的函數Plotfx，x，xmin，xmax，解方程函數Solveeqn，x，求導函數Dfx，x等。(2) 在Mathematica中，我們應注意四種括號的用法：( )圓括號表示項的結合順序 方括號表示函數，如Logx，BesselJx，1；大括號表示一個“表”(一組數字、任意表達式、函數等的；集合)，如2x，Sin12 Pi，1+A，y*x； 雙方括號表示“表”或“表達式”的下標，如a2，3、a，b，c1=a。(3) Mathematica還定義了一些系統常數，如Pi表示圓周率的精確值，還有E表示自然對數的底數、I表示復數單位

7、，Degree表示角度一度，Pi/180，Infinity表示無窮大等，這些常數在運算中發揮了重要的作用。(4) 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 32*36 ，x y，2 Sinx等；乘冪可以用“”表示，如x4，Tanxy。(5) 在輸入語句時， 以分號結束的語句行或表達式，Mathematica默認不顯示計算結果，否則將輸出計算的結果。(6) 要想查詢某一函數的具體用法可在Notebook界面下，用 ？或 ? 可向系統查詢運算符、函數和命令的定義和用法，獲取簡單而直接的幫助信息。也可用Options函數名 查詢。 當然，要想主動地去了解更多的函數，可在Mathematica界面上單擊

8、幫助菜單項的Help Browser， 可了解有關函數的更多信息。代數運算：（1）數的表示及計算在Notebook界面上，可以對大量數值進行計算，Mathematica總會以非常精確的形式輸出結果。例如如果要想得到近似值可用求值函數Nexpr，n，expr是數值表達式，n是有效數值的位數。Mathematica許多函數直接可以用來做數值計算，例如求方程數值解函數NSolve、數值積分函數NIntegrate、數值求和函數NSum等等。（2）變量與變量賦值在Mathematica中，給變量賦值常用“=”表示，我們既可以給變量賦數字值，也可以給變量賦符號值。例如讓x賦值5，而y賦值a。則在以后的運

9、算中，當需調用x或y的表達式時，Mathematica將用所賦的值替代它們， 例如如果你需要用到上一步的運算結果，可以用%代替整個上一步的運算結果，事實上， 你也可以用以前運算的第n次結果如%表示倒數第二次的運算結果。另一種變量賦值類似于變量的替換，用(/. ) 表示，例如在代數式4x2+2中進行x2的替換4x2+2/.x218表達式由代替x2-7x+3/.xa+b在同一行中可以輸入多個語句， 語句之間用( ；)分開。當你需要Mathematica進行運算而不需要對結果輸出時，可以在表達式后面放一個分號( ；)（3）函數的定義在Mathematica中，函數的定義是用“:=” 表示。例如fx_

10、:=x2+6定義以后，Mathematica會自動使用己定義的規則， 例如求x=a+b時的fx 值fa+b第2章 分離變量法求解靜電場應用分離變量法求解拉普拉斯方程，具體的步驟是：首先在選定的坐標系下，將電位函數表示為三個未知函數的乘積，其中每個函數只含一個坐標變量。將三個未知函數般乘積代入拉普拉斯方程，從而分離出三個常微分方程，由它們的解的乘積可構成電位函數的級數形式通解。然后再根據紿定的邊界條件來確定通解中的待定系數。2.1 拉普拉斯方程的分析解直角坐標系中拉普拉斯方程為 (2-1)設位函數V(x，y，z)為三個函數的乘積，即 (2-2)則可求得拉普拉斯方程的解為 (2-3) (2-4)

11、(2-5) (2-6)式中為分離常數，且滿足 (2-7)需要指出的是，式中k可以是實數，也可以為虛數。應當指出中任何兩個如為實數，其余一個必為虛數。即X（x），Y(y)和Z(z)中必有兩個為三角函數而其余一個為雙曲函數。有時將雙曲函數解寫成指數形式解是方便的。為滿足邊界條件，分離常數常常需取一系列值，形成級數解。若電位與某個量（如z）無關，則解的形式可簡化成二維。在球坐標系中，標量電位V的拉普拉斯方程為 (2-8)當電位與方位角無關時，拉普拉斯方程的通解為 (2-9)為勒讓德多項式，和是待定常數由具體問題的邊界條件給出。2.2 均勻電場中球形介質的電場分布一半徑為介電常數為的介質球放置在均勻電

12、場中。求介質球內、外的電位及電場。解：介質球外電位和球內電位滿足拉普拉斯方程，它們都具有軸對稱性，其通解分別為（2-10）（2-11）其中是待定系數。電位的邊界條件是（1）（2）為有限值（3） 由邊界條件（1）可得（2-12）由邊界條件（2）可得（2-13）由邊界條件（3）可得（2-14）所有常數已經確定，解為，。（2-15）第3章 Mathematica 仿真Mathematica 仿真程序如下。程序頂格，輸出結果居中并標有公式數碼。解：介質球外電位和球內電位滿足拉普拉斯方程，它們都具有軸對稱性，其通解分別為ClearGlobal*（2-16）電位的邊界條件是（1）（2）為有限值（3） 由邊

13、界條件可知，求和只需取至n=1的項。勒讓德函數前兩頂是和。電位的通解可以簡化為（2-17）把電位代入邊界條件（1）（2-18）比較系數知由邊界條件（2）顯然可知由邊界條件（3）的第一條件(V1/.Ra)(V2/.Ra)（2-19）用Coefficient函數比較上方程的系數得方程eq1，比較上方程的系數得方程eq2（2-20）（2-21）由邊界條件（3）的第二條件得（2-22）比較上方程的系數得方程eq3顯然有結合方程eq3有聯立求解eq1和eq3可求出和（2-23）把上面的解代入和就可求出球外電位和球內電位 V11=V1/.sol/First（2-24）V22=V2/.sol/First（2

14、-25）為求出電場強度需調用矢量分析軟件包CalculusVectorAnalysis球外電場強度E1=Grad-V11,SphericalR,q,f/Simplify（2-26）球內電場強度E2=Grad-V22,SphericalR,q,f/Simplify（2-27）球內電位也可寫為直角坐標形式在直角坐標形式下，球內電場強度E2=Grad-V22,Cartesianx,y,z（2-28）所以介質球內的電場強度是均勻場。把電場強度的球坐標形式轉換為直角坐標形式， 再利用Mathematica圖形函數可作出介質球附近電場線分布平面圖如下。CalculusVectorAnalysisGraph

15、icsPlotFieldr2xRule=r,q,fCoordinatesFromCartesianx,y,z,Spherical/Thread;k=10（2-29）（2-30）由上面結果可定義球外電位和球內電位分別為根據公式，并用函數PlotGradientField和Plot3D分別繪制出介質球附近的電場線和介質球附近的等位面。PlotGradientField-v3z,x,z,-2.0,2.0,x,-2.0,2.0, ScaleFunction(3&),PlotPoints20圖3-1 介質球附近的電場線Plot3Dv3z,x,z,-2,2,x,-2,2,PlotPoints30,BoxR

16、atios1,1,1圖3-2 介質球附近的等位面由圖3-2可以看出，圖中有一圓型區域內的電位是相同的，這反映了介質球內的電場是勻強電場。程序Mathematica程序如下：ClearGlobal* ( V1 /. R a ) ( V2 /. R a ) V11=V1/.sol/First V22=V2/.sol/First CalculusVectorAnalysis E1=Grad-V11,SphericalR,q,f/Simplify E2=Grad-V22,SphericalR,q,f/Simplify E2=Grad-V22,Cartesianx,y,z CalculusVectorA

17、nalysis GraphicsPlotField r2xRule=r,q,fCoordinatesFromCartesianx,y,z,Spherical/Thread; k=10 PlotGradientField-v3z,x,z,-2.0,2.0,x,-2.0,2.0, ScaleFunction(3&),PlotPoints20 Graphics Plot3Dv3z,x,z,-2,2,x,-2,2,PlotPoints30,BoxRatios1,1,1 SurfaceGraphics參考文獻1 郭碩鴻. 電動力學. 高等教育出版社，2008.2 杜建明. Mathematica 在電磁場理論中的應用. 合肥工業大學出版社，2004.3 美D. 尤金 （鄧建松 譯）. Mathematica 使用指南. 科學出版社，2002.4 丁大正.